Lektsii_Rubleva / Лекции Рублева-1 / Гл 01 Вступ до анал_зу / 1-08-1

, , . (1)

Властивості.	(Базової функції ).
1)	Функція визначена в кожній точці сегменту .
2)	Функція неспадна.
3)	Функція неперервна.

Доведення. 1) Перша властивість безпосередньо слідує з існування супремуму для обмеженої множини. 2) Друга з властивості супремуму та з визначення функції . 3) Остання властивість доводиться методом від супротивного. Якщо припустити, що функція розривна, то з монотонності ми робимо висновок, що ця точка розриву першого роду. Тобто на проміжку існує інтервал, вільний від значень функції, але вже на викинутих інтервалах ми визначили значення функції, як скрізь щільні, а тому не може бути подібного інтервалу без значень. Одержана суперечність завершує доведення властивостей.

Тепер визначимо функцію Кантора , як функцію, що визначається за правилом:

(2)

Властивості.	(Функції Кантора ).
1)	Функція зростаюча.
2)	Функція неперервна.