Chast_2_1_l_3-5

48

Это противоречие говорит о том, что закон полного тока в форме (2.17) в

общем случае (переменных полей) неверен.

Применим закон сохранения заряда к замкнутой поверхности S , в виде цилиндра, одно из оснований которого лежит на S1, а второе – на S2

Заряд, охватываемый этой поверхностью, можно обозначить через S ,

где – поверхностная плотность заряда на левой обкладке конденсатора, а

S - площадь основания указанного цилиндра (она же равна площади, «вырезаемой» цилиндром из границы обкладки конденсатора). Левая часть

(2.24) запишется так:

Здесь поставлена частная производная, так как , вообще говоря, зависит не только от времени, но и от координат.

Знак «-» обусловлен тем, что нормаль к левому основанию замкнутой цилиндрической поверхности S противоположна по направлению нормали n к

поверхности S1, которая и выбрана в (2.24) и (2.26).

Подставляя (2.26) и (2.25) в (2.24), получим:

n .t

Поверхностная плотность заряда связана с напряженностью

электрического поля между обкладками конденсатора, в частности в точках поверхности S2 , соотношением

то противоречие разрешается. Этот ток называется током смещения. Его плотность

Ток смещения, как и ток проводимости (с плотностью ) создает

магнитное поле.

Другими словами магнитное поле порождается как движущимися

зарядами, так и переменным во времени электрическим полем.

Термин «смещение» связан с тем, что в диэлектрике этот ток вызван не только переменным во времени электрическим полем, но и смещением зарядов

диэлектрика, что подробно будет рассмотрено в четвертой части курса.

Теперь закон полного тока можно записать так:

E

точках этой поверхности 0 , а интеграл 0 t dS i , как было показано.

S2

50

Поэтому независимо от того, какой формы натягивается на контур l

поверхность S правая часть (2.28) будет равна 0 i .

Переходим к принципу непрерывности электрического тока в общем

случае, т.е. для переменных во времени электромагнитных полей.

(полная плотность тока), то (2.31) можно записать так:

полн dS 0 .

S

Силовые линии полной плотности тока замкнуты или уходят в бесконечность.

Для иллюстрации принципа непрерывности электрического тока рассмотрим равномерное и прямолинейное движение однородно заряженного шара с плотностью заряда .

51

На рис. 2.28 изображено положение заряда в момент времени t .

Плотность тока внутри шара существует в форме тока переноса, она равна

v .

Рис. 2.28. Иллюстрация принципа непрерывности полной плотности тока

разность E M ,t t E M ,t . Плотность тока смещения в точке M равна:

аналогичным способом определив направление см в момент времени t в

других точках, расположенных в воздухе, можно зарисовать силовые линии в момент времени t . Мы видим, что силовые линии полной плотности тока замкнуты или уходят в бесконечность (горизонтальная силовая линия).

14. Закон электромагнитной индукции

Закон электромагнитной индукции был открыт Фарадеем в 1831г.

Если проводящий контур находится в переменном магнитном поле, то по нему протекает ток (рис. 2.29). Фарадей экспериментально получил:

52

Рис. 2.29. К записи закона электромагнитной индукции в форме Фарадея

Здесь q положительный заряд, прошедший сквозь поперечное сечение контура в выбранном направлении n за время t . Этот заряд Фарадей измерял с помощью гальванометра. – увеличение магнитного потока сквозь поверхность S , натянутую на контур l , за это же время t . Причем

контура.

В качестве примера на рисунке изображен прямолинейный проводник с переменным током i( t ) и проводящий контур l . Пусть они расположены в одной плоскости. Пусть в момент времени t ток в проводе i( t ) i1 0 , а в момент времени t t ток в проводе i( t t ) i2 0 . Пусть i2 i1.

Очевидно,

( t ) 1 0

изменению основного потока. В данном примере плотность тока будет направлена против n и он создаст магнитный поток направленный «вверх», т.е.

будет препятствовать увеличению магнитного потока, направленного вниз.

53

Следовательно, принцип Ленца вытекает из закона электромагнитной индукции

(2.32).

Разделим левую и правую части (2.32) на t и умножим на сопротивление r контура:

q r .t t

Если t стремиться к нулю, то:

Максвелл предположил, что это соотношение выполняется не только для проводящего контура, но и для воображаемого контура l . Соотношение (2.33),

где l – любой воображаемый контур, является окончательной формой закона электромагнитной индукции в интегральной форме.

Этот закон гласит о том, что переменное во времени магнитное поле – причина (стоит справа в (2.33)) порождает электрическое поле – следствие

(стоит слева в (2.33)).

Резюмируя выше изложенное, можно заключить. Электрическое поле порождается зарядами, как неподвижными, так и движущимися, и переменным во времени магнитным полем. Выявляется (измеряется) электрическое поле по силовому воздействию на неподвижные заряды. Магнитное поле порождается

54

движущимися зарядами и переменным во времени электрическим полем.

Выявляется (измеряется) магнитное поле по силовому воздействию на движущиеся заряды.

Вопросы и задачи к лекции 4

53-1.Напишите выражение плотности тока смещения через другие

характеристики электромагнитного поля.

54-2. Запишите закон полного тока, который будет верен и для переменных во времени электромагнитных полей.

55-3. В момент времени t 0 рубильник замыкается (рис. 2.30). Ток в цепи i( t ) 0,1e2t . Найдите величину заряда левой пластины воздушного

конденсатора при t 0,5ñ и при t . Найдите напряжение u на конденсаторе в эти моменты времени, если диаметр пластин конденсатора D 0,2м ,

расстояние между пластинами d 1 мм . Предположить, что заряд равномерно распределяется по пластинам.

Рис. 2.30. К определению заряда на пластинах конденсатора по току через него

56-4. Точка M1 лежит между обкладками плоского воздушного конденсатора, точка M 2 – вне конденсатора (рис. 2.31). Расстояние до оси

симметрии системы точек M1 и M 2 одинаково и равно r . Найдите B( M1,t ) и B( M2 ,t ), если i( t ) Im sin t , радиус пластины конденсатора равен R , причем

R d , где d расстояние между пластинами.

55

Рис. 2.31. К определению магнитного поля внутри и вне конденсатора, по которому протекает переменный во времени ток

57-5. Сформулируйте принцип непрерывности электрического тока в

общем случае.

разрывом. Найдите показания двух вольтметров, подключенных к точкам разрыва u1 t и u2 t . Внутреннее сопротивление вольтметров считать равным бесконечности. Вне стержня магнитное поле отсутствует.

Рис. 2.32. Проводящее кольцо с разрывом, охватывающее магнитопровод

61-9. Первичная катушка намотана на цилиндрический неферромагнитный каркас (рис. 2.33). Длина катушки l существенно больше линейных размеров сечения S . Ток катушки i1( t ) 0,2 0,2e0,5t . Найдите напряжение на разрыве вторичной катушки, состоящей из одного витка. Число витков первичной катушки w1.

Рис. 2.33. К определению электрического поля индуцируемого переменным во времени магнитным полем

56

62-10. Чем порождается электрическое поле?

63-11. Чем порождается магнитное поле?

64-12. Как выявляется (измеряется) электрическое поле?

65-13. Как выявляется (измеряется) магнитное поле?

66-14. По проводящему круговому контуру протекает ток i( t ) Im sin t

(рис. 2.34). Зарисуйте приближенно силовые линии магнитного и электрического полей.

Рис. 2.34. Круговой проводящий контур с переменным во времени током i( t )

67-15. Равномерно заряженный шарик с зарядом q 0 движется равномерно и прямолинейно вдоль оси x (рис. 2.35). Найдите плотность тока смещения см в точке М в момент времени t0 , если в этот момент времени расстояние от шарика до точки М равно x0 . Напряженность электрического поля движущегося заряда считать такой же, как и неподвижного ( v c ).

Рис. 2.35. К определению плотности тока смещения, создаваемого движущимся зарядом

68-16. Выведите первый закон Кирхгофа для узла электрической цепи из принципа непрерывности электрического тока.

57

Лекция 5

15. Принцип непрерывности магнитного потока

В области существования электромагнитного поля возьмем замкнутый контур l (рис. 2.36). Выберем его обход и натянем две поверхности S1 и S2 .

Запишем закон электромагнитной индукции для этого контура:

Рис. 2.36. К выводу принципа непрерывности магнитного потока и принципа непрерывности полного тока

ориентированную изнутри наружу. Поэтому вместо (2.37) можно записать: