Задание. Привести задачу линейного программирования к каноническому виду и решить с помощью табличного симплекс-метода и графически. Пояснить результаты.
Варианты
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
4. ДВОЙСТВЕННАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Пусть исходная задача линейного программирования представлена в основнойформе:
(3.1)
Двойственной к (3.1) задачей называется задача ЛП вида:
(3.2)
где A'- транспонированная матрицаА. Задачи (3.1) и (3.2) называют парой симметричных двойственных задач ЛП.
Правила построения двойственной задачи.
В исходной задаче переменными являются
,
в двойственной -
Каждому ограничению прямой задачи
соответствует по номеру переменная
двойственной задачи, и каждой переменной
прямой задачи соответствует по номеру
ограничение двойственной задачи.В исходной задаче отыскивается максимумцелевой функции, в двойственной задаче –минимум.
Матрицы условий исходной и двойственной задач являются транспонированными друг к другу.
Вектор коэффициенты целевой функции исходной задачи становится вектором ограничений двойственной задачи. Вектор ограничений прямой задачи становится вектором коэффициентов целевой функции двойственной задачи.
Если исходная задача задана в общей форме, т.е. наряду с ограничениями-неравенствами имеются ограничения-равенства и не все переменные задачи обязаны быть неотрицательными, то при построении двойственной задачи необходимо учитывать следующее. В двойственной задаченеравенствамибудут те ограничения, номера которых определяются номераминеотрицательныхпеременных исходной задачи (остальные ограничения будут равенствами). Требованиюнеотрицательностибудут подчиняться только те переменные двойственной задачи, которым соответствуют ограничения-неравенствав исходной задаче. Двойственная задача имеет решение тогда и только тогда, когда имеет решение исходная задача, причем оптимальные значения целевых функций обеих задач равны. Оптимальное решение двойственной задачи можно найти, либо решив ее непосредственно с помощью симплекс-метода, либо – с помощью последней симплекс-таблицы для исходной задачи:элементы(m+1)-йстроки таблицы, соответствующие начальному базису, определяют оптимальное решение двойственной задачи.
Вопросы
Дайте определение двойственной задачи ЛП и сформулируйте правила построения двойственной модели.
Сформулируйте теоремы двойственности.
Как связаны решения пары двойственных задач?
Задание.Для задач ЛП, приведенных в лабораторной работе2, получить двойственную задачу и найти ее решение.
5. Метод потенциалов решения транспортной задачи
Первоначальный план перевозок найти методом северо-западного угла. Вариант выбирается по дате рождения. Например, 11 апреля 1983:
-
1
1
0
4
1
9
8
3
a
b
c
d
e
f
g
h
-
a+e
7
8
3
2
20
12
b+f
1
4
6
30
4
11
c+g
8
9
40
8
c+d
10
d+h
7
50
3
4
5
6
a+b
10
10
20
30
40
50
Здесь
- товар вi-м пункте
поставки;
- товар, необходимыйj-му
потребителю;
в
остальных клетках матрицы величины
- стоимость перевозки единицы груза
(товара) отi-го
поставщикаj-му
потребителю,
.
Необходимо формализовать задачу и найти решение методом потенциалов.