topology / Многообразия / Бутылка Клейна 2

Бутылка Клейна

1. Введение

2. История происхождения

3.Бутылка клейна и прочее

4.Заключение

Список использованной литературы

1. Болтянский В.Г., Ефремович В.А. Наглядная топология. – М.: Наука, 1983. – 160 с.

2. Гильберт Д. и Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия / перевод с немецкого С.А. Каменецкого. – М.: Объединенное научно-техническое издательство, 1936. – 305 с.

3. Кадомцев С.Б. Геометрия Лобачевского и физика. – М.: ЛКИ, 2007. – 72 с.

4. Новиков С.П. Топология. – Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. – 336 с.

5. Фоменко А.Т. Наглядная геометрия и топология. Математические образы в реальном мире. – М.: ЧеРо, 1998. – 416 с.

1. Феликс Христиан Клейн – немецкий математик. Пытаясь доказать непротиворечивость геометрии Лобачевского, изобрел открытие поразительной красоты - свою бутылку в 1882 г. Это блестящий и очень наглядный пример односторонней поверхности. В ней со всей полнотой проявился и талант математика, и дар выдающегося преподавателя.

Бутылка Клейна - это математическая неориентируемая поверхность, в которой неразличимы внутренняя и внешняя стороны.

Актуальность темы работы заключается в том, что в последнее столетие большое влияние на ряд различных областей знаний приобрела новая ветвь геометрии - топология. В наше время эта наука бурно развивается и находит применение в различных областях.

Задачи работы: Определить понятие бутылки Клейна. Изучить взаимосвязь бутылки Клейна с лентой Мебиуса и поверхностью Боя.

2. Бутылка Клейна – неориентируемая поверхность первого рода, т.е. поверхность, у которой нет различия между внутренней и внешней сторонами, и которая, таким образом, в пространстве ограничивает собой нулевой объем.

Бутылка Клейна впервые была описана в 1882 г. немецким математиком Ф. Клейном. Она тесно связана с лентой Мебиуса и вложениями проективной плоскости, например поверхностью Боя.

Название, по одной версии, происходит от неправильного перевода немецкого слова Fläche (поверхность), которое в немецком языке близко по написанию к слову Flasche (бутылка). По другой версии, название обязано тому обстоятельству, что простейшее наглядное изображение данной поверхности в пространстве напоминает по форме бутылку.

Для того, чтобы убедиться в тесноте связи бутылки Клейна с лентой Мебиуса, рассмотрим лист Мебиуса μ на рис.1. ([1], с. 12-22)…

Таким образом, мы доказали тесную связь бутылки Клейна с лентой Мебиуса и вложениями проективной плоскости, например поверхностью Боя.

Заключение. Чтобы сделать бутылку Клейна, необходимо взять бутылку с отверстием в донышке, вытянуть горлышко, изогнуть его вниз, и продев его через отверстие в стенке бутылки (для настоящей бутылки Клейна в четырёхмерном пространстве это отверстие не нужно, но без него нельзя обойтись в трёхмерном евклидовом пространстве), присоединить к отверстию на дне бутылки.

В отличие от обыкновенного стакана у этого объекта нет «края», где бы поверхность резко заканчивалась. В отличие от воздушного шара можно пройти путь изнутри наружу не пересекая поверхность (т. е. на самом деле у этого объекта нет «внутри» и нет «снаружи»).

Основные свойства бутылки Клейна:

1. Подобно ленте Мебиуса, бутылка Клейна является двумерным дифференцируемым неориентируемым многообразием. В отличие от ленты Мёбиуса, бутылка Клейна является замкнутым многообразием, то есть компактным многообразием без края.

2. Бутылка Клейна не может быть вложена (только погружена) в трёхмерное евклидово пространство R³, но вкладывается в R⁴.

3. Бутылка Клейна может быть получена склеиванием двух лент Мёбиуса по краю. Однако в обычном трехмерном евклидовом пространстве R³ сделать это, не создав самопересечения, невозможно.

4. Хроматическое число поверхности равно 6.

5. Если разрезать бутылку Клейна пополам вдоль её оси симметрии, то результатом будет лента Мёбиуса, изображенная справа (необходимо помнить, что изображенного пересечения на самом деле нет).

Таким образом, бутылка Клейна – геометрическое тело, полученное склейкой двух листов Мебиуса по их краю. Представляет собой подобие тора, однако в отличие от последнего перекручена на один поворот таким образом, что при обходе поверхности бутылки Клейна гипотетический путешественник возвратится зеркально отражённым.