topology / Многообразия / Эйлерова характеристика

Эйлерова характеристика

В алгебраической топологии, эйлерова характеристика есть топологический инвариант (и даже гомотопический инвариант) определённый на большом классе топологических пространств. Обычно эйлерова характеристика пространства обозначается.

Эйлерова характеристика двумерных топологических полиэдров может быть посчитана по формуле: где Г, Р и В суть числа граней, рёбер и вершин соответственно. В частности, для любого выпуклого многогранника верна формула Эйлера:

Например, для куба 6 − 12 + 8 = 2 и для треугольной пирамиды 4 − 6 + 4 = 2.

Определения и свойства

Для конечного клеточного комплекса (в частности для конечного симплициального комплекса) эйлерова характеристика может быть определена как знакопеременная сумма

где обозначает число клеток размерности .

Эйлерова характеристика произвольного топологического пространства может быть определена через числа Бетти как знакопеременная сумма:

Это определение имеет смысл только если все числа Бетти конечны и обнуляются для всех достаточно больших индексов.

Последнее определение обобщает предыдущее и обобщается на другие гомологии с произвольными коэффициентами.

Например окружность и тор имеют характеристику 0, а шар имеет характеристику 1.

Эйлерова характеристика сферы с g ручками равна

.

Согласно формуле Гаусса — Бонне, эйлерова характеристика замкнутой поверхности равна

где K обозначает гауссову кривизну.

Обобщённая формула Гаусса — Бонне даёт похожую формулу для произвольных замкнутых римановых многообразий.

Существует также дискретный аналог теоремы Гаусса — Боне, гласящий, что эйлерова характеристика равна сумме дефектов полиэдра делённой на .

Если два пространства гомотопически эквивалентны то их числа Бетти совпадают, а таким образом и эйлеровы характеристики совпадают.

Литература

Долбилин Н. Три теоремы о выпуклых многогранниках // Квант. — 2001. — № 5. — С. 7-12.

Лакатос И. Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы / Пер. И. Н. Веселовского. — М.: Наука, 1967.

Шашкин Ю. А. Эйлерова характеристика. — М.: Наука, 1984. — Т. 58. — (Популярные лекции по математике).