TV1

A ∩ B = 0 , тоді частота h ( A U B) =

nAUB

=

nA + nB

= h ( A) +

h (B)

n

n

n

n

n

Приклад. Підкидаємо гральні кубики (6 граней). Тоді ω i = i,i =

1,6

- елементарні, або

нескладні події. Елементарні події об'єднаємо в множину Ω =

{ω i =

i,i =

}-

1,6

простір елементарних подій. Нехай А – подія, що полягає у випаданні парної

кількості точок. Тоді A = {ω 2 ,ω

4 ,ω 6}

- є множиною сприятливих події.

Приклад. Підкидаємо монету двічі. Тоді простір елементарних подій

Ω

= { ЦЦ, ГЦ, ЦГ, ГГ}

, а деяка окрема подія , наприклад така, що полягає у випаданні

принаймні одного герба - B =

{ ГЦ, ЦГ, ГГ} .

Обєднання усіх елементарних множин Ω - простір елементарних подій.

Будь-яку підмножину

A Ω

називатимемо складною подією.

Нехай Ω

= {ω 1 ,ω 2 ,...,ω

n}

, тобто містить скінчену кількість елементів. Тоді візьмемо n

n

чисел,

p1 , p2 ,..., pn : pi

≥

0,i =

,∑ pi = 1

1, n

i= 1

k

На множині подій визначимо функцію ймовірності Р(·), так, що

A Ω

P( A) = ∑ pij , -

j= 1

де подія А складається з елементарних подій ω i1 ,...,ω ik .

- неможлива подія. (подія, ймовірність появи якої нуль), тобто така, що P( ) = 0 .

Властивості ймовірності.

1.

P(Ω

) =

1 - ймовірність достовірної події рівна одиниці.

2.

A

Ω

: 0 ≤

P( A) ≤

1 - ймовірність завжди в певних межах.

3.

P( A U B) =

P( A) + P(B) , A I B =

- адитивність ймовірності для несумісних множин.

4.ω 1 =

Ω 1 : P(ω 1 ) = p1

- ймовірність елементарної події.

Нехай

p

= p

2

= ... = p

n

=

1 , тобто всі події є рівноможливими.

1

n

(B,ζ , P(/ B)) , де ζ B =

{A: A

ζ , A

B} . Перевіримо виконання аксіом. Дійсно

1) P(/ B) ≥

0

2) P(Ω / B) =

P(Ω I B)

=

P(B)

= 1

P(B)

P(B)

∞

∞

3) P( UAn / B) = ∑P( An / B), Ai I Aj = .

n= 1

n= 1

Бачимо, що аксіоми виконуються.

Запишемо деякі формули, які іноді формулюють як теореми.

P( A ∩ B) =

P( A/ B) P( B)

– формула добутку (теорема добутку).

P( A/ B) =

P( A ∩ B)

.

P(B)

Цю формулу можна розповсюдити на випадок багатьох подій :

P(A1 ∩ A2 ∩ ...An ) = P(

A1) P

A2

A3

An

P

A

A ∩

A

...P

A ∩

A ...

∩

A

1

1

2

1

2 I

n− 1

Події А та В називатимемо незалежними, якщо P( AB) = P( A) P(

B)

Приклад

A I B

А : точка, яка потрапить у квадрат, буде мати абсцису,

1

що

більша за a .

b

B : точка буде мати ординату, що більша b .

P( A ∩ B) = (1− a)( 1− b) = P(

A) (P )B

ймовірність одночасного настання подій P(Bi1 ∩ ...∩ Bin ) = ∏r

P(Bik )

k = 1

P(B) =

P( B ∩ Ω )

=

n

=

n

=

n

B ∩ H)i . Звідси отримуємо.

P B ∩

UHi

P U( B ∩ H)i

∑P(

i= 1

i= 1

i= 1

P(B)

n

Формула повної ймовірності.

= ∑P( B ∩ Hi)

i= 1

H1

– перший студент витягне щасливий білет

H2

– перший студент витягне не щасливий білет

B –

студент, який іде другим на іспит, витягне щасливий білет

P(H1)

=

n

; P(H2 ) =

N − n

- ймовірності гіпотез. Розглянемо подію B .

N

N

n − 1

n

n

N − n

n

P(B) = P( B / H ) P( H) + P( B / H) (P H)

2

. P(B) =

+

=

►

1

1

2

N − 1 N

N − 1 N

N

Формула Байеса

Є повна група гіпотез H1,…,Hn . Знайдемо ймов окремої гіпотези, за умови, що сталася

подія В : P(Hi / B) =

P(Hi ∩

B)

=

P(B / Hi )P(Hi )

.

P(B)

n

∑ P(B / H j )P(H j

)

j= 1

P(Hi

/ B) =

P(B / Hi )P(Hi )

- формула Байеса

n

∑ P(B / H j )P(H j )

j= 1

P(H1) =

1

;

P(H2 )

=

k

. Нехай В – бракований виріб. Тоді

1

+

k

k

+

1

k

p2

k p2

1

P(H1 / B) =

1+ k

=

=

.

1

k

p1

+

k p2

p2

p1 +

p2

1+

k

1+

k

Дискретні випадкові величини.

Розглянемо імовірнісний простір (Ω ,U , P) , Ω

=

{ω 1 ,...,ω n ,...} – дискретна множина,

U –σ - алгебра подій,

pi

– ймовірності елементарних подій.

Випадковою величиною назватимемо вимірну відносно P як міри дійсну функцію ξ (ω

)

на Ω

R {ω : ξ (ω )

< x}

Вимірність іншими словами :

x

U .

Нехай x1 <

x2 <

... – можливі значення в. в. ξ

. Ai = {ω

:ξ (ω ) = xi} .Оскільки xi – різні, то

події Ai ∩

Aj

=

, i ≠

j ., тобто є несумісними.

α = {A }+∞

- називається розбиттям, яке породжує випадкова величина в просторі

i i= 1

n

елементарних подій, якщо Ω =

UAi

{ ГГ, ЦГ, ГЦ, ЦЦ}

i= 1

Приклад. Ω

=

.ξ (u)

= 1,2,3

- де u – число гербів, що з’явились.

Розглянемо функцію

χ A (ω

)

1,ω

A

. Тоді вихідну в.в. можемо подати, як

=

+∞

0,ω

A

ξ (ω ) = ∑ xi χ Ai( ω )

i= 1

Схема випробувань Бернуллі

Нехай маємо Ω

= {ω :ω

=

(ω 1 ,...,ω n ), ω

i = 0 1} .U - алгебра усіх можливих підмножин.

Визначимо два числа

p0

≥

0 , p1 ≥

0

,

p0 + p1 =

1 , де p0 – ймовірність появи неуспіху,

p1

кожного з яких може бути або успіх “1”, або неуспіх “0”, з ймовірностями p1

та p0

відповідно.

p(ω ) = p( ω 1 ,..,ω n) = pω 1 pω 2 ...pω n . Нехай ξ (ω ) =

n

Оскільки ω i

- незалежні то

∑ω i .

ξ (ω

)

- може набувати значень від 1 до n .визначимо події :

i= 1

Ai =

{ω

: ξ (ω

) = i } = {ω : ω 1 +

...+ ω n = i }. Тоді можемо записати виіхдну в.в., як

F1 Теорія імовірності, перший семестр

n

ξ (ω ) = ∑iχ Ai( ω )

. Визначимо ймовіності P(ω )

= p1i p0n− i . Тоді очевидно, що

i= 0

P(ξ (ω ) = i) = Cni p1i p0n− i .

Позначивши p1 =

p, p0 = q отримуємо P(ξ = i) =

Cni pi qn− i . Цей розподіл називають

Закон розподілу визначається точками x1 < x2 < K< xn < K, та їх ймовірностями

pi =

P(ξ =

xi ) . i =

1,... .(інколи в літературі цю таблицю називають розподілом)

x1

x2

x3

…

p1

p2

p3

…

Приклади.

1. Вироджений розподіл Ia

Ia (B)

=

1,a

B

;

F(x) =

0, x ≤

a

a

0,a B

1, x >

3.

Геометричний розподіл Число неуспіхів до появи першого успіху в схемі Бернуллі.

P{ξ = k} =

(1−

p) pk , p

( 0,1) ,k = 0,1,...

4.

Розподіл Пуассона Pλ . Виникає як граничний до біноміального.

P{ξ = m} =

µ m

e

− µ

, µ >

0,m =

0,1,...

5.

m!

Гіпергеометричний Розподіл

Припустимо що в урні N – куль, серед них n білих та N − n - чорних

Навмання з урни витягнуті k куль. Нехай ξ - кількість білих куль серед

k витягнутих . Знайдемо розподіл величини ξ . Кількість взагалі можливих

наборів по k куль рівна CNk

; серед них мається Cnr CNk −− rn наборів які мають рівно

r - білих куль. Тому

P{ξ =

r} =

Cnr CNk −−

rn

(0 ≤ r ≤ min(n, k))

CNk

Властивості дисперсії:

1)

Dξ =

Mξ 2 − (Mξ ) 2 - вираз дисперсії через математичне сподівання.

Dξ = M(ξ − Mξ ) 2 = M(ξ 2 − 2ξ Mξ + Mξ 2 ) = Mξ 2 − 2(Mξ ) 2 + ( Mξ) 2 = Mξ 2 − ( Mξ) 2 Q

2)

Dξ ≥ 0 - невід’ємність.

3)

P{ξ =

C}

= 1

DC = 0 - дисперсія константи рівна 0.

4)

D Cξ

=

C2 Dξ

- константа виноситься з квадратом.

5)

D(ξ +

C) = Dξ

- зсув в.в. не змінює її дисперсію.

Нехай (Ω , U,P)

ймовірнісний простір, ξ 1 ,ξ 2 ,...,ξ n

- в.в., ξ (w) = (ξ 1( w) ,ξ 2(

w) ,...,ξ (n

w) )

-

випадковий вектор з компонентами, що є випадковими величинами.

n

-вимірний закон розподілу для величин ξ 1 ,ξ 2 ,...,ξ n – це ймовірність виду

P{ξ

B}

= P{(ξ(1 w) ,ξ(2 )w ,...,ξ(n )w )

B} ,

яка розглядається, як функція деякої підмножини n -вимірного евклідового простору

Позначення: P{ξ 1 = x1 j

,ξ 2 = x2 j

2

,...,ξ n

= xn j

} =

Pj

, j

,..., j

n

1

∑Pj1 , j2 ,..., jn

n

1

2

Очевидно, що Pj1 , j2 ,..., jn

≥

0 , та

= 1

Нехай: (x1 j

)

j1 , j2 ,..., jn

, x2 j

2

,..., xn j

n

- вектор значеннь в.в.ξ 1 ,ξ 2 ,...,ξ n .

1

По n -вимірному закону розподілу ВВ завжди можна знайти одновимірний.

P{ξ i =

xji } =

∑Pj1, j2 ,..., jn - маргінальний розподіл.

j1,.., ji− 1, ji+ 1,.., jn

Закон розподілу не визначає повністю усіх випадкових величин . Нехай

ξ 1 X1 ,ξ 2

X2 ,...,ξ n

Xn , тоді

Ω =

X1× X2 × ...× Xn

, та U = {A | A Ω } , де

p(w) =

Pj

, j

,..., j

. Тоді (Ω

ξ , Uξ , Pξ

)

- вибірковий простір для сукупності з n в.в. ξ i (wj

) = xij

,

ξ (w) : Ω

1

2

n

i

ξ

→ Ω

ξ

Незалежні випадкові величини

В.в. ξ 1 ,ξ 2 ,...,ξ n

– незалежні, якщо для будь-якого набору їх значень (x1 j

, x2 j

,..., xn j

n

)

1

2

виконується P{ξ 1 = x1 j1

,ξ 2 = x2 j2

,...,ξ n

= xn jn} =