Таким чином, ми маємо послідовність вкладених сегментів, яким притаманна властивість: жодна з множин не покривається скінченою кількістю інтервалів з сім’ї .

Оскільки - монотонна спадна та замкнена , але так як . Покажемо, що . Виберемо з точку , з точку і т.д. з виберемо . Тоді послідовність, що задовольняє умови , але внаслідок замкненості . Сім’я покриває : при достатньо великому суперечність з побудовою , що й доводить теорему.

Теорему доведено.

Приклад 6.	Розглянемо множини та їх покриття:
1)	, , - не можна виділити скінчене покриття;
2)	, , , теж нема скінченого покриття.

Теорема 12.	(Коші)
	Якщо , і , то : .

Доведення. Нехай , тоді . Внаслідок стійкості нерівності для неперервної функції (якщо припустити, що такої точки не існує). в якому знак зберігається. Тоді сім’я , - покриває існує скінчене підпокриття: , . Сусідні інтервали перетинаються, а тому в них знак зберігається одного знаку – протиріччя.

Теорему доведено

Наслідок.	(теорема Коші про проміжні значення).
	Якщо , то функція набуває усіх проміжних значень між та .

Доведення. Достатньо застосувати попередню теорему для функцій , де - довільне число між та .

Задачі.	(для самостійного розв’язання).
1)	Відображення називається лінійним, якщо виконується рівність: . Чи існують розривні лінійні відображення типу .
2)	Побудувати монотонну функцію, яка має точками розриву задану злічену підмножину .
3)	Побудувати функцію, точками розриву якої є задана замкнена множина .