Шестнадцатеричная система. В этой системе алфавит включает в себя шестнадцать символов (цифр и букв): 0, 1, …, 9, a,b,c,d,e,f.
Например, число 75(10) = 4161 + В160 = 4В(16)
Наряду с двоичными кодами компьютере для ввода и вывода десятичных чисел используют специальное двоично-десятичное кодирование. При этом кодировании каждая десятичная цифра заменяется тетрадой (четверкой) двоичных цифр, а сами тетрады записываются в порядке следования десятичных цифр. При обратном преобразовании двоично-десятичный код разбивается на тетрады вправо и влево от запятой, отделяющей дробную и целую часть числа, которые затем заменяются десятичными цифрами.
Например, число 15,49(10) = 0001 0101,0100 1001(2-10)
Таким образом, при двоично-десятичном кодировании фактически не производится перевода числа в новую систему счисления, а мы фактически имеем дело с двоично-кодированной десятичной системой счисления .
Преобразование чисел
Компьютер работает с двоичными кодами, Пользователю удобнее иметь дело с десятичными или, по крайней мере, с шестнадцатеричными цифрами. Поэтому возникает необходимость перевода чисел из одной системы счисления в другую. Преобразование числа А из системы счисления с основанием q в систему счисления с основанием p (преобразование A(q) A(p)) осуществляется по правилу замещения ли по правилу деления-умножения на основание системы счисления.
Правило замещения реализуется на основании формулы (1.1.) и предусматривает выполнение арифметических операций (возведения в степень, сложения) с кодами чисел в новой системе счисления. Поэтому оно чаще всего применяется для преобразования чисел из недесятичной системы счисления в десятичную.
Пример 2.1. выполнить преобразование A(2) A(10), если A(2) = 10101,011
A(10) = 124 + 023 + 122 + 021 + 120 + 02-1 + 12-2 + 12-3 =
16 + 4 + 1 + 1/4 + 1/8 = 21,375
Правило деления-умножения предусматривает выполнение арифметических операций с кодами чисел в исходной системе счисления, поэтому его удобно применять для преобразования десятичных чисел в любые другие позиционные системы счисления.
Для преобразования целых чисел используется правило деления, а для преобразования правильных дробей – правило умножения. Для преобразования смешанных чисел используются оба правила соответственно для целой и дробной частей числа.
Правило деления. При преобразовании целого числа, записанного в q-ичной (десятичной) системе счисления, в р-ичную необходимо последовательно делить исходное число и получаемые частные на новое основание р, представленное в q-ичной (десятичной) системе. Деление продолжают до тех пор, пока очередное частное не станет меньше р. После замены полученных остатков и последнего частного числами р-ичной системы счисления записывается код числа в новой системе счисления. При этом старшей цифрой является последнее частное, а следующие за ней цифры соответствуют остаткам, записанным в последовательности, обратной их получению.
Пример 8. Выполнить преобразование A(10) A(16), если A(10) = 351.
351 16
-
336 21 16
-
15 16 1
5
В результате преобразования получаем A(16) = 15F
Правило умножения. При преобразовании дробного числа, записанного в q-ичной (десятичной) системе счисления, в р-ичную необходимо последовательно умножать и дробные части получающихся произведений на основание р, представленное в исходной q-ичной (десятичной) системе счисления. Целые числа получаемых произведений, замененные цифрами р-ичной системы дают последовательность цифр в новой р-ичной системе счисления.
Умножение необходимо производить до получения в искомом р-ичном коде цифры того разряда, вес которого меньше веса младшего разряда искомой q-ичной (десятичной) дроби. При этом в общем случае код получается приближенно, и поэтому в случае обратного преобразования результат может не совпадать с исходным кодом.
Пример 9. Выполнить преобразование A(10) A(16), если A(10) = 0,32.
0
,
32
х
16
5, 12
х
16
1, 92
х
16
14, 72
. …
В результате преобразования получаем A(16) = 0,51Е …
Пример 10. Выполнить преобразование A(10) A(8), если A(10) = 134,92
-
134 8
-
1
28
16
8 -
6 16 2
0
0
,
92х
8
7, 36
х
8
2, 88
х
8
7, 04
. …
В результате преобразования получаем A(8) = 206,727 …
Как следует из примера, процесс перевода дробной части можно продолжить до бесконечности, компьютер же оперирует числами, представленными конечными наборами цифр. Поэтому дроби округляют в соответствии с правилами преобразования и весом младшего разряда исходной дроби.
Преобразование чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную или шестнадцатеричную и обратно осуществляется по упрощенным правилам с учетом того, что основания этих систем счисления кратны целой степени 2, т. е. 8=23, a 16=24.
Это означает, что при преобразовании восьмеричного кода числа в двоичный, необходимо каждую восьмеричную цифру заменить соответствующим трехзначным двоичным кодом (триадой).
При, преобразовании шестнадцатеричного кода числа в двоичный необходимо каждую шестнадцатеричную цифру заменить четырехзначным двоичным кодом (тетрадой).
При преобразовании двоичного кода в восьмеричный или шестнадцатеричный двоичный код делится соответственно на триады или тетрады влево и вправо от запятой (точки), разделяющей целую и дробные части числа. Затем триады (тетрады) заменяются восьмеричными (шестнадцатеричными) цифрами.
Например: 1CD,4(16) = 000111001101,0100(2) = 715,2(8) .
Если при разбиении двоичного кода в крайних триадах (тетрадах) недостает цифр до нужного количества, они дополняются нулями. Соответственно, «лишние» нули слева и справа, не вошедшие в триады (тетрады) отбрасываются.
Самостоятельная работа:
Попробуйте преобразовать число 77.778 → А16 , используя правила «деления» и «умножения», а не упрощенные правила.
Таблицы соответствия двоичных (Bin), восьмеричных (Oct), шестнадцатеричных (Hex) и десятичных (Dec) цифр.
|
Bin |
Oct |
Hex |
Dec |
|
0000 |
0 |
0 |
0 |
|
0001 |
1 |
1 |
1 |
|
0010 |
2 |
2 |
2 |
|
0011 |
3 |
3 |
3 |
|
0100 |
4 |
4 |
4 |
|
0101 |
5 |
5 |
5 |
|
0110 |
6 |
6 |
6 |
|
0111 |
7 |
7 |
7 |
|
1000 |
|
8 |
8 |
|
1001 |
|
9 |
9 |
|
1010 |
|
A |
10 |
|
1011 |
|
B |
11 |
|
1100 |
|
C |
12 |
|
1101 |
|
D |
13 |
|
1110 |
|
E |
14 |
|
1111 |
|
F |
15 |