Тема. Основи статистичних методів обробки медико-біологічних даних
|
|
|
Дисципліна, |
що |
охоплює |
Повсякденне |
|
|
статистичні |
|
методи, |
використання |
даних, |
|
вивчення |
наукових |
методів |
чисельних |
і |
Статистика |
збирання, опрацювання, |
подання, |
|
спостережень |
|
аналізу й інтерпретації даних, а |
|||
кількісної інформації |
|
також формулювання статистичних |
|||
|
|
|
висновків і висновків на підставі |
||
|
|
|
кількісних даних |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1. Значення терміну «статистика» Таблиця 1. Основні поняття статистичних та вибіркових сукупностей
Параметр |
властивості, що піддаються оцінці в будь-якій формі (якісній або кількісній) |
|
|
Статистична |
група, що складається з великого числа відносно однорідних елементів |
сукупність |
(об’єктів), взятих разом у певних межах часу або простору |
|
|
Випадкова величина |
величина, яка в результаті експерименту, який може бути повторений при |
незмінних умовах велику кількість разів, може прийняти значення х1, х2,..., хn |
|
Дискретна |
величина, котра може приймати скінчену кількість значень (рис. 2) |
випадкова величина |
|
Неперервна |
величина, котра може приймати будь-які числові значення в даному інтервалі |
випадкова величина |
значень (рис. 2) |
Випадкова величина
Дискретна
випадкова величина
Неперервна
випадкова величина
кількість дітей, що народилися за добу в м. Києві
маса тіла і вага новонароджених
|
Рис. 2. |
|
Продовження таблиці 1. |
|
|
Генеральна сукупність |
сукупність, що складається з усіх одиниць спостереження, що можуть бути до неї |
|
віднесені відповідно до мети дослідження |
Вибірка |
частина генеральної сукупності, за властивостями якої судять про генеральну |
(вибіркова сукупність) |
сукупність |
|
|
Однорідність Репрезен- тативність
Рис. 3. Вимоги до вибіркової сукупності
Таблиця 2. Варіаційний ряд і його параметри
Варіаційний ряд |
сукупність значень вивченого в певному |
експерименті або |
спостереженні |
|
параметра, проранжованих за величинами (зростання або спадання) |
||||
|
||||
Варіанта |
числове значення досліджуваної ознаки; складова варіаційного ряду |
|||
Середня величина |
узагальнююча числова характеристика |
якісно однорідних |
величин, яка |
|
характеризує одним числом усю статистичну сукупність за одною ознакою |
||||
|
||||
Середні величини
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мода |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Медіана |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Середньоарифметична |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
величина |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
Рис. 4. Загальновживані види середніх величин |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Продовження таблиці 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Мода |
значення, що найбільш часто зустрічається в серії спостережень |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Медіана |
значення, що поділяє розподіл на дві рівні частини, центральне або середнє |
||||||||||||||||||||||||||
значення серії спостережень, упорядкованих за зростанням або спаданням |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s 1 |
|
|
|
|
||
Середньоарифметична |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
хі |
|
|
|
|
|||
величина |
середнявеличина, яка розраховується за формулою: М |
n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Частота (р) |
абсолютна чисельність окремих варіант у сукупності, що вказує, скільки разів |
||||||||||||||||||||||||||
зустрічається ця варіанта у варіаційному ряді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Простий |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(частота р = 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіаційний ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
Згрупований укорочений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(частота р > 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.Види варіаційного ряду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Приклад 1. Незгрупований і непроранжований варіаційний ряд |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
|
4 |
|
5 |
6 |
|
7 |
|
8 |
9 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
120 |
115 |
120 |
|
125 |
|
120 |
115 |
|
120 |
115 |
120 |
120 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Приклад 2. Згрупований варіаційний ряд, отриманий ранжуванням з прикладу 1 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
|
4 |
|
5 |
6 |
|
7 |
|
8 |
9 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
115 |
115 |
115 |
|
120 |
|
120 |
120 |
|
120 |
120 |
120 |
125 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Продовження таблиці 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Середнє квадратичне |
|
величина, якахарактеризує ступінь розсіювання варіаційного ряду навколо |
|||||||||||||||||||||||||
відхилення ( ) |
|
середньої величини |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
величина, необхідна для порівняння ступеня розмаїтості ознак, виражених у |
|||||||||||||||||||||||||
Коефіцієнт варіації Сv |
|
різноманітних одиницях виміру. Обраховується за формулою С |
|
|
|
100 |
|||||||||||||||||||||
v |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|||
Помилка |
|
найважливіша статистична величина, необхідною для оцінки достовірності |
|||||||||||||||||||||||||
репрезентативності |
|
результатів дослідження |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Закони |
розподілу |
|
|
|
|
Закони |
розподілу неперервних |
|
|||
|
дискретних |
Закони |
|
|
випадкових величин. |
|
|
|||||
|
випадкових величин |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
розподілу |
|
|
Нормальний закон |
розподілу |
|
||||
|
Біноміальний розподіл |
випадкових |
|
|
(Гаусса) |
|
|
|
|
|||
|
(розподіл Бернуллі) |
величин |
|
|
Розподіл |
2 |
|
|
||||
|
Розподіл Пуассона |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Розподіл Ст’юдента (Госсета) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Таблиця 3. Закони розподілу випадкових величин |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Закон розподілу |
функціональна |
залежність |
між |
значеннями |
|
випадкових |
величин та |
|||||
випадкових величин |
ймовірностями з якими вони приймають ці значення |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Дискретна випадкова величина х, яка може приймати тільки цілі невід’ємні значення з |
||||||||||
|
|
ймовірностями P (X m) Cm pmqn , |
m=0, 1, ..., n, де р – ймовірність появи події в |
|||||||||
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кожному випробуванні, m – кількість сприятливих подій, n – загальна кількість |
||||||||||
Біноміальний розподіл |
випробувань, q=1–p, Cnm |
|
n! |
|
називається |
розподіленою |
за біноміальним |
|||||
m!(n m)! |
||||||||||||
(розподіл Бернуллі) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
законом з математичним сподіванням np, та дисперсією – npq.
Закон Бернуллі використовується тоді, коли необхідно знайти ймовірність появи випадкової події, яка реалізується рівно m з серії n випробувань.
Біноміальному закону розподілу підпорядковуються випадкові події такі, як число викликів швидкої допомоги за певний проміжок часу, черги до лікаря в поліклініці, епідемії тощо.
Дискретна випадкова величина Х, яка може приймати тільки цілі невід’ємні значення з ймовірностями
|
|
P (X m) |
me |
,m 0,1,...., 0 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Розподіл Пуассона |
n |
|
m! |
|
, називається розподіленою за законом Пуассона |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
з математичним сподіванням і дисперсією |
, |
де np. |
Розподіл Пуассона, |
як |
||||||||||||
|
|
граничний біноміальний використовується при вирішенні задач надійності медичного |
||||||||||||||||
|
|
обладнання та апаратури, розповсюдження епідемії, викликів до хворого дільничих |
||||||||||||||||
|
|
лікарів та в інших задачах масового обслуговування |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
В біології та медицині найчастіше розглядають випадкові величині, які мають |
||||||||||||||||
|
|
нормальний закон розподілу, наприклад, частота дихання, частота серцевих |
||||||||||||||||
Нормальний закон |
скорочень, динаміка росту популяції тощо. Стандартним нормальним |
|||||||||||||||||
розподілом називають розподіл з нульовим математичним сподіванням і |
||||||||||||||||||
розподілу (Гаусса) |
||||||||||||||||||
одиничною дисперсією, щільність розподілу якого має наступний вигляд: |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
(x) 1 e |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Нехай незалежні випадкові величини х1, х2,..., хn розподілені за нормальним |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
законом з mc=0 та 2 |
=1. Закон розподілу випадкової величини |
2 xi2 |
||||||||||||||
Розподіл |
2 |
i 1 |
, |
|||||||||||||||
|
називається |
|
хі-квадрат |
розподілом з |
n |
ступенями |
вільності |
(кількість |
||||||||||
незалежних координат). Зі збільшенням ступенів вільності розподіл 2 наближається до нормального.
Нехай х, у незалежні випадкові величини, причому х розподілено за
|
нормальним законом з параметрами (0;1), у – за законом |
2 |
|
||||||||
|
з n ступенями |
||||||||||
Розподіл Ст’юдента |
|
|
|
|
t |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(Госсета) |
вільності. Тоді, |
розподіл |
випадкової |
величини |
|
|
y називається |
законом |
|||
|
Ст’юдента |
з |
n |
ступенями |
|
|
|
|
вільності |
або |
|
|
t-розподілом. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При збільшенні числа ступенів вільності розподіл Ст’юдента наближається до |
||||||||||
|
нормального. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|