Демонстраційний приклад 1

Дослідимо характер зміни з часом приросту населення (на 1000 чол.) в місті N та підберемо апроксимуючу функцію, маючи наступні дані:

Рік	1997	1998	1999	2000	2001
Приріст населення	17,1	18,0	18,9	19,7	19,7

Для побудови діаграми, передусім, введемо дані в електронну таблицю (рис. 52). За введеними даними будуємо діаграму. Оскільки, зміна приросту населення подано за однакові проміжки часу – вибираємо діаграмуГрафік.

Рис. 52. Введення даних в електронну таблицю та побудова діаграми (графіка)

Клацанням вказівником миші на панелі інструментів викликаємо Майстер діаграм. В діалоговому вікні, що з’явилося вибираємо тип діаграмиГрафік, вид –графік з маркерами. Після натиснення кнопкиДалеевказуємо за допомогою миші діапазон даних –В1:В6. Перевіримо положення перемикачаРяды в: строках. Вибираємо вкладкуРяді з допомогою мишки вводимо діапазон підписів осіХ:А2:А6, та ім’я ряду даних –Приріст населення на 1000 чол. Натиснувши кнопкуДалее, вводимо підпис осіХ–Рокиі натискаємо кнопкуГотово. Отримали графік експериментальних даних (рис. 52).

Апроксимуємо отриману криву поліноміальною функцією другого порядку, оскільки крива досить гладка і не дуже відрізняється від прямої лінії. Для цього викликаємо контекстне меню графіка, в якому вибираємо пункт Добавить линию тренда. В діалоговому вікні, що з’явилося,Лінія тренда(рис.53) на вкладціТипвибираємо тип лінії тренда –Поліноміальнаі встановлюємо степінь –2. Потім відкриваємо вкладкуПараметры(рис. 53) і встановлюємо прапорці в поляпоказывать уравнения на диаграмме та поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R^2), після чого натискаємо на кнопку ОК.

Рис. 53. Вкладки діалогового вікна Линия тренда

В результаті отримуємо апроксимуючу криву (рис. 54).

Рис. 54. Експериментальні дані, апроксимовані поліноміальною кривою

Як видно з рисунка 54, рівняння поліноміальної апроксимуючої функції для деяких значень х (1, 2, 3,…) має вигляду = -0,1357х²+1,5043х+15,66. При цьому точність апроксимації досить високаR² =0,986.

Спробуємо покращити якість апроксимації вибором іншого типу функції (можливо, більш адекватного). В даному випадку допустимим варіантом може бути логарифмічна функція. Для цього аналогічно до описаного вище апроксимуємо дані логарифмічною кривою (тип лінії тренду – Логарифмическая). В результаті маємо інший варіант апроксимації (рис. 55).

Рис. 55. Експериментальні дані, апроксимовані логарифмічною кривою

Проаналізувавши рисунок 55, стверджуємо, що рівняння логарифмічної апроксимуючої кривої поступається в точності апроксимації поліноміальної кривої – R²= 0,9716 < 0,986. Тому, за відсутності будь - яких теоретичних міркувань, можна вважати, що найкращою апроксимацією є апроксимація поліноміальною функцією другого степеня (з двох розглянутих варіантів).

Демонстраційний приклад 2

Після викиду ядовитої речовини його концентрація (мг/л) у водоймищі змінювалась у відповідності з наступною таблицею:

Час після викиду (год.)	1	3	5	8
Концентрація речовини (мг/л)	8,0	2,8	1,0	0,3

Визначимо тип функціональної залежності зміни концентрації речовини з часом і оцінимо її концентрацію в момент викиду. Для цього введемо дані в електронну таблицю та побудуємо діаграму. Оскільки необхідно будувати динаміку зміни концентрації речовини відповідно з вказаними проміжками часу (нерівномірними) – будуємо діаграму Точечная(рис. 56).

Апроксимуємо отриману криву. Оскільки крива візуально походить на експоненту і з теоретичних міркувань ймовірніше, що закон зміни – експоненціальний, доцільно апроксимувати криву зміни концентрації експоненціальною функцією. Для цього викликаємо контекстне меню графіка, в якому вибираємо пункт Добавить линию тренда. В діалоговому вікні, що з’явилося,Лінія трендана вкладціТипвибираємо тип лінії тренда –Експоненціальна. Потім відкриваємо вкладкуПараметрыі встановлюємо прапорці в поляпоказывать уравнения на диаграмме та поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R^2). Крім цього, для того щоб оцінити концентрацію речовини у водоймищі в момент викиду, в поліПрогноз назад навстановлюємо1 периодов. Після чого натискаємо кнопкуОК. В результаті отримуємо апроксимуючу криву (рис. 57).

Як видно з рисунка 57, рівняння експонентної апроксимуючої функції для залежності концентрації від часу має вигляд у = 11,844е^-0,4695. При цьому точність апроксимації досить високаR² =0,9951, що дозволяє вважати опис процесу зміни концентрації речовини у водоймищі експоненціальною функцією адекватним. Розрахункова оцінка концентрації речовини в момент викиду, як видно з графіка, становить близько 12 мг/л. Точнішу цифру отримуємо з рівнянняу = 11,844е^-0,4695 при х = 0 (у₀ = 11,84 мг/л).

Рис. 56. Введення даних в електронну таблицю та побудова точкової діаграми

Рис. 57. Експериментальні дані, апроксимовані експонентною кривою