Министерство образования и науки украины

Таврический национальный университет им. В.И. Вернадского

Факультет управления

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ И ЗАДАНИЯ

по дисциплине

ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ

Симферополь, 2010

СОДЕРЖАНИЕ

	Математическое программирование
1.	Необходимые и достаточные условия экстремума
	Линейные модели исследования операций
2.	Формализация задач линейного программирования
3.	Задача линейного программирования
4.	Двойственная задача линейного программирования
5.	Метод потенциалов решения транспортной задачи
	Дискретные модели исследования операций
6.	Задача целочисленного линейного программирования
7.	Метод ветвей и границ в решении задачи коммивояжера
8.	Задача управления запасами
	Сетевые модели исследования операций
9.	Нахождение максимального потока в сети
10.	Определение кратчайшего пути в сети методом динамического программирования
11.	Модель сетевого планирования
	Элементы теории расписаний
12.	Задачи Джонсона о загрузке станков
	Теоретико-игровые модели исследования операций
13.	Решение матричных игр
	Вероятностные модели исследования операций
14.	Системы массового обслуживания
	Список литературы

Математическое программирование

1. НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА

Задание. Исследовать и решить задачи.

Варианты

1. 2.3.

4. 5.6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25.

Линейные модели исследования операций

2. ФОРМАЛИЗАЦИЯ ЗАДАЧ

ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Задание. По данной текстовой формулировке задачи исследования операций построить ее математическую модель в виде задачи линейного программирования. Записать для нее двойственную задачу.

Варианты

1. Изделия 4-х типов проходят последовательную обработку на 2-х станках. Время обработки одного изделия каждого типа на каждом станке приведено в таблице.

Станок	Время обработки одного изделия, час.
	Тип 1	Тип 2	Тип 3	Тип 4
1	2	3	4	2
2	3	2	1	2

Затраты на производство одного изделия каждого типа определяются как величины, прямо пропорциональные времени использования станков (в машино-часах), стоимость машинного часа составляет 10 д.е. для первого станка и 15 д.е. для второго станка. Допустимое время использования станков для обработки изделий всех типов ограничено следующими значениями: 500 машино-часов для первого станка и 380 – для второго станка. Цены изделий: 1 типа – 85, 2 типа – 90 , 3 типа – 75 , 4 типа – 65 д.е.

Сформулируйте для приведенных условий задачу максимизации чистой суммарной прибыли.

2. Процесс изготовления двух видов промышленных изделий состоит в последовательной обработке каждого из них на трех станках. Время использования этих станков для производства данных изделий ограничено – 10 часов в сутки. Время обработки и прибыль от продажи одного изделия каждого вида приведены в таблице.

Найти оптимальные объемы производства изделий каждого вида.

Изделие	Виды обработки одного изделия, мин. Станок 1 Станок 2 Станок 3			Удельная прибыль, д.е.
1	10	6	8	2
2	5	20	15	3

3. Фирме предстоит решить, какое количество х₁ чистой стали и какое количество х₂ металлолома следует использовать для приготовления из соответствующего сплава литья для одного из своих заказчиков.

Пусть производительные затраты в расчете на 1 тонну чистой стали равняются 3 д.е., а затраты в расчете на 1 тонну металлолома – 5 д.е. Заказ предусматривает поставку не менее 5 тонн литья. Предположим, что запасы чистой стали ограничены и не превышают 4 тонн, а запасы металлолома не превышают 6 тонн. Отношение металлолома к весу чистой стали в процессе получения сплава не должно превышать 7:8. Производственно-технологические условия таковы, что на процессы плавки и литья не может быть отведено более 18 часов; при этом на 1 тонну стали уходит 3 часа, а на 1 тонну металлолома –2 часа производственного времени. Составить оптимальный план выпуска сырья, минимизирующий затраты.

4. Фирма, специализирующаяся на производстве замороженных пищевых полуфабрикатов, выпускает три различных продукта (1,2,3), каждый из которых получается путем определенной обработки картофеля и подлежит соответствующей упаковке. Фирма может закупить картофель у двух различных поставщиков. При этом объемы 1, 2 и 3 продуктов, которые можно получить из одной тонны картофеля первого поставщика, отличаются от объемов тех же продуктов, получаемых из того же количества картофеля второго поставщика.

Вид продукта	Объемы продуктов (т) из сырья, получаемого от		Ограничения на объем выпускаемой продукции (не менее, чем указано, т)
	1 поставщика	2 поставщика
1	0,2	0,3	1,8
2	0,2	0,1	1,2
3	0,3	0,3	2,4
Относительные расходы на 1т сырья, д.е.	5	6

Сформулируйте задачу об оптимальной закупке картофеля.

5. Фирма столкнулась с проблемой наиболее рационального использования ресурсов лесоматериалов, имеющихся в одном из принадлежащих этой фирме лесных массивов. У фирмы имеется лесопильный завод и фабрика, на которой изготовляют фанеру. Лесоматериалы можно использовать как для приготовления пиломатериалов, так и для изготовления фанеры.

Чтобы получить 2,5м³ пиломатериалов, необходимо израсходовать 2,5 м³ еловых и 7,5м³ пихтовых лесоматериалов. Для приготовления 100м² фанеры требуется 5м³ еловых и 10м³ пихтовых лесоматериалов. Лесной массив содержит 80м³ еловых и 180м³ пихтовых лесоматериалов. Согласно условиям поставок, необходимо произвести по крайней мере 10м³ пиломатериалов и 1200м² фанеры. Доход с 1м³ пиломатериалов составляет 26 д.е., а со 100м² фанеры – 60 д.е. Определить оптимальный объем производства, обеспечивающий наибольшую прибыль.

6. Фирма имеет возможность рекламировать свою продукцию, используя местные радио- и телевизионную сети. Затраты на рекламу в бюджете фирмы ограничены величиной 1000 д.е. в месяц. Каждая минута радиорекламы обходится в 5 д.е., а каждая минута телерекламы – 100 д.е.

Фирма хочет использовать радиосеть по крайней мере в 2 раза чаще, чем сеть телевидения. Опыт прошлых лет показал, что объем сбыта, который обеспечивает каждая минута телерекламы, в 25 раз больше объема сбыта, обеспечиваемого одной минутой радиорекламы.

Определить оптимальное распределение финансовых средств, ежемесячно отпускаемых на рекламу, между радио- и телерекламой.

7. Имеются три механизма – А₁, А₂, А₃, каждый из которых может быть использован на одном из трех видов работ В₁, В₂, В₃ с производительностью в условных д.е. в час, указанной в таблице:

Механизмы	Производительность механизмов по видам продукции, д.е./час.
	В1	В2	В3
А1	1	2	3
А2	2	4	1
А3	3	5	2

Требуется распределить механизмы по видам работ, чтобы суммарная производительность была максимальной и при этом первая работа была выполнена на сумму не менее 12 д.е., вторая – не менее 15 д.е., третья – не менее 7 д.е.

Указание. Рекомендуется использовать в качестве элементов решения булевы переменные

8. Фирма производит два вида продукции - А и В. Объем сбыта продукции вида А должен составлять не менее 60% общего объема реализации продукции обоих видов. Для изготовления продукции видов А и В используется одно и то же сырье, суточный запас которого ограничен величиной 100 кг. Расход сырья на единицу продукции А – 5 кг, а на единицу продукции В – 4 кг. Цены продукции А и В равны 20 и 40 д.е. соответственно.

Определить оптимальный объем выпуска продукции А и В, максимизирующий прибыль.

9. Фирма изготовляет ковбойские шляпы двух фасонов. Трудоемкость изготовления шляпы фасона 1 вдвое выше трудоемкости изготовления шляпы фасона 2. Суточный объем сбыта шляп обоих фасонов ограничен диапазоном от 150 до 200 штук. Прибыль от продажи шляпы фасона 1 равна 8 д.е., а фасона 2 - 5 д.е. Определить, какое количество шляп каждого фасона следует изготовлять, чтобы максимизировать прибыль.

10. Фирмой выпускаются радиоприемники трех различных моделей: А,В,С. Каждое изделие указанных моделей приносит доход в размере 8, 15, 25 д.е. соответственно. Необходимо, чтобы фирма за неделю выпускала не менее 100 приемников модели А, 150 приемников модели В и 75 приемников модели С. Каждая модель характеризуется определенным временем, необходимым для изготовления соответствующих деталей, сборки изделия и его упаковки. Так, в расчете на 10 приемников модели А требуется 3 часа для изготовления соответствующих деталей, 4 часа на сборку и 1 час на упаковку. Соответствующие показатели в расчете на 10 приемников модели В – 3,5; 5 и 1,5 часа, на 10 приемников модели С – 5, 8 и 3 часа. В течение ближайшей недели фирма может израсходовать на производство радиодеталей 150 часов, на сборку – 200 часов, на упаковку – 60 часов. Найти план производства, обеспечивающий максимальную прибыль.

11. Имеется два вида корма I и II, содержащие питательные вещества (витамины) . Содержание числа единиц питательных веществ в 1 кг каждого вида кормов и необходимый минимум питательных веществ приведены в таблице:

Питательное вещество	Необходимый минимум	Число единиц питательных веществ в 1 кг корма
		I	II
	7	3	2
	6	2	4
	10	2	6

Стоимость 1 кг корма I и II соответственно равна 5 и 7 д.е. Необходимо составить дневной рацион, имеющий минимальную стоимость и содержащий необходимое количество питательных веществ.

12. Некоторая фирма выпускает три вида тканей, причем суточный объем производства тканей по заказам составляет не менее 90 м ткани первого вида, 70 м – второго и 60 м – третьего. Суточные ресурсы следующие: 80 единиц производственного оборудования, 850 т сырья и 790 единиц электроэнергии, расход которых на 1 м ткани представлен в таблице:

Ресурсы	Ткани
	I	II	III
Оборудование, ед	7	3	2
Сырье,т	6	2	4
Электроэнергия	10	2	6

Цена за 1м ткани вида I равна 80 д.е., II – 70 д.е., III – 60 д.е. Определить оптимальный объем выпуска всех видов ткани, максимизирующий общую стоимость продукции.

13. На обувной фабрике можно производить три вида продукции: мужскую, женскую и детскую. На каждую пару мужской, женской и детской обуви соответственно требуется клея 40, 40 и 20 г, кожи 5, 3 и 1 дм³. Стоимость мужской, женской и детской обуви с учетом всех видов работ соответственно равна 200, 230, 100 д.е. Запасы клея составляют 3 тонны, а кожи – 4000 м³. Найти план производства обуви, при котором стоимость выпущенной продукции максимальна.

14. Имеются трое работников А₁, А₂, А₃, каждый из которых может быть выполнять в течение смены одну из трех видов работ В₁, В₂, В₃ с производительностью в условных д.е., указанной в таблице:

Работники	Производительность работников по видам продукции, д.е. за смену
	В1	В2	В3
А1	10	12	10
А2	9	14	12
А3	13	8	12

В течение смены необходимо выполнить объем по каждому из видов работ на суммы не менее 10 д.е. Требуется распределить работников по видам работ, чтобы производительность за смену была максимальной.

См. указание к варианту 7.

15. Для строительства базы отдыха у моря выделен участок длиной 1,7 км и шириной 800 м. На нем можно разместить коттеджи трех типов – I ,II,III с числом комнат для отдыхающих 2, 3 и 4 соответственно. Площади коттеджей с квадратным фундаментом составляют 49, 64 и 100 м². Составить оптимальный план застройки по количеству коттеджей каждого типа, при котором общее число комнат будет максимальным.

16. Инвестор располагает суммой в 10 млн. д.е., которую он может направить на финансирование краткосрочных проектов трех типов с затратами в 500, 600 и 100 тыс. д.е. и ожидаемой прибылью 2, 1 и 2,5 млн. д.е. соответственно. Инвестор может финансировать произвольное количество проектов каждого типа, но не менее одного проекта первого и двух проектов второго типа. Разработать программу инвестирования с максимальной ожидаемой прибылью.

17. На двух автоматических линиях выпускают автоматы трех типов. Другие условия задачи приведены в таблице:

Тип аппарата	Производительность работы линий, шт. в сутки		Затраты на работу линий, д.е. в сутки		План, шт.
	1	2	1	2
А	4	5	400	300	60
В	5	7	300	200	50
С	9	2	500	400	70

Составить такой план загрузки станков, при котором затраты будут минимальны, а задание выполнено не более, чем за 10 суток.

18. Рацион состоит из двух видов кормов I и II. Один килограмм корма I стоит 80 д.е. и содержит 1 ед. жиров, 3 ед. белков, 1 ед. углеводов, 2 ед. нитратов. Один килограмм корма II стоит 10 д.е. и содержит 3 ед. жиров, 1 ед. белков, 8 ед. углеводов, 4 ед. нитратов. Составить наиболее дешевый рацион питания, содержащий жиров не менее 6 ед., белков не менее 9 ед., углеводов не менее 8 ед., нитратов не более 16 ед.

19. Банк может выделить кредиты трех типов на общую сумму не более 10 000 д.е. Кредиты первого типа - на сумму 3000 д.е., второго – 1000, третьего типа – 5000 . Имеются два претендента на первый кредит с оценкой риска заемщиков в 100 и 120 баллов, три претендента на кредиты второго типа с баллами риска 150, 100 и 98 баллов, два претендента на кредиты третьего типа с баллами риска 150 и 70. Составить проект кредитования в рамках имеющейся суммы, минимизирующий риск.

См. указание к задаче 7.

20. Предприятие выпускает три вида упаковки, причем суточный объем производства изделий по заказам составляет не менее 60 шт. упаковки первого вида, 70 шт. – второго и 50 шт. – третьего. Суточные ресурсы следующие: 8 единиц производственного оборудования, 5000 кв.м. картона и 100 л красителя, расход которых на 1 упаковку каждого типа представлен в таблице:

Ресурсы	Типы упаковки
	I	II	III
Оборудование	2	3	2
Картон, кв.м	10	15	25
Красители, л	4	2	8

Цена за одну упаковку вида I равна 8 д.е., II – 6 д.е., III – 7 д.е. Определить оптимальный объем выпуска всех видов упаковки, максимизирующий общую стоимость продукции.