Структурные средние
К структурным средним относятся мода и медиана.
Мода — это наиболее часто встречающееся значение признака в совокупности. В интервальных вариационных рядах сначала находят модальный интервал.
В найденном модальном интервале конкретное значение моды определяют по формуле:
где
xмо — нижняя граница модального интервала;
d — величина интервала;
f1, f2, f3 — частоты предмодального, модального и постмодального интервалов.
Мода широко применяется в коммерческой деятельности.
Медиана — значение признака, находящееся посредине рассматриваемого ряда. Она указывает центр распределения единиц совокупности и делит ее на две равные части.
При отыскании медианы сначала определяется ее порядковый номер в ряду распределения.
При нечетном числе единиц в ряду:
при четном числе единиц в ряду:
т. е. полусумма из двух соседних центральных значений.
В интервальном ранжированном ряду, зная порядковый номер медианы, по накопленным частотам отыскивается медианный интервал, в котором определяется конкретное значение медианы по формуле:
где
xме — нижняя граница медианного интервала;
d — величина интервала;
Sме-1 — частота, накопленная до медианного интервала;
fме — частота медианного интервала.
Медиана используется при контроле качества продукции и технологического процесса на промышленных предприятиях, при изучении распределения домохозяйств по величине дохода и т. д.
Мода и медиана имеют преимущества перед средними арифметическими для ряда распределения с открытыми интервалами.
Решение типовых задач
|
Задача 3.1. Имеются следующие данные о заработной плате работников корпуса №4 пансионата: |
|
|||||||||
|
Профессия |
Количество работников |
Заработная плата каждого рабочего за месяц, грн. |
|
|||||||
|
Горничная |
6 |
980 |
1 000 |
920 |
1 111 |
956 |
750 |
|
||
|
Администратор |
4 |
1 200 |
1 180 |
1 250 |
1 192 |
|
|
|
||
|
Уборщица |
2 |
810 |
860 |
|
|
|
|
|
||
|
Вычислить среднюю месячную заработную плату рабочих пансионата. |
|
|
|
|||||||
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Процесс выбора средней таков: |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
определяющий показатель - общая сумма начисленной заработной платы; |
|
|
|||||||
|
|
математическое выражение определяющего показателя — ∑x; |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
решение уравнения. |
|
|
|||||||
|
|
x= |
∑х |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||
|
= |
|
= |
||||||||
|
|
||||||||||
|
= |
|
= |
|
грн. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Для решения задачи использовалась формула |
|
||||||||
|
Задача 3.2. У автотранспортного предприятия «КузаТрансТАЗ» за прошлый год имеются следующие данные о расстояниях, на которые перевозили грузы по Украине (в одну сторону): |
|||||||||||||||||
|
Расстояние в одну сторону (км), x |
до |
250 |
250 |
- |
500 |
500 |
- |
750 |
750 |
и более |
|
|
|
|
|
|
|
|
Количество грузоперевозок , f |
563 |
76 |
20 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Определить среднюю протяженность пути грузового автомобиля (в одну сторону). |
|
||||||||||||||||
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определяющий показатель - общая протяженность пути (в одну сторону) - ∑хf. |
|
|
|||||||||||||||
|
Средняя протяженность пути грузового автомобиля (в одну сторону): |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
= |
|
км. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для каждого интервала предварительно вычислялось среднее значение признака как полусумма нижнего и верхнего значений интервала. Величина открытых интервалов приравнивается к величине примыкающих к ним соседних интервалов: |
|||||||||||||||||
|
x1'= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x2'= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x3'= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x4'= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для решения задачи использовалась формула средней арифметической взвешенной. |
|
|
|||||||||||||||
|
Задача 3.3. За два месяца по цехам завода имеются следующие данные |
|||||||||||||||||||
|
№ цеха |
сентябрь |
октябрь |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
численность работников |
средняя месячная заработная плата, грн. |
средняя месячная заработная плата, грн. |
фонд заработной платы грн. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
140 |
3 560 |
3600 |
486 000 |
|
||||||||||||||
|
2 |
200 |
3 600 |
3580 |
751 000 |
|
||||||||||||||
|
3 |
260 |
3 330 |
3340 |
835 000 |
|
||||||||||||||
|
Определить, за какой месяц и на сколько процентов была выше средняя месячная заработная плата работников предприятия. |
|
||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Введем условные обозначения для сентября: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
f - численность работников по каждому цеху; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x - средняя месячная заработная плата работников каждого цеха; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Определяющий показатель - общий фонд заработной платы - ∑xf. |
|
||||||||||||||||||
|
Средняя месячная заработная плата работников предприятия за сентябрь составила: |
|||||||||||||||||||
|
∑xf |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||
|
∑f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Условные обозначения для октября следующие: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
w - фонд заработной платы по каждому цеху; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x - средняя месячная заработная плата работников каждого цеха. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Определяющий показатель - ∑w. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Средняя месячная заработная плата работников предприятия за октябрь равна: |
|||||||||||||||||||
|
|
∑W |
= |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
∑ |
W |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
где |
W |
— численность работников каждого цеха в октябре. |
|||||||||||||||||
|
x |
|||||||||||||||||||
|
Средняя заработная плата в октябре исчислена по формуле" средней взвешенной гармонической. |
|||||||||||||||||||
|
Динамика средней месячной заработной платы работников предприятия: |
|||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
, или |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Вывод: |
|
||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
Задача 3.4. Имеются следующие данные об экспорте винодельческой продукции НПО "Массандра" |
|
|
||||||||||||||||||
|
Вид продукции |
Удельный вес продукции на экспорт, % |
Стоимость продукции на экспорт, тыс. грн. |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Вино белое |
61,0% |
56 124 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Вино красное |
52,0% |
68 250 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Определить средний удельный вес продукции на экспорт. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Удельный вес продукции на экспорт, % |
= |
Стоимость продукции на экспорт |
* 100% |
|
|
|
||||||||||||||
|
Стоимость всей продукции |
|
|
||||||||||||||||||
|
W |
* 100% |
- стоимость всей продукции, |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
где |
w - |
стоимость продукции на экспорт; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x - |
удельный вес продукции на экспорт. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Средний удельный вес продукции на экспорт: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
∑ W |
* 100% = |
|
* 100% = |
|
|
||||||||||||||
|
∑ |
W |
* 100% |
|
* 100% |
+ |
|
* 100% |
|
|
|||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
* 100% = |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
* 100% = |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Вспомогательная таблица для расчетов (НЕ ОБЯЗАТЕЛЬНА !!!) |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Вид продукции |
Удельный вес продукции на экспорт, % |
Стоимость продукции на экспорт, тыс. грн. |
Стоимость всей продукции, тыс. грн. |
|
||||||||||||||||
|
Вино белое |
61,0% |
56 124 |
|
|
* 100% =
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Вино красное |
52,0% |
68 250 |
|
|
* 100% =
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Всего: |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
61,0% |
61,0% на экспорт |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Задача 3.5. Данные о продаже мороженного "Пломбир" у ЧП Васечкин Н.В. |
|
|
|||||||||
|
|
Май |
Июнь |
Июль |
Август |
|
|
|
||||
|
Продано, тыс. шт. |
12,0 |
13,6 |
18,0 |
25,0 |
|
|
|
||||
|
Определить среднемесячный темп роста объемов продаж мороженного. |
|
|
|||||||||
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Чтобы определить средний месячный темп роста продаж мороженного сначала определяется средний месячный коэффициент роста по формуле средней геометрической: |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где x1, x2, x3, - коэффициент роста с переменной базой. |
|
|
|
||||||||
|
x1= |
|
|
= |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x2= |
|
|
= |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x3= |
|
|
= |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x = |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||||
|
Средний месячный темп роста продаж: |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
* |
100% = |
|
|
|
|
||||
