а) працює у відділку?
б) знають тільки англійську? в) знають тільки французьку?
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Довести |
∑(2k +1)Cnk = (n +1)2n |
|
|
|
||||
k =0 |
|
|
|
|
|
|
|||
3. |
Довести Cn0Cmk +Cn1Cmk −1 +...+Cnk Cm0 |
= Cnk+m |
|
||||||
4. |
Довести Cn1 +6Cn2 +6Cn3 = n3 |
|
|
|
|
||||
5. |
Довести |
Cn0 + 1 Cn1 +...+ |
1 |
|
Cnn |
= |
2n+1 −1 |
[5- с.43,№ 16] |
|
n +1 |
n +1 |
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
||||
6.Обчислити Cn1 −2Cn2 +3Cn3 −... +(−1)n−1 nCnn
7.Обчислити (Cn1 )2 + 2(Cn2 )2 + 3(Cn3 )2 +... + n(Cnn )2
8."Задача мажордома". До обіду за круглим столом запрошені n (n≥2) пар лицарів, що ворогують (попарно). Потрібно розсадити їх так, щоб ніякі два ворога не
n
сиділи поруч. Показати, що це можна зробити ∑(−1)k Cnk 2k (2n −k)! способами.
k =0
ТЕМА 4: РЕКУРЕНТНІ СПІВВІДНОШЕННЯ
Мета: Засвоення методу розв"язання комбінаторних проблем за допомогою рекурентних співвідношень, розв"язання лінійних однорідних співвідношень у випадку простих коренів, у випадку кратних коренів, розв"язання неоднорідних співвідношень.
Теоретичні питання: Визначення рекурентного однорідного і неоднорідного лінійного співвідношення, розв"язок рекурентного співвідношення, властивості розв"язків, характеристичне рівняння.
Аудиторне завдання:
1. Розв'язати рекурентні співвідношення: а) an − an−1 = n −1, a1 =1[4- 8.3.5.1]
б) an+2 − 4an+1 +3an = 0, |
a1 =10, a2 |
=16 [4- 8.3.3.1] |
|
|||||||||
в) an+3 −3an+2 +3an+1 −an = 0, a0 = 0, a1 = 2, a2 = 6 |
|
|||||||||||
2. |
|
Знайти |
загальний |
розв’язок |
|
рекурентного |
співвідношення: |
|||||
an+3 −4an+2 +5an+1 −2an = 0 |
|
|
|
|
|
|||||||
3. |
|
Знайти |
розв’язок |
неоднорідного |
рекурентного |
співвідношення: |
||||||
a |
n+2 |
+ 2a |
n+1 |
−8a |
n |
= 27 5n , |
a = −9, a |
2 |
= 45 |
[4- 8.3.5.2] |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||
Домашнє завдання:
38
1. |
Знайти розв'язки рекурентних співвідношень, що задовольняють |
||||
початковим умовам: |
|
|
|
|
|
a) |
an+3 −3 an+2 + an+1 −3 an = 0, |
a1 = 3, a2 = 7, a3 = 27 [4- 8.3.3.2] |
|||
b) |
an+3 −3 an+1 +2 an |
= 0, |
a1 = a, a2 |
= b, a3 = c [4- 8.3.3.3] |
|
c) |
an+2 −3 an+1 +an |
= 0, |
a0 |
=1, |
a1 = 2 [2- стор.49, 4.а] |
d) |
an+3 −an+2 −an+1 +an = 0, |
a0 |
= 2, a1 = 4, a2 =10 [2- стор.49, 4.б] |
||
2.Знайти загальні розв'язки рекурентних співвідношень:
a)an+2 −9 an+1 +20 an = 0 [2- стор.49, 4.а]
b)an+4 −13 an+3 +40 an+2 = 0 [2- стор.49, 4.в]
Додаткове завдання:
1.У ряду Фібоначчі обрано 8 послідовних чисел. Довести, що їх сума не входить до цього ряду. [3- с.249,№410]
2.Чи знайдеться серед перших 100 000 001 чисел ряду Фібоначчі число, що закінчується чотирма нулями? [3- с.249,№409]
3.Для чисел Фібоначчі (ai) Довести a2+a4+ … +a2n=a2n+1-1 . [3- с.249,№411.a)]
4.Довести, що довільне натуральне число N можна представити у вигляді суми чисел Фібоначчі, причому кожне число входить до суми не більше одного разу, та ніякі сусідні числа не входять разом. [3- с.249,№412]
5.Довести, що послідовність з загальним членом an=nk задовольняє співвідношенню an+k −Ck1an+k −1 +Ck2an+k −2 −... +(−1)k Ckkan = 0 . [3- с.250,№421]
6 Довести, що два сусідніх числа Фібоначчі взаємно прості. [3- с.249,№407.в)]
7.Довести, що Anm = Anm−1 +nAnm−−11 .
8.Знайти розв'язки рекурентних співвідношень:
a) an+2 |
= an+1 − |
1 an +2−n , a0 =1, a1 = 3 |
2 |
; |
|
|
4 |
|
b) an+2 −3an+1 +2an = (−1)n , a0 =1, a1 = 2 .
9.Знайти розв'язок системи рекурентних співвідношень:
a |
|
= 3a |
+b |
a0 =14, b0 = −6 |
|
n+1 |
n |
n , |
|
bn+1 = −an +bn |
|
|||
10. Знайти кількість частин, на які n кол ділять площину, якщо кожні два кола мають спільну хорду та жодні три кола не перетинаються в одній точці.[5- с.47,№ 2]
39
ТЕМА 5: ТВІРНІ ФУНКЦІЇ ТА РЕКУРЕНТНІ СПІВВІДНОШЕННЯ
Мета: Застосування методів твірних функцій до розв`язання рекурентних співвідношень.
Теоретичні питання: Твірна функція послідовності. Лінійна комбінація та згортка. Твірні функції для рекурентних співвідношень.
Аудиторне завдання:
1. |
|
Знайти |
твірні |
функції |
та |
розв`язки |
рекурентних співвідношень: |
|||||||
а) an+2 −5an+1 +6an = 0, a0 =5, a1 =12 |
|
|
|
|||||||||||
б) an+2 −5an+1 +6an =1, a0 = 5, a1 =12 |
|
|
|
|||||||||||
в) an+2 − 4an+1 +3an = 0, a0 = 2, a1 = 4 |
|
|
|
|||||||||||
2. |
|
Знайти |
твірну |
функцію |
та |
розв`язок рекурентного співвідношення: |
||||||||
a |
n+2 |
+ 2a |
n+1 |
−8a |
n |
= 27 5n , a = −9, a |
2 |
= 45 |
[4- 8.3.5.2] |
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||
3. |
|
Знайти |
твірну |
функцію |
та |
розв`язок рекурентного співвідношення: |
||||||||
an = a0an−1 +a1an−2 +...+an−1a0 , a0 =1 |
|
|||||||||||||
Домашнє завдання: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1. |
Знайти твірні функції та розв`язки рекурентних співвідношень: |
|||||||||||||
|
a) |
an+2 −3 an+1 + an |
= 0, |
a0 |
|
=1, a1 = 2 [2- стор.49, 4.а] |
||||||||
|
b) |
an+3 −3 an+2 +an+1 −3 an = 0, |
a1 =3, a2 |
=7, a3 = 27 [4- 8.3.3.2] |
||||||||||
|
c) |
an+3 −an+2 −an+1 + an = 0, |
a0 = 2, a1 |
= 4, a2 |
|
=10 [2- стор.49, 4.б] |
||||||||
2.Знайти твірні функції та розв`язки рекурентних співвідношень:
a) |
an+1 − an |
= n −1, |
a1 =1 [4- 8.3.5.1] |
|||||||
b) |
a |
n+2 |
−2a |
n+1 |
+ a |
n |
= 2n , a =1, a |
2 |
= 2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||
Додаткове завдання:
1.Знайти твірну функцію послідовності {an=2(n-5)+7n+2}.
2.Застосувати техніку твірних функцій для знаходження суми чисел
13+23+…+n3 .
3.На колі обрано 2n точок. Скількома способами можна з`єднати ці точки n хордами, що не перетинаються у середині кола?
4.Нехай A – (n*n) матриця з нулями на головній діагоналі та одиницями на інших місцях. (Можна довести, що детермінант A дорівнює (-1)n-1(n-1).) Скільки з n! доданків у розкладі детермінанта A дорівнюють +1, -1 та 0 відповідно?
40