Lysenko_physics_lek_2[1]

3 Принцип суперпозиції. Спектр власних значень може бути як дискретним, так і суцільним. У випадку дискретного спектра власні значення й власні функції можна пронумерувати:

де cn , у загальному випадку, є комплексними числами, які не залежать від координат. Кількість доданків у сумі дорівнює числу різних власних функцій величини q .

Формула (89.7) виражає принцип суперпозиції хвильових функцій: коли хвильові функції ψ1, ψ2 , ..., ψn , ... описують деякі стани, то і функція ψ = c1ψ1 + c2ψ2 + ...+ cnψn +...

подає деяку хвильову функцію, що описує деякий стан системи. Обґрунтуванням принципу суперпозиції є узгодженість з дослідом наслідків, які випливають з нього. Так, за допомогою принципу суперпозиції квантова механіка пояснює дифракцію та інтерференцію частинок.

Квадрати модулів коефіцієнтів cn дорівнюють імовірності того, що при вимірах, які виконуються над системою, що перебуває у стані ψ , будуть отримані відповідні значення величини q . Оскільки сума всіх таких ймовірностей повинна дорівнювати одиниці, коефіцієнти cn задовольняють умову

å cn 2 =1.

n

§ 90 Середні значення фізичних величин з точки зору операторного підходу. Оператори радіуса-вектора, імпульсу, енергії. Зв'язок між власними й середніми значеннями [11]

1 Як визначають середнє значення фізичної величини в квантовій механіці,

використовуючи операторний підхід? Для відповіді на це питання розглянемо приклад. Припустимо, що багаторазово проводиться вимір координати x частинки, причому частинка кожного разу перебуває в однакових макроскопічних умовах. Тоді стан частинки в цих дослідах можна характеризувати хвильовою функцією ψ(x) , яку для спрощення будемо

вважати функцією тільки однієї просторової координати x . Середнє значення координати, яке буде знайдено в результаті вимірів, можна записати у вигляді

Тут використано, що dP = ψ 2 dV = ψ*ψdx є, виходячи з фізичного змісту квадрата модуля хвильової функції, ймовірністю того, що частинка буде знайдена в інтервалі x, x + dx .

181

Використовуючи операторний підхід, вираз для середнього значення x записують

де xˆ оператор величини x . Порівнюючи вирази (90.1) і (90.2), бачимо, що оператор x -й

координати має вигляд

Вищевикладений метод знаходження середніх значень поширюють у квантовій механіці на будь-яку фізичну величину (яка залежить не тільки від координат, а й від імпульсів). Для будь-якої фізичної величини F(r, p) середнє значення визначається як

ˆ

де F – оператор величини F(r, p) , який має вигляд

2 Знайдемо в явному вигляді оператор імпульсу.

Як відомо, енергія частинки дорівнює сумі кінетичної та потенціальної енергії і визначається функцією

Використовуючи правило (90.10), енергії (90.11) можна поставити у відповідність оператор

Порівняємо оператор (90.12) з оператором Гамільтона (оператор енергії, який визначили з рівняння Шредінгера)

182

Зрозуміло, що оператор енергії визначається співвідношенням (90.13).

3 З’ясуємо, як пов’язані між собою середні значення, що визначаються способом (90.9) та власні значення фізичних величин.

Для спрощення математичних перетворень розглянемо випадок стану системи, у яких величина q має певне значення. Це означає, що цей стан описується хвильовою функцією

y = yn , яка відповідає власному значенню qn . Хвильова функція yn і власне значення qn задовольняють рівнянню

ˆ

де Q – оператор величини q . Середнє значення величини q в цьому випадку відповідає власному значенню, тобто q = qn .

З іншого боку, середнє значення можемо також визначити у спосіб (90.9). Тому

Таким чином, середні значення, що визначаються способом (90.9) та за допомогою власних значень, мають одне і те саме значення.

§ 91 Комутативність операторів. Умови, за яких дві фізичні величини можуть бути виміряні одночасно [11]

завжди існує стан ψ , у якому обидва оператори мають визначені власні значення a та b ?

ˆ

Тобто, чи завжди хвильова функція ψ є власною функцією одночасно як для оператора A ,

ˆ

так і для оператора B ? Іншими словами, чи можливо обидві фізичні величини a та b точно виміряти одночасно?

ˆ

Для відповіді на це питання припустимо, що ψ є власною функцією як оператора A ,

ABy = Aby = bAy = b ×a ×y .

Звідси випливає, що

183

Можна виділити чотири величини, які пов'язані з моментом імпульсу частинки. Це три проекції і квадрат моменту імпульсу: Lx , Ly , Lz і L2 = L2x + L2y + L2z . Виникає питання: чи

можна одночасно виміряти усі вищеперелічені чотири величини? Щоб відповісти на це питання, потрібно перевірити: чи комутують один з одним оператори цих фізичних величин? А саме, чи комутують оператори проекцій

і оператор квадрата моменту імпульсу

між собою? Нескладно провести розрахунки й переконатися, що комутують між собою тільки дві величини: оператор z -компоненти моменту імпульсу частинки й оператор квадрата моменту імпульсу. Це означає, що одночасно можливо визначити лише z -компоненту моменту імпульсу частинки й оператор квадрата моменту імпульсу. Дві інші проекції виявляються при цьому абсолютно невизначеними. Це означає, що «вектор» моменту не має певного напрямку й, отже, не може бути зображений, як у класичній механіці, за допомогою спрямованого відрізка прямої.

2 Знайдемо квадрат модуля моменту імпульсу. Для цього потрібно розв’язати рівняння на визначення власних значень квадрата моменту імпульсу

значення квадрата моменту імпульсу частинки. Розв’язання цього рівняння є досить складним. Тому ми обмежимося наведенням лише кінцевих результатів: власні значення оператора квадрата моменту імпульсу дорівнюють

Тут l – квантове число, яке отримало назву азимутального. Отже, модуль моменту імпульсу може мати лише дискретні значення, які описуються формулою

3 Знайдемо z -компоненту моменту імпульсу. Для цього потрібно розв’язати рівняння на визначення власних значень z -компоненти моменту імпульсу

ˆ

де Lz – оператор z -компоненти моменту імпульсу частинки; Lz – власне значення цієї величини. У сферичних координатах ( r,θ,ϕ ) оператор проекції моменту імпульсу на полярну вісь Z (від якої відлічується полярний кут θ ) має достатньо простий вигляд

Підстановка y = exp(aj) у рівняння (92.8) приводить після скорочення на загальний множник exp(aj) до алгебраїчного рівняння

-iha = Lz ,

зякого для α отримуємо значення iLz / h . Таким чином, розв’язок рівняння (92.8) має вигляд

185

y = C exp[i(Lz / h)j] .

Для того щоб ця функція була однозначною (одна з стандартних умов для хвильової функції), необхідно виконати умову y(j + 2p)= y(j), або

exp[i(Lz / h)(j + 2p)]= exp[i(Lz / h)(j)] .

Ця умова буде виконаною, коли буде виконуватись співвідношення exp[i(Lz / h)×2p] =1, або

Із причин, які з'ясуються далі, число m називається магнітним квантовим числом. Оскільки проекція вектора не може перевищувати модуль цього вектора, то повинна

виконуватися умова

mh £ hl(l +1) .

Звідси випливає, що максимальне можливе значення m дорівнює l . Таким чином, можемо записати

L = hl(l +1) (l = 0, 1, 2, ...),

(92.10)

Із цих формул випливає, що Lz завжди менше L . Отже, напрям моменту імпульсу не може

збігатися з виділеним у просторі напрямом Z . Це узгоджується з тією обставиною, що напрям моменту в просторі є невизначеним.

Слід відзначити, що з правил квантування моменту випливає, що сталу Планка h можна розглядати як природну одиницю моменту імпульсу.

4 Момент імпульсу системи, що складається з декількох мікрочастинок, дорівнює сумі моментів окремих часток. Сумарний момент, як і будь-який момент взагалі,

ТЕМА 16 ФІЗИКА АТОМІВ І МОЛЕКУЛ

§ 93 Атом водню з погляду квантової механіки. Квантові числа: n, l, ml. Кратність виродження. Правило відбору [6]

1 Розглянемо систему, яка складається з нерухомого ядра із зарядом Ze ( Z – ціле число), і електрона, який рухається навколо нього. При Z > 1 така система називається воднеподібним іоном; при Z = 1 вона є атомом водню.

Потенціальна енергія електрона дорівнює

186

скористатися сферичною системою координат: r,θ,ϕ . Підставивши в (93.1) вираз оператора Лапласа в сферичних координатах, прийдемо до рівняння

задовольняють стандартні умови (тобто однозначні, скінченні й безперервні), у таких випадках: 1) при будь-яких додатних енергіях E ; 2) при дискретних від’ємних значеннях енергії, що дорівнюють

Порівняння з виразом для енергії, яке отримано в теорії Бора, показує, що квантова механіка приводить до таких самих значень енергії водневого атома. Однак у квантовій механіці ці значення утворюються як наслідок основних положень цієї науки. Бору ж для отримання такого результату довелося вводити спеціальні додаткові припущення.

енергії (див. формулу (93.3)). Параметри l і m є азимутальним й магнітним квантовим числом, які визначають за відповідними формулами модуль моменту імпульсу й проекцію моменту на деякий напрям Z .

Розв'язки для хвильової функції, які задовольняють стандартні умови, мають місце лише для значень l , які не перевищують n −1. Отже, при заданому n квантове число l

може набувати n різних значень:

l = 0,1, 2,...,n −1.

При заданому l квантове число m може набувати 2l +1 різних значень: m = −l, − l +1,...,−1,0, +1,...,l −1,l .

2 Згідно з (93.3) енергія електрона залежить тільки від головного квантового числа n . Отже, кожному власному значенню енергії En (крім E1 ) відповідає кілька власних функцій

y , які відрізняються значеннями квантових чисел l і m . Це означає, що атом водню

може мати одне і те саме значення енергії, перебуваючи в декількох різних станах. У табл. 1 наведені стани, що відповідають першим трьом енергетичним рівням.

Стани з однаковою енергією називаються виродженими, а число різних станів з яким-небудь значенням енергії називається кратністю виродження відповідного енергетичного рівня.

187

Кратність виродження рівнів водню легко обчислити, виходячи з можливих значень

l=0

(див. також пункт 5 цього параграфа). Для обчислення суми в (93.5) використали формулу арифметичної прогресії.

Таблиця 93.1

Таким чином, кратність виродження енергетичних рівнів водневого атома дорівнює

n2 (див. також табл. 1, п.5 цього параграфа).

3 Стани з різними значеннями азимутального квантового числа l відрізняються величиною моменту імпульсу. В атомній фізиці застосовуються запозичені зі спектроскопії умовні позначення станів електрона з різними значеннями моменту імпульсу. Електрон, що перебуває у стані з l = 0 , називають s -електроном (відповідний стан – s -станом), з l = 1 – p -електроном, з l = 2 – d -електроном, з l = 3 – f -електроном, потім ідуть g, h і т.д.

вже за алфавітом. Значення головного квантового числа записують перед умовною позначкою квантового числа l . Таким чином, електрон у стані з n = 3 і l = 1 позначається символом 3p і т.д.

Оскільки l завжди менше n , можливі такі стани електрона: 1s,

2s, 2 p,

3s, 3p, 3d, 4s, 4 p, 4d, 4 f

Схема рівнів енергії зображена на рис. 93.1. На цій схемі відображено (правда, частково) виродження рівнів, крім того, вона має ще ряд істотних переваг, які скоро стануть очевидними.

4 Ми знаємо, що випромінювання й поглинання світла відбувається при переходах електрона з одного рівня на інший. У квантовій механіці доводять, що для азимутального квантового числа l є правило відбору

Стан 1s є основним станом атома водню. У цьому стані атом має мінімальну енергію. Щоб перевести атом з основного стану в збуджене (тобто в стан з більшою енергією), йому необхідно передати енергію. Це може бути здійснене за рахунок теплового зіткнення атомів (із цієї причини нагріті тіла світяться – атоми випромінюють, повертаючись зі збудженого в основний стан), або за рахунок зіткнення атома з досить швидким електроном, або, нарешті, за рахунок поглинання атомом фотона.

Фотон при поглинанні його атомом зникає, передаючи атому всю свою енергію. Атом не може поглинути тільки частину фотона, тому що фотон, як і електрон, як й інші елементарні частинки, є неподільним. Оскільки атом, який поглинає, як правило, знаходиться в основному стані, спектр поглинання водневого атома повинен складатися з ліній, що відповідають переходам

1s → np (n = 2,3,...).

Цей результат повністю узгоджується з дослідом.

5 Слід зазначити, що в даному параграфі не було враховано, що електрон також має власний момент імпульсу (спін електрона). Спін електрона характеризується квантовим числом s = 1/ 2 (аналог орбітального квантового числа l ). При цьому власний момент

моменту імпульсу дорівнює Ls z = msh , де спінове квантове число ms (аналог магнітного

квантового числа m ) може набувати двох значень: + s = 1/ 2 і − s = −1/ 2. Щоб урахувати спінове виродження, необхідно формулу (93.5) помножити на 2. Тобто виродження в атомі

водню дорівнює 2n2 .

§ 94 Магнетизм атомів. Дослід Штерна й Герлаха. Спін електрона [11]

1 Магнетизм атомів. Із часу Ампера магнетизм пояснювався електричними струмами, які, за його уявленнями, циркулюють усередині малих частинок речовини (атомів і молекул). Природа цих струмів була встановлена з появою електронних уявлень про будову речовини і теорії Бора. Вважалося, що молекулярні струми Ампера створюються електронами, які обертаються навколо ядра атома.

Оскільки електрони, які утворюють оболонку атома, електрично заряджені й мають маси, з їх рухом в оболонці (такий рух називають орбітальним) пов'язаний не тільки момент

= [r ´ r] r = ×

імпульсу L r p , але й магнітний момент атома pm I S . Зв'язок між цими двома

моментами вже розглядався раніше. Для одного електрона, який рухається по круговій орбіті, використовуючи методи класичної фізики, було отримано

називається гіромагнітним відношенням для орбітального руху електрона.

Такий самий зв'язок між магнітним моментом і моментом імпульсу зберігається й у квантовій механіці. Однак тепер необхідно класичні уявлення замінити квантовими. Як і у випадку моменту імпульсу квантова механіка розв’язує задачу про магнітний момент атома з використанням операторного методу. Таким чином, вивчення магнітного моменту частинки

rˆ

зводиться до вивчення властивостей оператора pm , який відповідно до (94.1) має вигляд

190