TV1

рівність :

рівномірно обмежує всі дисперсії, тобто Dξ i

≤ c,

i , тоді має місце

lim P

ε

ξ 1 +

...+

ξ n −

Mξ 1 +

...+

Mξ n

≥

= 0,ε

>

0

n

n

n→ ∞

◄ Розглянемо в.в. ζ n = ξ 1 +

... +

ξ n . Тоді за нерівністю Чебишева маємо

n

P

1 ζ

−

1 Mζ

≥ ε

= P{

ζ

− Mζ

≥ nε} ≤

Dζ n

=

∑Dξ i

≤

nc

=

c

→ 0 ►

i= 1

n

n

n

n

2

2

2

2

2

n

n

2

2

n→ ∞

n

ε

n

ε

n

ε

nε

Dξ

= σ

2 ,i =

P

1

n

ξ

− a

≥ ε

→ 0

i

1, n

i

∑

n→ ∞

n i= 1

Теорема. Нехай µn

- число успіхів при n випробуваннях в схемі Бернуллі з ймовірністю

успіху 0 <

p < 1, тоді lim P

µn

−

p

≥ ε = 0 (1).

n→ ∞

n

◄Введемо випадкові величини ξ i = 1, p

p

, що описують результат i -го випробування в

0,1−

n

+∞

Генератрисою в.в. ξ будемо називати функцію ϕ ξ (s) = Msξ

= ∑sn pn

n= 0

(даний ряд збігається при

s

≤ 1 ).

генератрисою.

Приклад. Нехай ξ

- в.в., що має розподіл Пуассона ξ ~ P(λ ), тобто

P{ξ = k} = λk e− λ

,k =

0,1,...(λ >

0) . Знайдемо його генератрису :

k!

+∞

k

e

−

λ

+∞

(λs)

k

ϕ ξ (s) = ∑ sk λ

= e− λ ∑

= e− λ eλs = e− λ (1− s)

k!

k!

k= 0

k= 0

+∞

+∞

і ми отримаємо ϕ ξ(r ) (1) = ∑n[r] pn

, то тоді ϕ ξ(r ) (1) = limϕ ξ

(r ) (s) =

∑n[r] pn , границі може / ,

n= 0

s→ 1−

n= 0

і ліва та права частини можуть бути рівні ∞ .►

Приклад. Mξ [1] = Mξ

= ϕ ′(1) , Mξ

=

λ .

ξ

ϕ ξ′(1) = (e− λ (1− s) )′=

λe− λ (1− s) |s= 1 =

λ .

Позначимо розподіл цього вектора через pα =

P{ξ = α },α

= (α 1 ,...,α n ) .

Багатовимірною генератрисою випадкового вектора ξ наз.

ϕ ξ (s1 ,..., s1 ) =

Ms1ξ 1 ...snξ n

=

∑sα pα

, sα =

s1α 1 ...snα n .

α

З її допомогою можуть бути обчисленні змішані моменти

Mξ [r1]

...ξ [rn ] =

∂r1+ ...+

rn

ϕ

ξ

(s ...s

n

)

.

r

r

1

n

∂s

1

...∂s

n

1

1

1

s1=

...= sn = 1

Теорема Якщо ξ 1 ,...,ξ n незалежні цілочисельні в. в., та ϕ ξ k

(s) - їх генератриси, то

ϕ ξ 1 + ...+ ξ n (s) =

∏n

ϕ ξ k (s) .

k = 1

◄ϕ ξ1+

...+ ξ n (s) =

Msξ1+ ...+ ξ n

=

Msξ1 ...sξ n

= ∏n

Msξ k = ∏n

ϕ ξ k (s) ►

k= 1

k= 1

n

Наслідок Якщо ξ k ,k =

1, n незалежні однаково розподілені в. в., то ϕ ξ 1 ...ξ n (s) = ϕ

(s) .

ξ 1

Теорема Генератриса в. в. ζ ν

має таку властивість : ϕ ζ ν (s) =

ϕ ν (ϕ ξ (s)) .

◄ϕ

ζ

ν =

+∞

n

P{

ζ ν = n}

+∞

n +∞

= m} {P ν = } m

=

ζ ν (s) = Ms

∑ s

= ∑s

∑ P{ ζ ν = n /ν

n= 0

n= 0

m= 0

+∞

n

+∞

m}

=

+∞

+∞

n

= ∑s

∑P{ζ m = n} P{ ν =

∑

∑s {P ζ m =} n{ P ν }= m =

n= 0

m= 0

m= 0

n= 0

+ ∞

+

∞

= ∑{Msξ 1 + ...+

ξ m} P{ν =

m}

=

∑ϕ ζm (s)P{

ν =

m}

=

ϕ ν (s)

s= ϕ ξ

(s) ►

m=

0

m= 0

Задачі.

0, p

1.Нехай ξ i =

p

, знайти генератрису ζ ν

= ξ 1 + ...+

ξ ν ,ν ~ P(λ ) .

1,1−

(s)) , з прикладу1 випливає ϕ ν (s)

=

e−

λ (1− s) (1).

◄ З теореми випливає ϕ ζ ν

(s) =

ϕ ν (ϕ ξ i

Знайдемо ϕ ξ i (s) . Маємо ϕ ξ i

(s) =

1

∑si pi

=

s0 p + s1(1 −

p) = p +

s − sp . Підставимо це в (1),

i = 0

отримаємо: ϕ ζ ν

(s) =

e−

λ (1−

s− p+

sp))

=

e−

λ (1−

s)(1− p) .►

2.Виписати формулу для дисперсії через генератрису в. в.

◄ Знаємо, що Dξ

=

Mξ 2 −

(Mξ )2 ,ϕ ξ (s) =

Msξ .Скористаємося факторіальними моментами

. З прикладу 2

Mξ [1]

=

Mξ

=

ϕ

′(1) .так як Mξ [2] = M (ξ 2 − ξ ) =

Mξ 2 −

Mξ

, з іншого боку

ξ

′

′

′

Mξ

[2]

=

ϕ ξ′(1) . Звідси

Mξ

2

=

ϕ

Mξ

=

ξ

(1) +

ϕ ξ (1) +

ϕ ξ (1) . Отже

Dξ

= Mξ 2 −

(Mξ )2

=

ϕ

′(1) +

ϕ ′(1) −

(ϕ

′(1))2

.►

ξ

ξ

ξ

1.Послідовність розподілів { p k( n )}

k+∞

=

0

збігається до розподілу { p k}

k+∞ = 0

,

∞

якщо lim pk(n) =

pk

(*) і

∑ pk(n)

=

1,

pk ≥ 0

n→ ∞

k = 0

2.Послідовність в.в.ξ n

слабо збігається до випадкової величини ξ ,

сл

якщо слабо збігаються відповідні закони розподілу. Позначається

ξ

n

ξ

Нехайϕ n (s)

+∞

= ∑sk pk(n)

,

n =

1,2,K– послідовність генератрис розподілів

p k( n )

,

k =

0

+∞

ϕ (s) = ∑sk pk .

k = 0

Теорема Для того щоб

k

lim p(n) =

p

k

(*) необхідно і достатньо, щоб

0 ≤

s < 1 мала

місце збіжність limϕ n (s)

n

→ ∞

k

=

ϕ ( s)

n→ ∞

ϕ n (s) − ϕ ( s)

+∞

◄ (Необхідність) Нехай (*) , ε

>

0 ,

0 ≤

s <

1 , тоді

≤ ∑

pk(n)

−

pk

sk

=

M

M

M

k = 0

s

M

− 1

+∞

− 1

+∞

− 1

= ∑

pk(n) − pk

sk +

∑

pk(n) − pk

sk ≤ ∑

pk(n) − pk

sk + ∑sk =

∑

pk(n) − pk

sk +

< ε

1 −

s

k = 0

k = M

≤ 1

k = 0

k = 0

k = 0

s

M