Seminar5
.pdf
ВИДИ ЛІНІЙНОЇ РЕГРЕСІЇ
В цьому розділі ми розглянемо різні види регресій, а також таких, що можуть бути зведені до стандартної лінійної регресії:
1.Визначення сезонних коливань.
2.Функція Кобба-Дугласа.
3.Порівняння факторів за ступенем їхнього впливу
1. Визначення сезонних коливань
Нехай потрібно проаналізувати часовий ряд yt на наявність сезонних коливань.
Одним з розповсюджених способів моделювання сезонності є використання фіктивних змінних. Для побудови регресійної моделі слід застосувати функцію @seas(N). Як і всі функції системи її запис починається зі знаку @. Ця функція має параметр N – номер сезону у році. Наприклад, для оцінки регресії вигляду
yt = β0 + β1q1 + β2 q2 + β3 q3 +εt
у вікні специфікації регресії вказується:
В даному випадку в моделі використано 3 фіктивні змінні, оскільки періодичність даних була квартальною.
www.andriystav.cc.ua
У випадку місячної структури даних необхідно було б використати 11 фіктивних змінних.
Розглянемо наступні моделі:
yt = β0 + β1q1 + β2 q2 + β3 q3 +εt
yt = β0 + β1q1 + β2 q2 + β3 q3 + β4t +εt
Для першої моделі специфікація моделі аналогічна попередній. Для другої моделі у вікні специфікації запишемо:
або
Для ілюстрації побудуємо графік останньої регресії:
www.andriystav.cc.ua
2.Функція Кобба-Дугласа
Y =β0Kβ1 Lβ2 +εt ,
де Y - індекс реального обсягу виробництва
K- індекс реальних капітальних витрат
L- індекс реальних витрат праці
Для того, щоб звести модель до лінійної регресії, необхідно прологарифмувати задану функцію.
Для цього у вікні специфікації записуємо:
www.andriystav.cc.ua
Оцінимо модель:
Для ілюстрації побудуємо графік отриманої регресії:
www.andriystav.cc.ua
Тепер знаходимо кінцеву відповідь початкової моделі:
β0 =e−0.177310
β1 =0.807278 β2 =0.233053
Для підрахунку першого значення в робочому файлі можна потрібно записати:
series bo=exp(-0.177310)
3. Порівняння факторів за ступенем їх впливу
Розглянемо множинну регресію, для якої вже отримані статистично значимі оцінки коефіцієнти регресії. В такому разі вибіркова регресійна функція може бути записана у вигляді:
|
ˆ |
ˆ |
ˆ |
(1) |
yt = β0 |
+ β1 x1,t |
+…+ βk −1 xk −1,t |
||
ˆ |
|
|
|
|
Регресійні коефіцієнти не можна використовувати для порівняння дії різних факторів, тому найчастіше при цьому використовують два методи:
•порівняння коефіцієнтів в регресії відносно нормалізованих змінних;
•порівняння коефіцієнтів еластичності. www.andriystav.cc.ua
Зазначимо, що для порівняння не існує критерію, придатного у всіх ситуаціях. При виборі критерію треба враховувати мету дослідження, використовувати знання з тієї галузі економічної теорії, яка вивчає досліджуваний об’єкт.
3.1.Регресія відносно нормалізованих змінних
Основна ідея цього методу – позбавлення змінних від різних одиниць виміру. Розглянемо застосування цього методу на прикладі. Нехай потрібно оцінити модель лінійної регресії:
yt = β0 +β1xt,1 +…+βk −1xt,k −1 +εt ,t =1, n .
Уведемо наступні позначення:
y = |
∑n |
yt |
– середнє значення залежної змінної , |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
t =1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
xj |
= |
|
|
|
∑n |
|
xtj |
|
, j = |
|
|
|
|
|
|
|
|
– середнє значення j-ї незалежної змінної , |
|
||||||||||||
|
|
|
t =1 |
|
|
|
|
1, k −1 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
σy |
= |
|
|
|
∑n |
( yt − y)2 |
|
– середньоквадратичне відхилення залежної змінної , |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n −1 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∑n |
(xtj − xj )2 |
|
|
|
j-ї |
|||||||||||||||||||
σx j |
= |
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, j = |
1, k −1 |
– |
середньоквадратичне |
відхилення |
|||||||||||
|
|
|
|
|
n −1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
незалежної змінної , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
yt* = |
yt |
− y |
, i = |
|
|
|
– значення |
стандартизованої залежної |
|
змінної в t |
-му |
||||||||||||||||||||
1, n |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
σ |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
спостереженні |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x* |
= |
xtj |
−xj |
,t = |
|
, j = |
|
– |
значення стандартизованої |
j-ї незалежної |
|||||||||||||||||||||
1, n |
|||||||||||||||||||||||||||||||
1, k −1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
tj |
|
|
|
|
σ |
x j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
змінної в t-му спостереженні.
www.andriystav.cc.ua
Розрахунок величин yt* та називається нормалізацією змінних, що пов’язано з тим, що нові змінні асимптотично повинні мати стандартний нормальний розподіл.
Також варто відмітити, що середнє значення всіх нормалізованих дорівнює нулю. З цього випливає, що модель регресії відносно нормалізованих змінних записується у такому вигляді:
yt* = β1* xt*,1 +…+ βk*−1 xt*,k −1 +εt ,t = |
1, n |
. |
(2) |
Як відомо, регресія завжди проходить через точку середніх значень залежної і незалежної змінних. Оскільки середні значення всіх нормалізованих змінних дорівнюють нулю, то модель не містить константи.
Оскільки середньоквадратичні відхилення мають ті самі розмірності, що і змінні, нормалізовані змінні є безрозмірними величинами, а тому коефіцієнти регресії (2) можна інтерпретувати як міру впливу незалежних змінних на залежну змінну.
Значення коефіцієнтів регресії (2) можна знайти без безпосереднього застосування методу найменших квадратів, скориставшись формулою:
βˆ* = βˆ j σx j , j =1, k −1.
j σy
Після знаходження величин βˆj* всі фактори можна ранжувати за абсолютною величиною відповідного коефіцієнта.
3.2. Коефіцієнти еластичності
Як і в інших дисциплінах, коефіцієнт еластичності показує на скільки відсотків зміниться значення залежної змінної при зростанні однієї незалежної змінної на 1 відсоток за умови, що значення всіх інших змінних не зміниться.
Для довільної залежності виду
yt = f (x1,t , x2,t ,…, xk −1,t )
www.andriystav.cc.ua
коефіцієнт еластичності змінної yt |
|
відносно xj визначається як: |
|
|||||||||
|
∂(ln f ( x |
, x |
,..., x |
) |
|
∂ f |
|
xj |
|
|
|
|
εj = |
= |
|
, j =1, k −1 |
(3) |
||||||||
1 |
2 |
k −1 |
|
|
|
|
||||||
∂(ln xj ) |
|
∂ xj |
|
f ( x1 , x2 ,..., xk −1 ) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Якщо вигляд залежності задано явно, наприклад, за допомогою регресії (1), то значення вибіркового коефіцієнта еластичності можна розрахувати за формулою:
|
= βˆj |
|
|
|
xj |
|
|
|
|
|
|
εj |
|
|
|
|
|
, j =1, k −1 |
(4) |
||||
ˆ |
ˆ |
ˆ |
|
||||||||
|
|
β |
0 |
+ β x |
+…+ β |
k −1 |
x |
|
|||
|
|
|
1 1 |
|
k −1 |
|
|||||
З формули випливає, що коефіцієнти еластичності залежать від того, при якому значенні змінної вони обчислюються. Стандартним є обчислення коефіцієнтів еластичності при середніх значеннях змінних. Тоді формула (4) приймає вид:
xj |
|
|
εj = βˆj y |
, j =1, k −1 |
(5) |
Для ранжування факторів регресії за ступенем їхнього впливу використовують абсолютне значення коефіцієнта еластичності.
3.3.Приклад
Нехай потрібно ранжувати фактори за ступенем їхнього впливу у регресії індивідуального споживання від державних видатків та грошової маси (дані з файлу macromod.wf1):
cnt = β0 + β1Gt + β2Mt +εt
Для створення нормалізованих змінних скористаємося наступною формулою:
www.andriystav.cc.ua
Поступивши аналогічно з усіма змінними, побудуємо регресію:
Зверніть увагу, що регресія будується без константи.
www.andriystav.cc.ua
Оцінка моделі показує, що фактор державних видатків впливає позитивно на споживання на рівні 1,57, а грошова маса – від’ємно на рівні - 0,16. За абсолютною величиною найбільш важливим є вплив саме вплив державних видатків.
Для розрахунку коефіцієнтів еластичності скористаємося наступною формулою:
Аналогічно розраховується показник еластичності для фактора грошової маси:
www.andriystav.cc.ua