TV1

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

) В момент часу τ ланцюг переходить з ймовірністю π

в стан “j” і

знаходиться там випадковий інтервал часу τ2 ~ E(− a jj ) , тобто π ij

- це ймовірність того, що

.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

19.03.2015

Размер:

524.56 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

F1 Теорія імовірності, перший семестр

→

1 − p11

1 − p00

1 − p11

1 − p00

n→ ∞

2 − p00

− p11

pi(0n) →

1−

p11

, і=0,1

− p00 − p11

pi(1n) →

1−

π 1

, {π 1 ,π 2

} –ергодичний розподіл.

− p00 − p11

π 1

π 2

Лема Для незвідного неперіодичного Ланцюга Маркова X

, n ≥ 0

n : Pn0

> 0

Розглянемо ланцюг Маркова X n зі скінченою множиною станів.

Теорема. Для незвідного неперіодичного Ланцюга Маркова X n , n ≥ 0 із скінченою

множиною станів {1,..., r} існує ергодичний розподіл π =

(π 1 ,...,π r ) , які є

границями

lim p

(n)

→

> 0, j =

, і крім того вектор π є єдиним

1,r

n→ ∞

розв’язком системи лінійних рівнянь такого типу

x j

∑ xk

pkj , j =

1,..., r

1−

умова

нормування

∑ xk = 1, або∑ pik

◄ Розглянемо P(n)

= Pn - матриця переходу. Візьмемо j-ий стан,

визначимо два числа

(n) =

max p

( n)

; m

(

min p(

)n ;

m j (n) ≤ pkj( n)

≤ M j(

Запишемо рівняння Чепмена-Колмогорова

pij (n + 1)

pkj( n) . Звідси m j (n)

pij( n + 1) ≤

M (j n)

∑ pik

≤

m j (n) ≤

k= 1

pij(

≤ M(j

M(j )n . Тоді існують границі величин

m j( n + 1)

≤

n +

n + )1 ≤

lim m j (n),lim M j( n)

при n → ∞

. Розглянемо k-ий стовпчик pik (n +

n0 ) і нехай “i” та ”j”

індекси, на яких досягається максимум та мінімум.

pik (n +

n0 ) =

M k( n +

n0)

(за рівнянням Чепмена-Колмогорова )

p jk (n + n0 ) = mk( n + n0)

(n + n

) = p

( n + n ) =

∑

p ( n) p ( )n

(n + n

) = p

( n + n )

p ( n) p( )n

∑

Розглянемо різницю між максимумом та мінімумом :

(n + n

) −

( n + n )

∑

) −

( n ) )

(n) =

∑

+ +

∑

−

( суми з додатними та

від’ємними компонентами). Якщо підсилити додатну суму максимумом ,а від’ємну мінімумом, то отримаємо :

(n +

) −

( n +

n ) ≤

M ( n)

∑

+ (p(

− p(

) +

(n)

∑

− (p

( n ) −

p ( n) )

(***)

jl 0

Оскільки ∑( pil (n0 )) = 1 та ∑(p jl (n0 ))

= 1, запишемо

l = 1

				F1 Теорія імовірності, перший семестр
0 = ∑r (pil (n0 ) −	p jl( n0) ) = ∑+		+	∑− . Звідси випливає, що ∑+ = − ∑− , тобто
l= 1
∑ + (pil (n0 ) − p jl( n0) ) = dij <		1 . Число станів скінчене тож d = max dij < 1
l				i, j
l	n0 ) − mk( n +	n0)		d (M k( n) − m(k )n ) .
(***) M k (n +	n0 ) − mk( n +	n0)	≤	d (M k( n) − m(k )n ) .

Рекурентним чином отримаємо 0 ≤

Звідси max = min , та mk (n) ≤ pik( n)

M k (n) − ≤ M k( n)

mk( n) ≤

, тобто

→ 0

d 0

, d < 1, n > n

n→ ∞

lim pik (n)

. Звідси π k =

lim pik (n)

n→ ∞

pij (n + 1) =

14243

↓

π j

r	π	j =
∑ pik( n) pkj( 1)
∑ pik( n) pkj( 1)	n
k= 1	∑π
k= 1

k = 1

∑ pik (n) pkj k = 1

j = 1

			r
Припустимо x1 ,..., xn	x j	=	∑xk pkj	(*). По індукції покажемо, що
Припустимо x1 ,..., xn	задовольняють систему		k = 1	(*). По індукції покажемо, що
		=	π j
	x j	=	π j

		r
вектор ( x1 ,..., xn ) задовольняє рівняння x j = ∑xk pkj (n)					(**)
		k = 1	r
r	r	r	r	r		n)	r	)n
Розглянемо ∑xk	pkj (n + 1) = ∑ xk ∑ pkl plj( n) =		∑	∑ xk pkl plj(		n)	= ∑ xl p(lj	)n	=	x j
k = 1	k = 1	l= 1	l= 1 k= 1				l= 1		(**)
	r
При n → ∞ в (**)	x j = ∑xk π	j = π j . Це і доводить єдиність розв’язку системи
	k = 1

лінійних рівнянь для стаціонарних ймовірностей. ►

Ланцюги Маркова з неперервним часом

Нехай визначено (Ω , U, P) – деякий імовірнісний простір. Розглянемо у ньому множину

Xt =

Xt (w) випадкових величин , t – час, t [0,+∞

) , X = {0,1,...} .

Сукупність випадкових величин Xt , t ≥

0 є ланцюгом маркова (лМ) з неперервним часом,

якщо, для будь-якого набору 0 ≤

t1 < ... <

tk , і чисел i1 ,...,ik Ζ , ймовірність

P{Xt

= ik /Xt

k −

ik − 1 ,..., Xt =

i1 } =

P{Xt

= ik /Xt

ik − 1}

k − 1

Функції pij (s,t) =

P{ Xt =

j/X s

= }i

є перехідними ймовірностями лМ Xt

Якщо pij (s,t) =

pij( t − s)

, то лМ є однорідним

Позначення: pij (t) - перехідні ймовірності однорідного лМ Надалі будемо вивчати саме однорідні лМ.

F1 Теорія імовірності, перший семестр

Властивості перехідних ймовірностей:

1. pij (t)

≥ 0,

i, j

вони невід’ємні.

+∞

(t) = 1, i

2. ∑pij

X .

j= 0

3. Задовольняють рівнянням Чепмена-Колмогорова: pij (t +

s) =

+∞

)t ≥ 0

∑pi k( t) pk (j

Якщо w = w0 – фіксоване, то функція Xt (w0 )

X( t)

k = 0

є вибірковою функцією лМ, або його

траєкторією.

Будемо розглядати ланцюги Маркова , для яких траєкторії є неперервними справа

функціями з ймовірністю 1.

Лема: Якщо траєкторія лМ Xt

, t

≥

0 - неперервна справа з ймовірністю 1, то

limpij (t) =

1,i =

j =

δij

t→ 0

0,i ≠ j

+∞

X0} =

Ω

◄ З умови леми випливає, що UI{w : Xtk

0 , де X0

– початковий стан лМ .

m= 1k = m

inf Xk

= X0 , tk → 0 Отже Ω

– достовірна подія, і P{Ω

0} =

1. Тобто

1 =

lim P +∞

{w : X

}

≤

limP{X

= X

/ X

= i}

lim p

) ≤

m→ ∞

k = m

≤

limpii (tm ) ≤

limpii (tm )

1.►

m→ ∞

ЛМ, для якого limpij (t) =

1,i =

δij називається стохастично-неперервним ланцюгом.

t→ 0

0,i ≠

Теорема: Для стохастично - неперервного лМ pij (t)

– рівномірно-неперервні по t.

◄ Розглянемо pij (t +

h) −

pij( t)

+∞

h) pk(j )t

p(ij)t

pij (t)(pii( h) − 1) + ∑pi k( h) pk (j )t .

∑pi k(

−

k =

k ≠ i

Отже:

pij (t +

h) −

pij( t)

≤

1 − pii (h) +

∑pi k( h)

2(1 − pii(

) ►

k ≠

Рівняння Колмогорова для лМ з неперервним часом

Рівняння Колмогорова дають можливість знаходити перехідні ймовірності лМ з

неперервним часом.

pi k (h)

− δi k

Для лМ з неперервними справа траєкторіями

lim

= pi' k (0) =

ai k , які

n→ 0

називаються інфінітезимальними характеристиками лМ

Q =

aij

– інфінітезимальна матриця лМ

i, j

aij

Сума елементів по рядках матриці Q =

дорівнює 0

i, j

Теорема: Якщо траєкторії лМ Xt , t ≥

0 – неперервні справа, тоді має місце

перша система рівнянь Колмогорова (обернена): pij'

(t) =

∑ai k pk j( t) , pij (0)

= δij

F1 Теорія імовірності, перший семестр

◄ Як завжди розглянемо приріст функції, щоби потім перейти до похідної

(pij

) − ∑ai k pk j (t)

+ h) − pij( t)

∑pi k

(h) pk j( t) −

pij( )t

−

∑ai k pk(j )t =

∑

(pi k (h)

−

δi k

−

ai k h) pk j( t)

виберемо стан n >

i .Тоді можлива оцінка:

pij

(t + h) −

pij( t)

−

∑ai k pk j (t)

≤ ∑

i k

(h) −

i k

− ai k

+ ∑

i k

(h)

∑ai k

(h)

k≤ n

k > n

∑

i k

∑pi k (h)

∑pi k

(h) −

Так як

−

1 −

−

0 =

k > n

k≤ n

∑pi k (h) −

pi k (h) − δin

= −

1 +

∑ai k + ∑ai k = − ∑

− ai k

+ ∑ai k

k≤ n

k > n

k≤ n

k ≤ n

k > n

Звідси випливає:

pij

(t + h)

− pij(

−

∑ai k pk j (t)

≤ 2∑

i k

(h) − δ

i k

− ai k

+ 2∑ai k

k≤

k > n

Для всіх t

одночасно можна перейти до границі по h

pi k (h)

pi k (h) −

δi k

− δi k

Так як lim

ai k , то звідси випливає, що lim ∑

−

ai k

= 0 .

n→ 0

h→ 0 k ≤ n

Далі

pij (t +

−

pij( t)

− ∑ai k

pk j (t)

≤ 2∑ ai k

lim

h→ 0

k> n

А так як

∑

0 , то

∑

→

0 . Звідси

d +

(t) =

∑

( t)

, де d +

– права

i k

n→ ∞

d t

k > n

похідна. За умови, що лМ неперервний справа pkj (t)

є неперервними справа функціями,

тому права похідна неперервна, тому вона є просто похідною. Отже p′(t) =

∑

i k

( t) .►

k j

У матричному вигляді P' (t) =

AP( t) , P(0) =

I , де

A – матриця інфінітезимальних характеристик ,

І – одинична матриця, P(t) =

(

+∞

, A =

+∞

i, j= 0

Твердження: Для ланцюга Маркова з неперервною справа траєкторією Xt ,t ≥

0 існує

lim

pij (h)

− δij

aij

, де aij

– інфінітезимальні характеристики ланцюга

h↓ 0

Маркова, і виконується ∑aij

= 0, i .

Давайте визначимо : Λ - зліченна множина, скрізь щільна на[0, ∞

] .

Момент виходу з початкового стану τ =

inf {t : X t

X 0}

- випадкова величина.

Покажемо це.

I{ω

{ω

:τ ≥

: X s =

X}0

: X s

X 0}

U , отже, τ - випадкова величина (так як

[0,t )

0,t

)

вона вимірна стосовно U). τ > 0 з ймовірністю 1.

Якщо

0, то час перебування в стані “і” має показниковий розподіл з параметром

− aii : τ ~ E(− aii ) .

Якщо aii

0 ,то стан “і” є поглинаючим тобто X t , t ≥

0 раз потрапивши в цей стан

залишиться в ньому назавжди.

F1 Теорія імовірності, перший семестр

Ланцюг Маркова з неперервним часом X t у випадку якщо він є однорідним і неперервним справа має наступну конструкцію: якщо X 0 = i , то л. М. Xt знаходиться в стані “і” час

після виходу зі стану “i” процес безпосередньо попадає в стан ”j”. В момент часу (τ1 + τ2 )

з ймовірністю π

= −

a jk

переходить в стан “к” і знаходиться там часτ ~ E(− a

) .

a jj

X t

j π ij

π jk

π ks

τ1

τ1 + τ2 τ1 + τ2 + τ3

Функція розподілуτ1 має вигляд:

P{τ ≤ u} = 1− e− (− aii )u ,u ≥ 0

Xτ1+ ...+ τn

, n ≥ 0 - значення ланцюга Маркова в момент n- того стрибка

Розглянемо X n

(вкладений в ланцюг Маркова X t

) . Це буде ланцюг з дискретним часом. Він має матрицю

переходу за один крок:π =

π ij

+ ∞

,π ij =

aij

. Його особливістю є те, що π ii = 0 .

−

ij= 0

aii

Друга (пряма) система диференційних рівнянь Колмогорова

Теорема Якщо виконується умова sup(− aii ) < ∞ , i , тоді перша система рівнянь Колмагорова має єдиний розв’язок і має місце друга (пряма) система диференційних

рівнянь Колмагорова: p′(t) =	p (t)a	kj	, p	ij	(o) = δ	ij	тобто P′(t) = P(t)A;
ij	∑ ik	kj		ij		ij
	k

Друга (пряма) система диференційних рівнянь Колмогорова дає можливість визначити

безумовний розподіл ланцюга Маркова з ймовірністю:
pi (t) =	P{ X t			= i} ,i =			0,1,..., pi = P{ X 0 =} i ,i = 0,1,...
p′(t) =	∑	p	k	(t)a	kj	, p		(0) =	p - система диференційних рівнянь для безумовної ймовірності
j							i		i

Якщо початковий розподіл pi не змінюється з часом pi (t) = pi , то pi називають

стаціонарним розподілом ланцюга Маркова ( p0 , p1,...) = ( p0 (t), p1 (t),...)

Для стаціонарного розподілу p′j (t) = 0 , тому систему диференційних рівнянь запишемо у

вигляді ∑ pk akj = 0, j = 0,1,2,...

Теорема (Гранична теорема для ланцюга Маркова з неперервним часом.)

	F1 Теорія імовірності, перший семестр

Якщо ланцюг Маркова з неперервним часом X t ,t ≥	ˆ
Якщо ланцюг Маркова з неперервним часом X t ,t ≥	0, X n має неперервні справа траєкторії,
і вкладений ланцюг Маркова є незвідним, тоді i, j lim pij (t) = π j , у випадку коли
	t→ ∞
перехідні ймовірності pij (t) задовольняють другій системі диференційних рівнянь

Колмогорова, а ергодичний розподіл π i є таким що ∑π j (− a jj ) < ∞ , тоді π j задовольняє

j
системі рівнянь ∑π j a ji = 0,i = 0,1,2,....
j

Процеси загибелі та народження
Процесом загибелі та народження будемо називати ланцюг Маркова з неперервним
часом X t , t ≥ 0 і множиною станів {0,1,2,…} для вкладеного ланцюга якого	ˆ
	X n зі стану

“ n ” є можливий лише безпосередній перехід в “ n − 1”, “ n + 1” стани, а зі стану “0” в “1”.

Якщо стани ланцюга Маркова інтерпретуються як число осіб деякої популяції, то перехід зі стану “n” в “n+1” – народження деякої особи, а перехід зі стану “n” в “n-1” –загибель. Перехід зі стану “0” в “1”- самозародження.

З визначення процесів загибелі та народження випливає, що відмінними від 0 є

інфінітезимальні характеристики наступного типу:						ai,i− 1 ,ai,i , ai,i+ 1 ,i = 0,1,2,.... Позначимо
через λi = ai,i+ 1 ,i =	0,1,2,..., µi =		ai,i− 1 ,i =	1,2,...матриця інфінітезимальних характеристик
−	λ0	λ0		0	0	...
	µ1	− (λ1 +	µ1 )	λ1	0
	µ1	− (λ1 +	µ1 )	λ1	0	...	– трьох діагональний вигляд.
матиме вигляд:		µ2	−	(λ2 + µ2 )	λ2		– трьох діагональний вигляд.
	0	µ2	−	(λ2 + µ2 )	λ2	...

...

Для процесів загибелі та народження мають місце всі системи Колмогорова, зокрема

друга буде мати вигляд: p′(t) =

− λ

(t) +

(t)

p′(t) =

(t) −

(λ

) p

(t) + µ

j+ 1

ij+ 1

(t) , j = 1,2,...

− 1 ij− 1

З цієї системи можемо знайти стаціонарний розподіл, запишемо систему у вигляді:

− λ0π 0

+ µ1π 1 = 0

λ0π 0 −

(λ1 + µ1)π 1 + µ2π 2 = 0

...

λ j− 1π j− 1 − (λ j + µ j )π j + µ j+ 1π j+ 1 = 0

λ π

λ λ π

λ0

...λ j− 1π 0

,.... . Так як π 0

= 1, то π j =

λ0

...λ j− 1

Звідси

π 1 =

0 0 ,π 2 =

1 =

1 0 0

,... π

j =

µ1...µ j

µ1

µ2

µ1`µ2

тоді

p j = π

j p0 , та ∑ p j

1, тож p0

∑π

j =

∑ λ0 ...λ j− 1

< ∞

, p j =

∞π j

0,1,2,...

, j =

∞

j= 0

j= 1

µ1...µ j

∑π

j= 0

Застосування процесів народження та загибелі

F1 Теорія імовірності, перший семестр

до теорії масового обслуговування

1. Система масового обслуговування типу М / М / 1 Розглянемо один пристрій, на який надходять вимоги через випадкові інтервали часу

ξ 1 ,ξ 2 ,K, які є незалежними випадковими величинами і мають показниковий розподіл з
параметром λ (ξ i ~ E(λ) ).
Пристрій обслуговує ці вимоги в
порядку надходження за час η i ( i -ту					η 1 ,η 2 ,…,η 3 ,…

вимогу). η i	– незалежні випадкові	… ξ 3 ξ 2 ξ 1

величини η i	~ E(µ) . Якщо вимога застає		1

пристрій зайнятим, то вона чекає свого			2
			M	черга
часу у черзі. Таким чином перед
			∞
пристроєм утворюється черга.

Основні характеристики такої моделі:
X (t) – число вимог в системі М/М/1 в момент часу t . Якщо X (t) =				k > 0 , то одна вимога
знаходиться на обслуговуванні, а k −		1 – чекають в черзі.
Позначення : М/М/1 ~ вхід/обслуг./число приладів. М = “марківський вигляд”.
В цій схемі виконується марківська властивість.
Залишковий час обслуговування (чи час приходу вимоги) не залежить від того коли

почала обслуговуватись вимога (прийшла попередня вимога) – властивість відсутності післядії показникового розподілу (відсутність старіння).

e− λ (t − s)

P{ξ > t + sξ > + s} = e− λs = e− λt , тобто “хвіст” показникового розподілу теж має

показниковий розподіл(з тим самим параметром). Це єдиний розподіл з такою властивістю серед неперервних розподілів.

Таким чином подальший розвиток процесу X (t) не залежить від його значення до

моменту t , тобто від того скільки часу минуло від початку обслуговування на приладі і від моменту надходження останньої у черзі вимоги, а тільки від значення процесу в момент часу t . Таким чином цей процес є ланцюгом Маркова.

Нехай τk – час перебування процесу в стані k . Знайдемо розподіл τk :

P{τk >

x} = P{min( ξ ,η)

> x}

= (ξ ,η – час що залишився до надходження наступної заявки і

до кінця обслуговування поточної відповідно) =

P{ξ

> x,η >

= e− λxe− µx

e− (λ + µ) x – це

показниковий розподіл з параметром λ +

µ .

Після “сидіння” у стані k процес може перейти або у стан k − 1 або у k + 1.

Знайдемо відповідні ймовірності:

pk ,k − 1

η}

(за формулою повної ймовірності)

+∞

= ∫ P{

ξ > x} µe− µx dx = µ ∫e−

(λ + µ ) x dx =

, тоді

pk ,k + 1 =

λ +

Отже цей ланцюг Маркова є процесом загибелі та народження з інтенсивністю

народження λi = λ i =

0,1,K, та інтенсивністю загибелі µi

= µ

i =

1,2,K, його

π j

λ0 Kλk − 1

λk

λ k

стаціонарний розподіл : p j

∞

, π 0

µ1 Kµ k

∑π k

k = 0

F1 Теорія імовірності, перший семестр

∞

λ j

∑

, якщо

, p

−

, – це геометричний розподіл з

k = 0

1 −

параметром ρ =

p j

ρ j (1 −

ρ )

.Оскільки Mξ =

і Mη =

, то ρ =

1λ

Mη

Mξ

умова існування стаціонарного розподілу Mη

< Mξ

– обслуговування в середньому

проходить швидше ніж надходження нових вимог. Мат. сподівання величини черги

+∞

(1 −

ρ ) ρ

∑

j =

→

∞

при ρ → 1, тобто черга буде мати нескінченне мат сподівання

− ρ

j= 0

при ρ → 1.

Модель системи M / M / ∞

Нехай у нас нескінченна кількість приладів,

η 11 ,η 12 ,K

і кожен незалежно від інших обслуговує

…

ξ 3

ξ 2

ξ 1

η 21 ,η 22 ,K

вимоги за показниковий час η ki

~ E(

µ) . Час

надходження : ξ i

~ E(λ) . Черги в цьому

випадку немає. X

(t) = k – число зайнятих

∞

приладів (число вимог в системі).

За рахунок показникового розподілу подальша поведінка системи не залежить від часу надходження попередніх вимог та від часу їх обслуговування (тобто від минулого).

P{τ

Знайдемо розподіл τk

– часу перебування процесу в стані k

x} = P{min{

ξ ,η

,K,η}

> x}

= P{ ξ > x,ξ ,η

x,K,η

> }x

e− (λ + kµ) x

Ймовірність переходу ланцюга Маркова з стану k

в стан k + 1 :

P{min(η

) >

ξ}

+∞

P{min(η

) > x}λe− λx dx =

, звідки

kµ

k ,k + 1

∫

λ +

kµ

k ,k − 1

λ + kµ

i= 1,k

1442443

e− k x

Таким чином X (t) – процес загибелі та народження з інфінітезимальними характеристиками (інтенсивностями) λi = λ i = 0,1,K, µi = iµ i = 1,2,K

Стаціонарний розподіл :

λ 0 Kλ k −

λ k

∞

λ k

k =

, k = 1,2,K, π

= 1 ,

∑

µ1 K µ k

k = 0

будь яких λµ R . Таким чином стаціонарна імовірність процесу X (t)

− λ

e µ – збіжний для

має вигляд :

	(λ / µ) k e−	λ
pk =	(λ / µ) k e−	µ	– Пуассонівський розподіл з параметром		λ	.
pk =	k!		– Пуассонівський розподіл з параметром	µ		.
	k!			µ
			Характеристичні функції
Характеристичною функцією в.в. ξ називається функція				fξ (t) = Meitξ , де t R

								F1 Теорія імовірності, перший семестр
Можна записати і так				fξ	(t) = M (Cos( ξ t)			+ iSin( ξ )t ) = MCos ( ξ t) + iMSin( ξ )t
або f ξ	(t) =	∞∫ e itx dFξ (		x) ,	Fξ (x) = P{ ξ ≤ x}			, для абсолютно неперервних в.в.
		−	∞
fξ (t) =	∞∫ e itx		pξ ( x) dx , де		pξ (x)	– щільність в.в.
	− ∞				∑ e itk		, де pk = P{ξ = k} . Цей ряд завжди збігається, оскільки
для дискретних : fξ (t) =					∑ e itk	pk	, де pk = P{ξ = k} . Цей ряд завжди збігається, оскільки
					k
в комплексній площині точки eitk							знаходяться на одиничному колі.

Властивості.

1. f (t) ≤ 1 , t R

2.f (0) = 1

3.f (t) – рівномірно неперервна по t

Приклади характеристичний функцій:

1. Біноміальний розподіл : P{ξ = k} = Cnk pk qn− k ~ B( n, p)

∞

fξ (t) = ∑eit Cnk pk qn− k = (peit + q)n

k = 0

Пуассонівський P{ξ

λk e−

k = 0,1,K

(λe

)

∞

−

∞

fξ (t) = ∑ eitk λ

e − λ ∑

= e − λ e λeit = e − λ (1− eit )

i = 0

fξ (t)

i =

Вироджений ξ

≡ c , тоді

e itc

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.2025324.1 Кб0TsPP_Konspekt_Grabovska.doc
#
01.07.2025779.26 Кб0TsPP_vidpovidi.doc
#
09.09.2019262.14 Кб2TsP_ispit (1).doc
#
01.07.20251.25 Mб0ts_tier_2_012010.doc
#
16.11.20192.28 Mб21TV1.doc
#
19.03.2015524.56 Кб12TV1.PDF
#
15.08.2019117.76 Кб2Tема 14-1.doc
#
15.08.2019353.28 Кб34Tема 19.doc
#
15.08.2019193.02 Кб5Tема 20.doc
#
15.08.2019209.41 Кб11Tема 20іф_гг.doc
#
15.08.2019171.52 Кб49Tема 21.doc