Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1295 вузов, 5022 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Таврический Национальный Университет им. В.И. Вернадского
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Algebra_10kl_RU

.pdf
Скачиваний:
126
Добавлен:
20.03.2015
Размер:
5.2 Mб
Скачать
☆

РАЗДЕЛ 2. Тригонометрические уравнения и неравенства

 

 

 

 

 

П р о д о л ж. т а б л. 28

3. Нечетность функции y = arctg x

 

 

 

 

 

 

 

arctg (–a) = –arctg a

 

Объяснение и обоснование

 

 

 

 

 

 

 

 

1. График функции y = arctg x. Функция y = tg x возрастает на промежутке

(− 2π ; 2π ) и принимает все значения от –× до +×. Таким образом, на этом про

межутке функция y = tg x имеет обратную функцию, которая обозначается

y = arctg x, с областью определения (–×; +×) и множеством значений (− π ; π ).

 

 

 

 

 

 

 

2

2

Функция y = arctg x также возрастает, и ее график можно получить из графи

ка функции y = tg x (на заданном промежутке) с помощью симметричного

отображения относительно прямой y = x (рис. 90).

 

 

 

 

 

 

2. Значение arctg a. По определению обратной функции (на выбранном про

межутке), если tg ϕ = a, то arctg a = ϕ, причем ϕ (− π ; π ).

Таким образом,

 

 

 

2

2

 

 

 

 

запись arctg a = ϕ означает, что ϕ (− π ; π ) и tg ϕ = a. То есть

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

arctg a — это такое число из про

 

межутка (− π ;

π ),

тангенс кото

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

рого равен a.

 

 

 

 

 

Например, arctg

3 = π , посколь

 

 

 

 

 

 

3

6

 

 

ку π (− π ; π ) и tg π =

3 .

 

 

6

2

2

 

6

 

3

 

 

Аналогично arctg (−1) = − π ,

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

поскольку − π

(− π ; π ) и tg (− π )= −1.

Рис. 90

 

 

4

2

2

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

152

 

§ 13. Обратные тригонометрические функции

3. Нечетность функции y = arctg x. Для

 

нахождения арктангенсов отрицатель

 

ных чисел можно также пользоваться

 

нечетностью функции arctg x, то есть

 

формулой arctg (–a) = –arctg a.

 

 

( Это следует из того, что график функ

 

ции y = arctg x (рис. 90) симметричен

 

относительно начала координат, а

 

также из того, что точки a и (–a) на ли

Рис. 91

нии тангенсов являются симметрич

 

ными относительно оси Ox (рис. 91).

 

Тогда и соответствующие точки A и B на единичной окружности (на про

межутке (− π ;

π )) также будут симметричными относительно оси Ox. Та

2

2

 

 

 

 

ким образом, COA = COB. Но arctg a = COA, а arctg (–a) = – COB.

Получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

arctg (–a) = –arctg a . )

 

 

3

 

3 = − π .

Например, arctg −

= −arctg

 

 

3

 

3

6

Пример Найдите tg (arctg 4).

 

 

Р е ш е н и е

X Пусть arctg 4 = ϕ, тогда по опре делению арктангенса получаем, что

tg ϕ = 4.

Таким образом,

tg (arctg 4) = tg ϕ = 4. Y

К о м м е н т а р и й

Поскольку запись ϕ = arctg a озна

чает, что ϕ (− 2π ; 2π ) и tg ϕ = a, то все гда выполняется равенство

tg (arctg a) = a .

Эту формулу можно не запоми нать: достаточно обозначить выра# жение в скобках через ϕ и применить определение арктангенса.

153

РАЗДЕЛ 2. Тригонометрические уравнения и неравенства

 

13.4. ФУНКЦИЯ y = arcctg x

 

 

 

 

 

 

 

 

Т а б л и ц а 29

 

 

1. График

 

 

 

y = ctg x

 

 

y = arcctg x

 

На промежутке (0; π) ctg x убывает.

 

 

 

 

2. Значение arcctg a

 

 

Ориентир

 

 

 

Пример

 

arcctg a — это такое число из про

 

3 = π , так как

межутка (0; π), котангенс которого

arcctg

равен а.

 

 

 

6

 

 

 

π (0; π) и ctg π =

 

ϕ (

0;

π)

3.

 

,

6

6

 

arcctg a = ϕ, если ctgϕ = a

 

 

 

 

3. Формула для arcctg (–a)

 

 

 

 

 

arcctg (–a) = π – arcctg a

Объяснение и обоснование

 

 

 

1. График функции y = arcctg x. Функция y = ctg x убывает на промежутке (0; π) и принимает все значения от –× до +×. Таким образом, на этом проме жутке функция y = ctg x имеет обратную функцию, которая обозначается y = arcctg x, с областью определения (–×; +×) и областью значений (0; π). Функция y = arcctg x также убывает, и ее график можно получить из графика

154

§ 13. Обратные тригонометрические функции

Рис. 92

Рис. 93

функции y = ctg x (на заданном промежутке) с помощью симметричного отоб ражения его относительно прямой y = x (рис. 92).

2. Значение arcсtg a. По определению обратной функции (на выбранном про межутке), если ctg ϕ = a, то arcctg a = ϕ, причем ϕ (0; π). Таким образом, запись arcctg a = ϕ означает, что ϕ (0; π) и ctg ϕ = a. То есть

arcctg a — это такое число из промежутка (0; π), котангенс которого равен a.

Например, arcctg 1 = π , поскольку

π

(0; π) и ctg

π

= 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

4

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

3

 

2π

 

 

 

2π

(0;

π ) и ctg

2π

 

3

 

Аналогично arcctg

−

 

=

, поскольку

= −

.

 

 

 

 

 

 

3

 

3

 

 

 

3

 

3

 

3

 

3. Формула для arcctg (–a). Для нахождения арккотангенсов отрицатель ных чисел можно также пользоваться формулой arcctg (–a) = π – arcctg a.

(Это следует из того, что точки a и (–a) на линии котангенсов (рис. 93)

являются симметричными относительно оси Оy. Тогда и соответствующие точки A и B на единичной окружности (на промежутке (0; π)) также будут симметричными относительно оси Оy. Таким образом, COA = DOB, значит, COB = π – DOB = π – COA.

Но arcctg a = COA, а arcctg (–a) = COB = π – COA. Получаем

arcctg (–a) = π – arcctg a . )

Например, arcctg (−1) = π − arcctg1 = π − π = 3π .

4 4

Отметим, что равенство arcctg (–a) = π – arcctg a означает, что функция y = arcctg x не является ни четной, ни нечетной.

155

РАЗДЕЛ 2. Тригонометрические уравнения и неравенства

Задача 1 Найдите ctg (arcctg 7).

Р е ш е н и е

X Пусть arcctg 7 = ϕ, тогда по опре делению арккотангенса получаем, что ctg ϕ = 7.

Таким образом,

ctg (arcctg 7) = ctg ϕ = 7. Y

К о м м е н т а р и й

Поскольку запись ϕ = arcctg a означает, что ϕ (0; π) и ctg ϕ = a, то всегда выполняется равенство

ctg (arcctg a) = a .

Эту формулу можно не запоми нать: достаточно обозначить выра# жение в скобках через ϕ и применить определение арккотангенса.

 

Докажите, что arctg a + arcctg a =

π

.

 

 

 

 

 

Задача 2*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р е ш е н и е

 

К о м м е н т а р и й

 

 

X Пусть ϕ = π − arcctg a.

Запишем заданное равенство в виде

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

1) Поскольку arcctg a (0; π), то

arctg a =

 

− arcctg a . Если обозна

 

 

 

ϕ (−

π

 

 

π

).

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

чить ϕ =

− arcctg a, то для доказа

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2) Если arcctg a = β,

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тельства равенства arctg a = ϕ по оп

то ctg β = a и ϕ =

π

− β. Тогда

ределению арктангенса достаточно

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

доказать, что:

tgϕ = tg(

π

− β)= ctgβ = a.

 

 

 

 

 

 

 

π

π

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По определению арктангенса полу

1) ϕ (−

2

;

2

) и 2) tg ϕ = a.

При доказательстве следует также

чаем arctg a = ϕ.

 

 

 

 

 

 

Таким образом, arctg a = π − arcctg a,

учесть определение арккотангенса:

если

 

 

а это и означает, что

2

 

 

 

 

 

 

 

 

arcctg a = β, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arctg a + arcctg a =

π

. Y

 

β (0; π) и ctg β = a.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вопросы для контроля

1.Объясните, какое число обозначает выражение: а) arcsin a; б) arccos a; в) arctg a; г) arcctg a. При каких значениях a существуют эти выражения? Проиллюстрируйте объяснение примерами.

2.Объясните, как можно получить графики обратных тригонометрических функций.

156

§ 13. Обратные тригонометрические функции

3*. Изобразите графики обратных тригонометрических функций, укажите и

 

обоснуйте их простейшие свойства (область определения, множество зна

 

чений, возрастание или убывание, четность, нечетность):

 

 

 

 

 

 

 

а) y = arcsin x;

б) y = arccos x;

в) y = arctg x;

 

 

 

 

г) y = arcctg x.

4.

Обоснуйте формулы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) arcsin (–a) = –arcsin a;

б) arctg (–a) = –arctg a;

 

 

 

 

 

 

 

в) arccos (–a) = π – arccos a;

г) arcctg (–a) = π – arcctg a.

 

 

 

 

 

 

 

Упражнения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислите (1–9).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1°.

1) arcsin 0;

2) arcsin 1;

3)

arcsin

 

 

2

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

arcsin

;

 

 

 

 

5) arcsin (–1);

6)

arcsin −

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

4) arctg(−

3).

 

 

 

2°.

1) arctg 0;

2) arctg 1;

3)

arctg 3;

 

 

 

 

 

 

 

 

3°.

1) arccos 0;

2) arccos 1;

3)

arccos

 

2

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

arccos

 

;

 

 

 

 

 

 

 

5) arccos (–1);

6)

arccos −

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4°.

1) arcctg 0;

2) arcctg

3

;

 

 

 

 

 

 

3)

arcctg

3;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4) arcctg(−

3 ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

1)

sin(arcsin

2

);

 

2*)

cos(arcsin

1

);

 

3*) tg(arcsin

1

);

 

 

4*)

ctg(arcsin

4

).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

6.

1) tg (arctg 7);

*

ctg(arctg

1

);

3

*

) sin (arctg 3);

*

(

)

 

 

2 )

3

 

 

 

 

 

4 )

cos arctg 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

1)

cos(arccos

2

);

2*)

sin(arccos

1

);

 

3*) tg(arccos

3

);

 

 

4*)

ctg(arccos

1

).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

8.

1)

ctg(arcctg 7 );

2*) tg(arcctg

2

);

 

3*) sin (arcctg 5);

4*) cos(arcctg

3

).

3

4

9*.

1)

arcsin(sin

15π

);

2) arcsin (sin 7);

3)

arccos(cos

 

21π

);

4) arccos (cos 8);

7

5

 

5)

arctg(tg

6π

);

6) arctg (tg 4);

7)

arcctg(ctg

10π

);

8) arcctg (ctg 10).

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10*. Докажите, что arcsin a + arccos a =

π

 

при | a | m 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

157

§14

РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ

УРАВНЕНИЙ

 

 

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения

 

 

cos x = a, sin x = a, tg x = a, ctg x = a.

Чтобы рассуждения по нахождению корней этих уравнений были более

наглядными, воспользуемся графиками соответствующих функций.

14. 1. УРАВНЕНИЕ cos x = a

 

 

 

 

 

 

Т а б л и ц а 30

1. Графическая иллюстрация и решение уравнения cos x = a

 

 

Графическая иллюстрация

 

 

Решения

Примеры

 

cos x = a

1. X cosx = 1 ,

 

 

 

 

2

| a | > 1

| a | m1

x = ± arccos 1 + 2πn, n Z,

 

 

 

 

2

Корней нет

 

x = ± π + 2πn, n Z. Y

 

3

 

х = ä arccos a + 2πn, n Z

2. X cosx =

3.

Корней нет, поскольку 3 > 1. Y

 

 

 

 

 

2. Частные случаи решения уравнения cos x = a

 

 

 

cos x = 0

x = π + πk, k Z

 

 

 

 

2

 

 

 

cos x = 1 x = 2πk, k Z

 

 

 

cos x = –1 x = π + 2πk, k Z

 

 

 

158

 

§ 14. Решение простейших тригонометрических уравнений

Объяснение и обоснование

1. Корни уравнения cos x = a. При | a | > 1 уравнение не имеет корней, по скольку | cos x | m 1 для любого x (прямая y = a на рисунке из пункта 1 табли цы 30 при a > 1 или при a < –1 не пересекает график функции y = cos x).

Пусть | a | m 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции у = cos х. На промежутке [0; π] функция y = cos x убывает от 1 до –1, поэтому уравнение cos x = a имеет только один корень x 1 = arccos a на этом промежутке (рис. из пункта 1 табл. 30).

Косинус — четная функция, поэтому на промежутке [–π; 0] уравнение cos x = a также имеет только один корень — число, противоположное x1, то

есть x2 = –arccos a.

Таким образом, на промежутке [–π; π] (длиной 2π) уравнение cos x = a при | a | m 1 имеет только корни x = ä arccos a.

Функция y = cos x периодическая с периодом 2π, поэтому все остальные корни отличаются от найденных на 2πn (n Z). Получаем следующую форму

лу корней уравнения cos x = a при | a | m 1:

 

x = ä arccos a + 2πn, n Z .

(1)

2. Частные случаи решения уравнения cos x = a.

(Полезно помнить специальные записи корней уравнения cos x = a при a = 0, a = –1, a = 1, которые можно легко получить, используя как ориентир единичную окружность.

Поскольку косинус равен абсциссе соответствующей точки единичной ок ружности, получаем, что cos x = 0, если соответствующей точкой единич ной окружности является точка A или точка B (рис. из пункта 2 табл. 30). Тогда

x = 2π + πk, k Z.

Аналогично cos x = 1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка C, следовательно, x = 2πk, k Z. Также cos x = –1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой еди ничной окружности является точка D, таким образом, x = π + 2πk, k Z. )

Примеры решения задач

 

Решите уравнение cosx = −

1

.

 

 

 

 

 

Задача 1

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р е ш е н и е

 

 

К о м м е н т а р и й

X x = ± arccos(−

1

)+ 2πn, n Z,

 

 

Поскольку

 

−

1

 

 

 

 

<1, то данное урав

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

x = ± (π −

π

)+ 2πn,

 

нение вида cos x = a имеет корни, ко

 

торые можно найти по формуле (1).

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

159

РАЗДЕЛ 2. Тригонометрические уравнения и неравенства

 

 

 

 

 

2π

 

 

 

 

 

 

 

)мож

 

 

 

 

 

 

1

 

x = ±

 

+ 2πn.

 

 

Для вычисления arccos(−

 

 

3

2

Ответ: ±

2π

+ 2πn, n Z. Y

 

но воспользоваться формулой:

 

 

 

arccos (–a) = π – arccos a.

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

arccos(−

1

)= π − arccos(

1

)= π −

π

=

2π

.

 

 

 

 

 

 

 

2

2

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решите уравнение cosx = 2.

Задача 2

 

 

 

 

 

Р е ш е н и е

 

 

 

К о м м е н т а р и й

 

 

 

 

 

 

X Поскольку

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

> 1, то корней

 

 

Поскольку

 

2

 

>1, то данное урав

 

 

 

 

 

нет.

 

 

 

 

 

нение не имеет корней (то есть фор

Ответ: корней нет. Y

 

мулу (1) нельзя применить).

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

Решите уравнение cos 4x =

.

Задача 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р е ш е н и е

X 4x = ± arccos 1 + 2πn, n Z,

3

x = ±

1

arccos

1

+

πn

, n Z.

 

 

 

 

4

3

 

2

 

 

 

Ответ:

 

 

 

 

 

 

 

 

± 1 arccos 1

+

π n

, n Z. Y

 

4

 

 

3

2

 

К о м м е н т а р и й

Поскольку 1 <1, то можно вос

3

пользоваться формулой (1).

Учитывая, что arccos 1 не является

3

табличним значением, для получен ния ответа достаточно после нахож дения 4х по формуле (1) обе части по следнего уравнения разделить на 4.

З а м е ч а н и е. Если по условию задания необходимо найти приближенное значение корней данного уравнения на каком то промежутке, то с помощью

калькулятора находим

1

arccos

1

≈ 0,31,

π

≈ 1,57,

записываем приближенное

4

 

2

 

3

 

 

 

значение корней в виде x ≈ ä 0,31 + 1,57п, n Z, находим приближенное значение корней при п = 0, ä1, ä2... и выбираем корни, входящие в данный промежуток.

 

Решите уравнение cos (2x −

 

π

)=

2

.

 

 

 

 

Задача 4

 

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

Р е ш е н и е

 

 

 

 

К о м м е н т а р и й

X 2x − π = ± arccos

2

+ 2πn, n Z,

 

Поскольку

 

2

 

<1, то можно вос

 

 

 

 

2

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пользоваться формулой (1) для на

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

160

§ 14. Решение простейших тригонометрических уравнений

2x − π = ± π + 2πn,

хождения значения выражения

 

3

4

2x − 3π, стоящего под знаком косину

x = π ± π + πn, n Z.

6

8

 

са. После этого из полученного линей

Ответ: π ± π + πn, n Z. Y

ного уравнения находим х.

6

8

 

 

 

14.2. УРАВНЕНИЕ sin x = a

 

 

 

 

 

 

Т а б л и ц а 31

1. Графическая иллюстрация и решения уравнения sin x = a

 

 

Графическая иллюстрация

 

 

Решения

 

Примеры

 

sin x = a

1. X sinx = 1 ,

 

 

 

2

 

| a | > 1

| a | m 1

x = (−1)n arcsin 1 + πn, n Z.

 

 

 

 

2

Корней нет

 

 

n π

 

x = (−1) 6 + πn, n Z. Y

 

 

 

x = (–1)n arcsin a + πn, n Z

2. X sinx =

3.

 

 

 

Корней нет, так как 3 > 1. Y

 

2. Частные случаи решения уравнения sin x = a

 

 

 

sin x = 0 x = πk, k Z

 

 

 

sin x = 1

x = π + 2πk, k Z

 

 

 

 

2

 

 

 

sin x = –1

x = − π + 2πk, k Z

 

 

 

 

2

 

 

 

161

 
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности