«Геометрія»

1. Афінні простори. Афінні координати. Формули перетворення

афінних координат точок.

2. Площини в афінних просторах.

Плоскость определенной точкой и двумя неколлинеарными векторами называется множество точек аффинного пространства такое что .

- числа (параметры)

- векторно-параметрическое уравнение плоскости

– опорная точка

- базисные векторы плоскости

- общее уравнение плоскости

Одномерная плоскость – прямая.

Если m = n – 1, то плоскость называется гиперплоскостью.

- параметрическое уравнение n-мерной плоскости

Если ранг = 1, то плоскости совпадают.

Если ранг матрицы = 2, то плоскости пересекаются по прямой.

Плоскости называются параллельными, если либо

(ранг матрицы =1 ранг расширенной матрицы = 2)

Плоскости называются скрещивающимися, если они не параллельны и не имеют общих точек

3. Аксіоми скалярного множення. Евклідові векторні простори. Евклідові точково-векторні простори.

4. Кут між векторами. Ортогональні вектори. Ортонормовані базиси і прямокутні координати.

5. Векторний та мішаний добутки.

6. Прямі в афінному прсторі. Паралельні прямі. Відрізки. Просте відношення трьох точок.

7. Теорія прямих на афінній площині. Способи завдання прямої на афінній площині. Взаємне розташування двох прямих. Жмуток прямих.

8. Теорія прямих на евклідовій площині. Нормальне рівняння прямої. Відстань від точки до прямої.

9. Еліпс, гіпербола, парабола.

10. Площини у 3-вимірному афінному просторі Геометричні способи завдання площини. Взаємне розташування двох площин. Жмуток площин.

Плоскость в трехмерном аффинном пространстве может быть задана:

1) векторно параметрическим уравнением , где a, b – неколлинеарные направленные векторы плоскости, - радиус-вектор фиксированной точки плоскости.

Возьмем теперь в пространстве аффинную систему координат Охyz. Пусть в этой системе координат точки и векторы имеют соответствующие координаты . Тогда в заданной системе координат уравнения равносильные трем уравнениям для координат: . Эти уравнения называются параметрическими уравнениями плоскости.

2) общим уравнением

.

Система уравнения или эквивалентна ее системе выражает линейную зависимость рядов матрицы или уравнение где Уравнение можно назвать общим уравнением плоскости, которая проходит через тоску .

Уравнением плоскости, которое проходит через три точки с координатами , которое не лежит на одной прямой, можно записать в виде

Пусть плоскость проходит через точки где . Тогда уравнение этой плоскости можно записать в виде . Это уравнение называют уравнением плоскости в отрезках.

Прямая линия в пространстве может быть задана:

1) векторно параметрическим уравнением , где а – направленный вектор прямой, - радиус-вектор фиксированной точки прямой.

Если уравнение записать в аффинной системе координат, то получим параметрическое уравнение прямой в пространстве: . Включением параметра параметрические уравнения сводится к канонической форме . Уравнение прямой, которое проходит через две разные точки, можно задать в векторной форме , где - радиус-вектор данных точек, а - их аффинные координаты.

Прямую l можно задать как линию пересечения

Взаимное расположение двух плоскостей

     Если , то они:

     1) пересекаются

     2) параллельны (но не совпадают)

     3) совпадают

     Если плоскости заданы уравнениями и то случаи 1 - 3 имеют месло, когда:

     1)

     2)

     3)

Пучок плоскостей

     Если

есть ось пучка, то уравнение пучка

Существует всего 4 способа задания плоскости Положение плоскости в пространстве определяется: а) тремя точками, не лежащими на одной прямой линий,  рис.1 б) прямой и точкой, взятой вне прямой,   рис.2 в) двумя пересекающимися прямыми,       рис.3 г) двумя параллельными прямыми.            рис.4 Каждое из представленных на рис. 1— 4 заданий плоскости может быть преобразовано в другое из них. Например, проведя через точки А и В (рис. 1) прямую, мы получим задание плоскости, представленное на рис. 2: от него мы можем пе¬рейти к рис. 4, если через точку С проведем прямую, параллельную прямой АВ.    рис.1                                      рис.2   рис.3                                       рис.4

11. Взаємне розташування прямої та площини в 3-вимірному афінному просторі

12. Взаємне розташування двох прямих в 3-вимірному афінному просторі

13. Площини у 3-вимірному евклідовому просторі.

14. Пряма у 3-вимірному афінному просторі.

15. Площина в евклідовому просторі. Нормальне рівняння площини. Відстань від точки до площини.

Пример:

16. Кут між площинами, прямими, прямою та площиною.

Кут між прямою та площиною

Кут між двома прямими в просторі

Кут між двома площинами

17. Площі та об’єми.

Фигура, составленная из касательной, главной нормали и бинормали, а также из трех плоскостей, попарно содержащих эти прямые, называют естественным трёхгранником (трёхгранником Френе

18. Поверхні обертання, еліпсоїди, гіперболоїди, параболоїди. Циліндричні та конічні поверхні (в аналітичному викладі).

  Эллипсоид (рис. 4.18) Каноническое уравнение:

      - трехосный эллипсоид;

      - эллипсоид вращения вокруг оси Oz;

      - эллипсоид вращения вокруг оси Oy;

      - эллипсоид вращения вокруг оси Ox;

      - сфера.

  Сечения эллипсоида плоскостями - либо эллипс (окружность), либо точка, либо .

Гіперболо́їд (грец. від hyperbole - гіпербола, і eidos - подібність) — вид поверхні другого порядку в тривимірному просторі, що задається в Декартових координатах рівнянням

 (Однопорожнинний гіперболоїд),

де a і b- дійсні півосі, а c- уявна піввісь;

або

 (двопорожнинний гіперболоїд),

де a і b - уявні півосі, а c- дійсна піввісь.

Якщо a = b, то така поверхня зветься - гіперболоїд обертання. Однопорожнинний гіперболоїд обертання можна отримати обертанням гіперболи навколо її уявної осі, двополосний - навколо дійсної. Двопорожнинний гіперболоїд обертання також є геометричним місцем точок P, модуль різниці відстаней, від яких до двох заданих точок A і B постійний: . У такому випадку точки A і B звуться фокусами Гіперболоїда.

Однопорожнинний гіперболоїд є двічі лінійчатою поверхнею. Якщо він є гіперболоїдом обертання, то його можна отримати обертанням прямої навколо іншої прямої, що є мимобіжною з нею. Цю властивість лінійчатих однопорожнинних гіперболоїдів використовують в архітектурі. Зокрема, вежа Шухова в Москві є гіперболоїдною конструкцією. Вона складена саме з гіперболоїдів, що утворені прямими стрижнями.

(Однопорожнинний гіперболоїд) (двопорожнинний параболоид

гіперболоїд)

Параболо́ид ― тип поверхности второго порядка. Параболоид может быть охарактеризован как незамкнутая нецентральная (то есть не имеющая центра симметрии) поверхность второго порядка.Канонические уравнения параболоида в декартовых координатах:

• если и одного знака, то параболоид называется эллиптическим.

• если и разного знака, то параболоид называется гиперболическим.

• если один из коэффициентов равен нулю, то параболоид называется параболическим цилиндром.

19. Група перетворень подібності площини та її підгрупи.