Методичка (первый курс, второй семестр)

О.О.Безущак, О.Г.Ганюшкiн. Завдання до практичних занять з лiнiйної алгебри (векторнi простори): для студентiв унiверситетiв. – К.: Видавничо–полiграфiчний центр “Київський унiверситет”, 2010. – 257 с.

Рецензенти: д-р фiз.-мат. наук, проф. Ю.В.Боднарчук д-р фiз.-мат. наук, проф. М.Ф.Городнiй д-р фiз.-мат. наук, проф. Ю.А.Дрозд

Наведено завдання для практичних занять з лiнiйної алгебри у другому семестрi в обсязi, передбаченому навчальними планами механiко

– математичного факультету. Посiбник мiстить завдання для аудиторної роботи i задачi для домашнiх завдань. Наявнiсть великої кiлькостi задач рiзної складностi дозволяє використовувати посiбник як збiрник задач.

Рекомендовано до друку вченою радою механiко – математичного факультету Київського нацiонального унiверситету iменi Тараса Шевченка (протокол № 2 вiд 12 жовтня 2009 року)

Змiст

Заняття 9. Мiнiмальний многочлен та функцiї вiд матриць118

Заняття 16. Оператори в евклiдових та унiтарних просторах199

Передмова

Навчальнi завдання повнiстю охоплюють теми практичних занять, що проводяться у другому семестрi при вивченнi на механiко–матема- тичному факультетi нормативного курсу лiнiйної алгебри.

Кожне завдання складається з чотирьох частин. Спочатку наводяться приклади розв’язання типових задач. Друга й третя частини мiстять задачi, що розглядаються на практичних заняттях (задачi другої частини є обов’язковими, третьої розрахованi на сильнiших студентiв), а четверта задачi для домашнього завдання. Важчi задачi позначено зiрочками, причому кiлькiсть зiрочок є мiрою складностi задачi. До задач наведено вiдповiдi, а для багатьох з них i вказiвки до розв’я- зання.

При посиланнi на задачу використовується подвiйна нумерацiя: перша цифра номер заняття, а друга номер задачi.

Пiсля кожного заняття наведено посилання на найбiльш доступнi пiдручники, у яких можна знайти необхiдний теоретичний матерiал.

4

Позначення

НСД(a; b) найбiльший спiльний дiльник чисел a та b; НСК(a; b) найменше спiльне кратне чисел a та b; A> матриця, транспонована до матрицi A;

jAj потужнiсть множини A;

(a) база векторного простору, що складається з векторiв a1; : : : ; an; A µ B A є пiдмножиною B;

A ½ B A є власною пiдмножиною B (тобто A µ B i A =6 B); B(M) множина всiх пiдмножин n–елементної множини M;

C множина, або адитивна група, або поле комплексних чисел; C¤ мультиплiкативна група поля комплексних чисел;

Cn група за множенням усiх комплексних коренiв степеня n з 1; def(') дефект лiнiйного вiдображення ';

diag(a1; : : : ; an) дiагональна матриця з a1; : : : ; an на дiагоналi; dim V розмiрнiсть векторного простору V ;

Eij матрична одиниця (матриця, в якої в i–му рядку на j–му мiсцi стоїть 1, а решта елементiв нулi);

Eij(k) матриця, яка вiдрiзняється вiд одиничної матрицi E тим, що додатково на мiсцi (i; j) стоїть k;

Ei(k) матриця, яка вiдрiзняється вiд одиничної матрицi E тим, що на мiсцi (i; i) стоїть k;

GLn(P ) повна лiнiйна група група за множенням усiх невироджених матриць порядку n з коефiцiєнтами з поля P ;

Hom(V; W ) множина всiх лiнiйних вiдображень з простору V у простiр W ;

Im ' = fw 2 W j iснує такий v 2 V; що '(v) = wg образ лiнiйного вiдображення ' : V ! W ;

Ker ' = fv 2 V j '(v)=0g ядро лiнiйного вiдображення ':V !W ; L(S) або hSi лiнiйна оболонка системи векторiв S;

Mn£m(P ) множина усiх матриць розмiру n £ m з коефiцiєнтами з поля P ;

Mn(P ) множина усiх квадратних матриць порядку n з коефiцiєнтами з поля P ;

N0 множина N [ f0g; 0 нульовий вектор;

5

Pij матриця, яка вiдрiзняється вiд одиничної матрицi E тим, що на (i; i)–му та (j; j)–му мiсцях стоять нулi, а на (i; j)–му та (j; i)–му мiсцях стоять одиницi;

P n арифметичний векторний простiр розмiрностi n над полем P ; P [x] векторний простiр усiх многочленiв вiд x з коефiцiєнтами з

поля P ;

Pn[x] векторний простiр усiх многочленiв вiд x степеня не бiльшого нiж n з коефiцiєнтами з поля P ;

Pn[x1; : : : ; xk] простiр усiх многочленiв степеня не бiльшого нiж n вiд змiнних x1; : : : ; xk з коефiцiєнтами з поля P ;

P(n)[x1; : : : ; xk] простiр усiх однорiдних многочленiв степеня n вiд змiнних x1; : : : ; xk з коефiцiєнтами з поля P ;

Q+ мультиплiкативна група всiх додатних рацiональних чисел; Q¤ мультиплiкативна група поля рацiональних чисел;

R+ мультиплiкативна група всiх додатних дiйсних чисел; R¤ мультиплiкативна група поля дiйсних чисел;

r(') або rank(') ранг лiнiйного вiдображення '; T(a)!(b) матриця переходу вiд бази (a) до бази (b); tr A слiд матрицi A;

V'(¸) кореневий пiдпростiр перетворення ', що вiдповiдає власному числу ¸;

V'(¸) власний пiдпростiр перетворення ', що вiдповiдає числу ¸; [v](e) координати вектора v в базi (e);

v; w; : : : вектори лiнiйного простору V ;

Zn множина класiв лишкiв за модулем натурального числа n; O нульове перетворення або нульова матриця;

" тотожне перетворення;

['] матриця лiнiйного вiдображення ';

' ± à або 'à композицiя вiдображень ' i à (тобто (' ± Ã)(x) =

Ã('(x)) ).

6

Векторнi простори та їх пiдпростори позначатимуться великими буквами латинського алфавiту V , W , U, : : : , вектори малими жирними буквами v; w; u; : : : . Для елементiв поля скалярiв P використовуватимемо малi букви грецького алфавiту ®; ¯; ¹; : : : . n–вимiрний арифметичний векторний простiр над полем P позначатимемо символом

P n:

Якщо поле скалярiв (коефiцiєнтiв) в умовi задачi явно не вказане, вважається, що ним є поле дiйсних або поле комплексних чисел.

Заняття 1. Простори та їх пiдпростори

Необхiднi поняття. Непорожня множина V елементiв довiльної природи називається векторним (лiнiйним) простором над полем скалярiв P , якщо на множинi V введено дiї додавання та множення на скаляри, якi задовольняють аксiоми векторного простору:

(1)дiя додавання кожнiй впорядкованiй парi u, v елементiв з V ставить у вiдповiднiсть однозначно визначений елемент w = u + v з V так, що:

(a)для будь-яких елементiв u та v маємо: u + v = v + u (комутативнiсть додавання векторiв);

(b)для будь-яких елементiв u; v та w маємо: (u + v) + w = u + (v + w) (асоцiативнiсть додавання векторiв);

(c)знайдеться такий елемент 0, що для довiльного u 2 V виконується рiвнiсть: u + 0 = 0 + u = u (iснування нульового вектора);

(d)для кожного елемента u 2 V знайдеться такий елемент x 2 V , що u + x = x + u = 0 (iснування протилежного вектора);

(2)дiя множення на скаляри з поля P кожному елементу u 2 V i скаляру ® 2 P ставить у вiдповiднiсть однозначно визначений елемент v = ® ¢ v з V так, що:

(a) для будь-яких скалярiв ®; ¯ 2 P та елемента u 2 V маємо:

(®¯) ¢ u = ® ¢ (¯ ¢ u) (асоцiативнiсть множення на скаляри);

(b)для кожного елемента u 2 V та одиницi 1 поля P маємо: 1 ¢ u = u (унiтарнiсть множення на скаляри);

7

(3) i, нарештi, два дистрибутивнi закони:

(a) для будь-яких скалярiв ®; ¯ 2 P та елемента u 2 V маємо:

(® + ¯) ¢ u = ® ¢ u + ¯ ¢ u;

(b)для будь-яких скаляра ® 2 P та елементiв u; v 2 V маємо:

® ¢ (u + v) = ® ¢ u + ® ¢ v:

Нехай S деяка система векторiв. Множину всiх векторiв, якi можна подати у виглядi лiнiйної комбiнацiї якоїсь скiнченної пiдсистеми з S, називають лiнiйною оболонкою системи S i позначають L(S).

Система векторiв S називається системою твiрних векторного простору V , якщо лiнiйна оболонка системи S збiгається з простором V , тобто якщо L(S) = V .

Векторний простiр називається скiнченновимiрним, якщо в ньому iснує скiнчена система твiрних. У противному разi простiр називається

нескiнченновимiрним.

Лiнiйно незалежна система твiрних векторного простору називається його базою.

Кiлькiсть векторiв у базi простору V називається розмiрнiстю простору V i позначається dim V . Простiр розмiрностi n також називають n–вимiрним.

(Лiнiйним) пiдпростором векторного простору V називається непорожня множина векторiв з V , що сама утворює векторний простiр вiдносно тих дiй, якi заданi на V . Кожен простiр мiстить два тривiальнi пiдпростори нульовий пiдпростiр f0 g та сам простiр.

Необхiднi твердження. 1. Непорожня множина W векторiв з V утворює лiнiйний пiдпростiр тодi й лише тодi, коли виконуються такi двi умови:

a) для довiльних векторiв a та b з W їх сума a + b знову належить

W ;

b) для довiльних скаляра ® 2 P та вектора a 2 W добуток ® ¢ a знову належить W .

2. Кожна максимальна лiнiйно незалежна система векторiв простору V є його базою. Навпаки, кожна база простору V є максимальною лiнiйно незалежною системою векторiв.

Приклади розв’язання типових задач

8

Задача 1. На множинi R+ додатних дiйсних чисел наступним чином визначимо додавання i множення на скаляри з поля R :

a ¢ b = ab; ¹ ¯ a = a¹ :

Доведiть; що вiдносно цих дiй множина R+ є векторним простором над полем R.

Розв’язання. Сума додатних чисел i довiльний степiнь додатного числа знову є додатними. Тому дiї на множинi R+ визначенi коректно. Аксiоми векторного простору перевiряються безпосередньо:

1)(a ¢ b) ¢ c = ab ¢ c = a ¢ bc = a ¢ (b ¢ c).

2)Нульовий вектор x повинен для кожного a 2 R+ задовольняти рiвнiсть a = a ¢ x = ax. Отже, ним може бути лише число 1. I справдi, a ¢ 1 = a ¢ 1 = a = 1 ¢ a = 1 ¢ a.

3)Протилежний до a вектор b має задовольняти рiвнiсть 1 = a¢b = ab. Тому b має збiгатися з a¡1. I справдi, a¢a¡1 = a¢a¡1 = 1 = a¡1 ¢a = a¡1 ¢ a.

4)Дiя ¢ є комутативною, бо a ¢ b = ab = ba = b ¢ a.

5)Крiм того, 1 ¯ a = a1 = a.

6)Також легко бачити, що

¹¯ (¯ ¯ a) = ¹ ¯ a¯ = (a¯)¹ = a¹¢¯ = (¹ ¢ ¯) ¯ a :

Перевiримо виконання дистрибутивних законiв:

7) для довiльних скалярiв ¹; ¯ 2 R та вектора a 2 R+

(¹ + ¯) ¯ a = a¹+¯ = a¹ ¢ a¯ = a¹ ¢ a¯ = (¹ ¯ a) ¢ (¯ ¯ a) ;

8) для довiльних скаляра ¹ 2 R та векторiв a; b 2 R+

¹¯ (a ¢ b) = ¹ ¯ (ab) = (ab)¹ = a¹ ¢ b¹ = a¹ ¢ b¹ = (¹ ¯ a) ¢ (¹ ¯ b) :

Задача 2. Доведiть; що для довiльних попарно рiзних дiйсних чисел a1; a2; : : : ; an система функцiй ea1x; ea2x; : : : ; eanx є лiнiйно незалежною.

Розв’язання. I спосiб. Це очевидно для n = 1. Далi застосуємо iндукцiю за n. Припустимо, що

9