Матан

f(x1; x2) =

(exp³¡³x2

´

¡

³x1

´

´; (x1; x2) 6= (0; 0);

x1

2

x2

2

0;

(x1; x2) = (0; 0)

f(x1; x2; : : : ; xm) =

³k=1 xk2´®; (x1; x2; : : : ; xm) 2 Rm

m

X

ªop¨câo¢ãîç¨ ¤ocâaâ-i ã¬o¢¨ ¤¨äepe-æi¨ýo¢-ocâi:

1) f(x1; x2) =

p1

2

(x1; x2) 2 R2;

~x± = (2; 1);

3

x12 ¡ x22

;

2) f(x1; x2) =

x

+ 2x

;

x2 6= ¡2x1;

~x± = (1; 0);

2x1 + x2

3) f(x1; x2) = (sin x1)x2

2;

0 < x1 < ¼2;

~x± = ³

2 ; 2´;

¼

4) f(x1; x2) = ln(x1 + x2);

x1

> ¡x2;

~x± = (e; 0);

p

p

x1x2

5) f(x1

; x2) = arcsin

;

(x1; x2) 6= (0; 0);

~x± = (

2;

2);

x2

+ x2

6) f(x1

1

2

> ¡e¡2x1 ; ¼~x± = ³2; 3 ´;

; x2) = 1 + x2e2x1 ; x2

x1

¼

~x± = ³2;

´;

7) f(x1

; x2) = x2cos x1 ;

x2 > 0;

3

¼

8) f(x1

; x2) = tg (x1

¡

x2) + ctg (x1 + x2);

f

x1

; x2

g ½

0;

;

¼

¼

³

2

´

~x± = ³

;

´;

4

3

61

9) f(x1; x2) = arctg (x12

+ 2x22); (x1

; x2) 2 R2;

~x± =

³0; p2

´;

1

; x2) = ln ctg x1

; x1 6= 0; 0

< x1

2 ;

³2; 2

10) f(x1

<

~x± =

´:

x2

x2

¼

¼

1) f(x1; x2) = x1x23 ¡ 3x12x22 + 2x24; (x1; x2) 2 R2;

2) f(x1

; x2) = 3

x1 + x22

; x1 > 0;

p

3) f(x1; x2) = pln x1x2; x1x2 > 1;

4) f(x1; x2) = ln(x13 + 2x23 ¡ x33);

x13 + 2x23 ¡ x33 > 0;

5) f(x1

; x2; x3) = xx2x3 ; x1 > 0;

1

6) f(x1; x2; x3) =

x3

;

(x1; x2) 6= (0; 0);

x12 + x22

j

3 ¡

1 j

7) f(x1; x2; x3) = sin(x1

x21 + x2

¡

3

¡

1

¢

< ¼=2;

x )+cos tg (x

x ) ;

x

x

8) f(x1; x2; x3) = arctg

;

x2x3 6= 1;

1 ¡ x2x3

9) f(x1; x2; x3) =

x1x2x3

;

j x1 j <

¼

;

ex3 cos2 x1

2

10) f(x1; x2; x3) = arcsin (x1 ¡ x2x3);

xk 2 (0; 1); 1 · k · 3:

I3.

‡a¬i-îîç¨ ¯p¨picâ äã-ªæi³Ä ¤¨äepe-æia«o¬, -a¡«¨¦e-o o¡ç¨-

c«¨â¨ ¢¨pa§¨:

p3

+ p4

1)

1; 023 + 1; 973

;

1);

2)

ln(

03

0; 98

¡

sin 29

tg 46

;

1; 2

3

2

± ¢

±

4) (2; 003)

¢ (3; 998)

¢2(1; 002) ;

3) p

1; 03

5) 0; 971;05;

6) p3; 982 + 3; 012;

7)

;

3 0; 98 4

1; 053

q

1; 02 + 1; 01

8) 1; 042;02;

9)

cos 61±

¢

ctg 44±;

10) arctg

p

:

1 + 1; 02

¢

1; 01

I4. ‡-a¨ý⨠¤¨äepe-æia« ¯op浪ã n -acâã¯-¨x äã-ªæi¨ý:

1) f(x1; x2) = x13 + x23 ¡3x1x2(x1 ¡x2); (x1; x2) 2 R2; n = 3;

2) f(x1; x2) = sin(x12 + x22);

(x1; x2) 2 R2;

n = 3;

62

3) f(x1; x2) = ln(x1 + x2);

x1 > ¡x2;

n = 10;

4) f(x1; x2) = cos x1 ¢ ch x2;

(x1; x2) 2 R2; n = 6;

5) f(x1; x2) = eax1+bx2 ; (x1; x2) 2 R2; a; b { äiªco¢a-i ¤i¨ýc-i

ç¨c«a; n = 5;

6) f(x1; x2) = tg x1 ¢ ctg x2;

0 < xk < ¼2 ; k = 1; 2; n = 3;

1

7) f(x1; x2; x3) =

; xk > 0; 1 · k · 3;

1 + x1 + x2 + x3

n = 7;

8) f(x1; x2; x3) = exp(ax1+bx2+cx3);

(x1; x2; x3) 2 R3; a; b; c -

äiªco¢a-i ¤i¨ýc-i ç¨c«a; n = 8;

´

³

6

3

9) f(x1; x2; x3) = ln x1x1 x2x2 x3x3 ; xk > 0; 1 · k · 3; n = 4;

10) f(x1; x2; x3) = (x1x2x3) ;

(x1; x2; x3) 2 R ; n = 18:

x4

x3

(x2 + x3) x2x2x3

1) f(x1; x2; x3) =

1

¡

1

+

1

+ g(x2 ¡ x1; x3 ¡ x1);

12

6

2

(x1; x2; x3) 2 R3;

f10 + f20 + f30

= x1x2x3;

2) f(x1; x2; x3) = x3

ln x1 + x1g³x1 ;

x1

´; x1 > 0; x3 6= 0;

x1x2

x2

x3

63

1) f(x1

; x2) = g(

x12 + x22

); (x1; x2) 6= (0; 0);

2) f(x

; x ) = g(x1

+ x2) + h(x1

x2); (x1; x2) R2:

1

2

p

¡

2

¤pã£o£o ¯op浪i¢ -acâã¯-¨x cª«a¤-¨x äã-ªæi¨ý:

1) f(x1; x2

; x3) = g³x1x2

; x3

´; x3 6= 0;

x2

¤¨äepe-æia«a, §-a¨ý⨠¤¨äepe-æia« cª«a¤-xo³Ä1 äã-ªæi³Ä

f(x1; x2) = y1 sin y2 + y2 cos y1; ¤e y1 =

; y2 = x1x2; x2 6= 0:

x2

„1. ‡-a¨ýâ¨

¤¢ ç

¤¨ä

epe

-æ ¨ý¢-ã äã-ªæ î

2

é

§

¤

2i i

i o

i

f : R ! R; o

a o-

¢o«ì-ïõ -a R pi¢-ï--î

= cos x2

f2200

âa ã¬o¢a¬ f(x1; 0) = 0; f20(x1; 0) = x12; x1 2 R:

³x22

´

6

2) f(x1; x2) = x1h

x1

; x2 = 0;

3) f(x1; x2) = h(x1) + u(x2); (x1; x2) 2 R2;

4) f(x1; x2) = x1h³x2

´ + x2u³x2

´; x2 6= 0;

x1

x1

5) f(x1; x2) = h(x1 ¢ x2) + u³x2 ´; x2 6= 0;

x1

6) f(x1; x2; x3) = g(x1 ¡ x2; x2 ¡ x3); (x1; x2; x3) 2 R3;

7) f(x1; x2; x3) = g³x2

; x3

´; x2x3 6= 0;

x1

x2

pa«ì-e ç¨1c«o.

´

6

1

³x1

x1

8) f(x ; x2; x3) = xkg

x3

;

x2

; x1 = 0; k { äiªco¢a-e -aâã-

I2. Hexa¨ýäã-ªæi³Ä g

: R ! R;

h : R2 ! R; u : R3 ! R ¤¢içi

¤¨äepe-æi¨ýo¢-i -a ¬-o¦¨-ax ¢¨§-açe--ï.

‡-a¨ý⨠¤¨äepe-æia«¨

¯epèo£o âa ¤pã£o£o ¯op浪i¢ -acâã¯-¨x cª«a¤-¨x äã-ªæi¨ý:

1) f(x1; x2) = g(

);

(x1; x2) 2 R2nf(0; 0)g;

x12 + 2x22

g(x

x x );

(x

; x ; x

3

)

2

R3;

2) f(x1; x2; x3) =p

1

¢ 2 ¢ 3

1

2

3) f(x1; x2; x3) = g(x12 ¡ x22 + x32); (x1; x2; x3) 2 R3;

4) f(x1

; x2) = h(x1 + x2; x1 ¡ x2); (x1; x2) 2 R2;

³

x22 ´

6

5) f(x1

; x2) = h x2x2;

x1

; x2 = 0;

1

6) f(x1; x2; x3) = h(x1 ¡ x2; x3); (x1; x2; x3) 2 R3;

7) f(x) = u(x; x2; x3); x 2 R;

8) f(x1

; x2) = u³x2 ; x1 ¡ x2; x1 + x2´; x2 6= 0;

x1

9) f(x1; x2; x3) = u(ax1; bx2; cx3); (x1; x2; x3) 2 R3; a; b; c {

äiªco¢a-i ¤i¨ýc-i ç¨c«a;

10) f(x1; x2) = u(x1x2; sin x2; x1 + x3);

(x1; x2; x3) 2 R3:

1) f(x) = y1y2arctg (y1y2);

y1 = x2 + 1; y2 = x3; x 2 R;

y3

2) f(x1; x2) = y1y2 +y2y1 ; y1 = x12+x22; y2 = x12¡x22; x1 > x2 > 0;

= ln x2; 0 < x1

< x2;

x2

p 2 ¡

1

3) f(x1

; x2) = y12y23y34; y1

= arcsin x1 ; y2 =

x2

x2

;

4) f(x1

; x2; x3) = ln(1 + y12y2); y1 = x1 + x2 + x3

;

y2 = x12 + x22 + x32; (x1; x2; x2) 2 R3;

5) f(x1

x ) = y

y

2 + sin y1

¢ cos y2; y1 = x1 sin x2

;

2

;

;2 2

1

y2 = x2

(x1; x2) 2 R ;

8) f(x1; x2) = y12 ln y2; y1 =

x1

= 3x1 ¡2x2; 0 < x2 <

3x1

;

; y2

x2

2

3

+ 2y2

y

¡1

p

³y1

¡

2´; y1

9) f(x) = tg

¼

1

= x

; y2 = x; x > 0;

3x + 2x¡2

¡

px 62

+ k¼ j k 2 Z ;

2

ny1y2

;

y1

2

o

2

y2 = e

x1x2

2

:

10) f(x1; x2) = e

= x1

¡ x2;

; (x1; x2) 2 R

-ïîâì æìo¬ã pi¢-ï--î ?

¢) Cªi«ìª¨ ¤¨äepe-æi¨ýo¢-¨x äã-ªæi¨ýy = y(x);

x 2 R §a-

¤o¢o«ì-ïîâì æìo¬ã pi¢-ï--î ?

£) Cªi«ìª¨ -e¯epep¢-¨x äã-ªæi¨ýy = y(x); x 2 R §a¤o¢o«ì-

-ïîâì æìo¬ã pi¢-ï--î ¢ ªo¦-o¬ã § -acâã¯-¨x ¢¨¯a¤ªi¢:

1) y(1) = 1;

2) y(0) = 0 ?

2

³

2

2

´

¤o¢o«ì-ïîâì æìo¬ã pi¢-ï--î, ïªéo y(1) = 1 ?

¤) Cªi«ìª¨ -e¯epep¢-¨x äã-ªæi¨ýy = y(x); x

1

;

3

§a-

C2. Hexa¨ýäã-ªæiï y : R2 ! R ¯p¨ äiªco¢a-o¬ã a 2 R §a¤o¢o«ì-ïõ

pi¢-ï--î

(x1; x2) 2 R2:

y3 ¡ 3x1x2y = a3;

i

y :2B ! 2 ¡

¢

C3. Hexa¨ýB = B (1; ¡2); r

{ ¤e直¨ýoªi« âo窨 (1; ¡2) 2 R2:

”ã-ªæ ï

R §a¤o¢o«ì-ïõ pi¢-ï--î

x1 + 2x2 + 3y + x1x2 ¡ y ¡ 9 = 0; (x1; x2) 2 B

C4. Hexa¨ýäã-ªæiï f2: R2

! R ¬aõ

2-e¯epep¢-i çacâ¨--i ¯oxi¤-i

¤pã£o£o ¯op浪ã -a R ; äã-ªæiï y : R

!

R §a¤o¢o«ì-ïõ pi¢-ï--î

2

2

2

f(x1 + x2 + y; x1

+ x2 + y

) = 0; (x1; x2) 2 R:

‡-a¨ý⨠y1200 :

B 15

6)

sin(xy) ¡ exy ¡ x2y = 0;

7)

ln

= arctg

y

;

8) xy = y2x;

x2

+ y2

yp

x

xy

x

y

9) xe

+ ye

¡ e

= 0;

10) y = 2x arctg

:

x

2

2

2

2

+ x ¡ y ¡ 1 = 0;

1) x

2+ xyy+ y

= 3;

2) x2

¡ xy + 2y2

3) yxx = ey ;

4) x2

xy + y

¡

4x + 2y

¡

2 = 0;

+ 22

5) ye + e = 0;

6) x

+ y

¡ 4x ¡ 10y + 4 = 0;

dx3 ¡(y00)¡2=3¢

= 0:

d3

3) x1 + x2 + y = ey;

y

4) y = x2

x2

tg

;

q

¡

2

¢

p

x12

¡

x22

1