Algebra_10kl_RU

РАЗДЕЛ 2. Тригонометрические уравнения и неравенства

Объяснение и обоснование

1. Корни уравнения sin x = a. При | a | > 1 уравнение не имеет корней, по скольку | sin x | m 1 для любого x (прямая y = a на рисунке 94 при a > 1 или при a < –1 не пересекает график функции y = sin x).

Пусть | a | m 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции y = sin x. На промежутке −2π; 2π функция y = sin x возрастает от –1 до 1, поэтому уравне

ние sin x = a имеет только один корень x 1 = arcsin a на этом промежутке (рис. 94) (и для этого корня sin x = a).

На промежутке 2π; 32π функция y = sin x убывает от 1 до –1, поэтому

уравнение sin x = a имеет на этом промежутке также только один корень x2 = π – arcsin a (рис. 94). Для проверки правильности записи значения второ го корня x2 заметим, что x2 = π – x1, тогда sin x2 = sin (π – x1) = sin x1 = a. То есть х2 — корень уравнения sin x = a.

Таким образом, на промежутке −2π; 32π (длиной 2π) уравнение sin x = a

при | a | m 1 имеет только корни x1 = arcsin a, x2 = π – arcsin a.

Функция y = sin x периодическая с периодом 2π, поэтому все остальные корни отличаются от найденных на 2πk (k Z). Получаем следующие форму

Все значения корней уравнения sin x = a при | a | m 1, которые дают форму лы (1) и (2), можно записать с помощью одной формулы

Действительно, из формулы (3) при четном n = 2k получаем

x = arcsin a + 2πk — формулу (1), а при нечетном n = 2k + 1 — формулу x = –arcsin a + π (2k + 1) = π – arcsin a + 2πk, то есть формулу (2).

Рис. 94

162

§ 14. Решение простейших тригонометрических уравнений

2. Частные случаи решения уравнения sin x = a.

(Полезно помнить специальные запи си корней при a = 0, a = –1, a = 1, ко

торые можно легко получить, исполь зуя как ориентир единичную окруж ность (рис. 95).

Учитывая, что синус равен ординате соответствующей точки единичной окружности, получаем, что sin x = 0,

если соответствующей точкой еди

ничной окружности является точка C или точка D. Тогда x = πk, k Z.

Аналогично sin x = 1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой

единичной окружности является точка А, следовательно,

x = π + 2πk, k Z.

2

Также sin x = –1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка В, таким образом,

arcsin (–a) = –arcsіn a.

Тогда

З а м е ч а н и е. Ответ к задаче 1 часто записывают в виде

x = (−1)n+1 π + πn, n Z, но такая запись не является обязательной.

3

163

§14. Решение простейших тригонометрических уравнений

Пр о д о л ж. т а б л. 32

2.Графическая иллюстрация и решения уравнения сtg x = a

( Рассмотрим уравнение tg x = a. На промежутке (− 2π; 2π )функция y = tg x

возрастает (от –× до +×), поэтому уравнение tg x = a при любом значе нии a имеет только один корень х1 = arctg a на этом промежутке (рис. из пункта 1 табл. 32).

Функция y = tg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные кор ни отличаются от найденного на πn (n Z). Получаем следующую формулу корней уравнения tg x = a:

При a = 0 arctg 0 = 0, таким образом, уравнение

tg x = 0 имеет корни x = πn, n Z. )

(Рассмотрим уравнение ctg x = a. На промежутке (0; π) функция y = ctg x убывает (от +× до –×), поэтому уравнение ctg x = a при любом значении a имеет только один корень x1 = arcctg a на этом промежутке (рис. из пункта 2

165

РАЗДЕЛ 2. Тригонометрические уравнения и неравенства

табл. 32). Функция y = ctg x периодическая с периодом π, поэтому все ос тальные корни отличаются от найденного на πn (n Z). Получаем такую формулу корней уравнения ctg x = a:

При a = 0 arcctg 0 = π , таким образом, уравнение

2

ctg x = 0 имеет корни x = π + πn, n Z. )

2

Примеры решения задач

Задача 3 Решите уравнение ctg x = 5.

166

§ 14. Решение простейших тригонометрических уравнений

Учитывая, что arcctg 5 не являет ся табличним значением (см. табл. 8, приведенную на с. 47), полученная формула дает окончательный ответ.

Вопросы для контроля

1.Какие уравнения называют простейшими тригонометрическими?

2.Запишите формулы решения простейших тригонометрических уравнений. В каких случаях нельзя найти корни простейшего тригонометрического уравнения по этим формулам?

3*. Выведите формулы решения простейших тригонометрических уравнений.

4*. Обоснуйте формулы решения простейших тригонометрических уравнений для частных случаев (для sin x = a и cos x = a случаи a = 0; 1; –1, для tg x = a и ctg x = a случай a = 0).

Упражнения

Решите уравнение (1–11).

167

РАЗДЕЛ 2. Тригонометрические уравнения и неравенства

168

Как правило, решение тригонометрических уравнений сводится к реше нию простейших уравнений с помощью преобразований тригонометрических выражений, разложения на множители и замены переменных.

15.1.ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ ПРИ РЕШЕНИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Следует помнить общий ориентир, когда замена переменных может вы полняться без преобразования данных тригонометрических выражений.

Если в уравнение, неравенство или тождество переменная входит в одном и том же виде, то удобно соответствующее выражение с пе ременной обозначить одной буквой (новой переменной).

Задача 1 Решите уравнение 2 sin2 x – 7 sin x + 3 = 0.

З а м е ч а н и е. Записывая решения задачи 1, можно при введении замены sin x = t учесть, что | sin x | m 1, и записать ограничения | t | m 1, а далее заме тить, что один из корней t = 3 не удовлетворяет условию | t | m 1, и после этого

обратную замену выполнять только для t = 1 .

2

169

РАЗДЕЛ 2. Тригонометрические уравнения и неравенства

Задача 2 Решите уравнение tg3 2x – tg 2x = 0.

Ко м м е н т а р и й

Взаданное уравнение переменная входит только в виде tg 2x. Поэтому удобно ввести новую переменную tg 2x = t. После выполнения обратной заме ны и решения полученных простейших тригонометрических уравнений сле дует в ответ записать все полученные корни.

Ре ш е н и е

XПусть tg 2x = t. Тогда получаем t3 – t = 0. Отсюда t (t2 – 1) = 0, то есть t = 0 или t2 – 1 = 0. Из последнего уравнения имеем t2 = 1, тогда t = 1 или t = –1. Выполняем обратную замену:

1. При t = 0 имеем tg 2x = 0, тогда 2x = πn, n Z. Таким образом, x = πn , n Z.

2

2. При t = 1 имеем tg 2x = 1, тогда 2x = arctg 1 + πm, 2x = π + πm. Следова

тельно,

4

x = π + πm , т Z.

8 2

3. При t = –1 имеем tg 2x = –1, тогда 2x = arctg (–1) + πk, 2x = − π + πk. Отсюда

4

x = − π + πk, k Z.

82

При поиске плана решения более сложных тригонометрических уравне ний можно воспользоваться таким о р и е н т и р о м.

1.Пробуем привести все тригонометрические функции

к одному аргументу.

2.Если удалось привести к одному аргументу, то пробуем все тригоно# метрические выражения привести к одной функции.

3.Если к одному аргументу удалось привести, а к одной функции — нет, тогда пробуем привести уравнение к однородному.

4.В других случаях переносим все члены в одну сторону и пробуем полу чить произведение или используем специальные приемы решения.

15.2.РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПРИВЕДЕНИЕМ К ОДНОЙ ФУНКЦИИ (С ОДИНАКОВЫМ АРГУМЕНТОМ)

Задача 1 Решите уравнение соs 2x – 5 sin x – 3 = 0.

170

§ 15. Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших

1.При t = –2 имеем sin x = –2 — кор ней нет, поскольку | 2 | > 1.

2.При t = − 1 имеем sinx = − 1. Тогда

x= (−1)n arcsin(− 12 )+ πn, x = (−1)n (− 6π)+ πn, n Z.

Ответ: (−1)n (− 6π)+ πn, n Z. Y

За м е ч а н и е. При желании ответ можно записать в виде2 2

(−1)n+1 6π + πn, n Z.

Задача 2 Решите уравнение tg x + 2 сtg x = 3.

171