4.1.4. Переполнение в целочисленной арифметике

В системе дополнения до двух n бит могут представлять значения из диапазона от −2^n-1 до +2^n-1-1. Используя, предположим, четыре бита, можно представить чис­ла от -8 до +7 (рис. 4.1). Когда результат арифметической операции выходит за пределы представимого диапазона, происходит арифметическое переполнение. При сложении беззнаковых чисел индикатором переполнения служит перенос с_n из позиции старшего разряда. Однако при сложении чисел со знаком это не сра­батывает. Возьмем, к примеру, 4-битовые числа со знаком. Если попытаться сло­жить числа +7 и +4, результирующим вектором суммы S будет 1011, а это код числа -5. Как видите, результат сложения неверный, хотя сигнал переноса из по­зиции MSB равен 0. Точно так же при сложении чисел -4 и -6 получим вектор S = 0110 = +6, то есть еще один ошибочный результат. Сигнал переноса в данном случае равен 1. Таким образом, переполнение может произойти при условии, что оба слагаемых имеют одинаковый знак. Сложение же чисел с разными знаками не вызывает переполнения.

Отсюда можно сделать следующие выводы.

1. Переполнение может произойти только при сложении чисел с одинако­выми знаками.

2. При сложении чисел со знаком сигнал переноса из позиции знакового би­та не является индикатором переполнения.

Способ обнаружения переполнения заключается в анализе знаков слагаемых Х и У и знака результата. Если оба операнда, Х и Y, имеют один и тот же знак, ин­дикатором переполнения является несовпадение их знака со знаком суммы.

4.2. Символы

Компьютеры должны обрабатывать не только числа, но и текстовую информа­цию, состоящую из символов. Под термином «символы» подразумеваются буквы алфавита, десятичные цифры, знаки препинания и т. п. Они представляются ко­дами, обычно имеющими длину 8 бит. Одной из наиболее широко распространен­ных кодовых таблиц является таблица ASCII (American Standard Code For Infor­mation Interchange), приведенная в приложении.

4.3. Обработка чисел с плавающей запятой

До сих пор речь шла только о числах с фиксированной запятой и целочисленных значениях, то есть таких, при обработке которых предполагается, что двоичная запятая находится справа от числа. Если считать, что двоичная запятая располагается справа от знакового разряда, определяя дробное значение, то в систе­ме дополнения до двух значение числа со знаком F, представленного n-разрядной двоичной дробью

В= b₀,b_-1,b_-2 ...b_-(n-1)

определяется функцией

F(B) = -b₀  2⁰ + b-₁  2^-1 + b-₂  2^-2 +...+ b-_(n-1)  2^-(n-1)

где значение F лежит в диапазоне

-1 ≤ F ≤ 1 - 2^-(n-1)

Рассмотрим диапазон значений, которые можно представить в 32-разрядном формате с фиксированной запятой. Если интерпретировать их как целые числа, получается диапазон от 0 до ±2,15  10⁹, а если как дроби — диапазон от ±4.55  10^-10 до ±1. Ни одного из этих диапазонов не достаточно для научных вычисле­ний, в которых могут использоваться такие параметры, как число Авогадро (6,0247 х 10²³ моль^-1) и константа Планка (6,6254 х 10^-27 эргс). Необходим такой формат, который подходил бы и для очень больших целых, и для очень малень­ких дробных чисел. Для этого компьютер должен уметь представлять числа и оперировать ими таким образом, чтобы позиция двоичной запятой была перемен­ной и автоматически изменялась в процессе вычислений. Такие числа называют числами с плавающей запятой. Напомним, что в числах с фиксированной запятой двоичная запятая всегда располагается в одной и той же позиции.

Поскольку в числе с плавающей запятой позиция двоичной запятой перемен­ная, она должна быть явно задана в представлении числа. Так, в хорошо знакомом вам научном десятичном формате числа могут записываться как 6,0247 х 10²³, 6,6254 х 10^-27, -1,0341 х 10², -7,3000 х 10^-14 и т. д. Говорят, что в этих числах по пять значащих цифр. Масштабные множители (10²³, 10^-27 и т. д.) указывают по­зицию десятичной запятой по отношению к значащим цифрам. Числа, в которых десятичная запятая расположена справа от первой (ненулевой) значащей цифры, называют нормализованными. Основание масштабного множителя (10), которое является фиксированным, в машинном представлении чисел с плавающей запя­той можно не задавать. Итак, число с плавающей запятой должно содержать знак, значащие цифры и показатель степени 10 в масштабном множителе.

Теперь мож­но дать точное определение машинного представления числа с плавающей запя­той: оно состоит из знака, строки значащих цифр, называемой мантиссой, и пока­зателя степени (фиксированного основания), называемого порядком.