Choliy.NumericaMethods.2011Dec01

7. Iнтерполяцiя

У цьому роздiлi розглядається задача iнтерполяцiї, тобто обчислення значень функцiї, заданої таблично, мiж табличними моментами.

Формула Лагранжа. Нехай таблиця складається з n + 1 точок (xi, yi), i = 0, . . . , n. Побудуємо полiном n-го степеня Ln(x), такий, що проходить через усi точки:

Ln(xi) = yi, i = 0, . . . , n.

Є кiлька способiв знаходження Ln(x). Один з них полягає у створеннi лiнiйної комбiнацiї значень функцiї в вузлах та полiномiв:

n

X

Ln(x) = pi(x)yi.

i=0

Полiноми можна вибирати по-рiзному, наприклад, pi(xi) = 1, pi(xj) = 0. Цi полiноми побудувати нескладно:

pi(x) = Ci(x − x0)(x − x1) . . . (x − xi−1)(x − xi+1) . . . (x − xn).

Оскiльки pi(xi) = 1, то

1

Ci = (xi − x0)(xi − x1) . . . (xi − xi−1)(xi − xi+1) . . . (xi − xn).

Отриманий полiном є iнтерполяцiйним полiномом Лагранжа. Для нього є iнше представлення. Щоб його отримати введемо позначення:

Π(x) = (x − x0)(x − x1)(x − x2) . . . (x − xn).

Продиференцiювавши по x маємо:

Π0(x) = (x − x1)(x − x2)(x − x3) . . . (x − xn)+

=(x − x0)(x − x2)(x − x3) . . . (x − xn)+

. . .

= (x − x0)(x − x1)(x − x2) . . . (x − xn−1) =

61

+(x − x0)(x − x1)(x − x2) . . . (x − xn−1)x − xn . x − xn

У кожному з доданкiв записаної суми, окрiм i-го, є множник (x − xi), тому, якщо шукати Π0(xi), всi цi доданки (окрiм i-го) обернуться в нуль, а i-й буде рiвен:

Π0(xi) = (xi − x0)(xi − x1)(xi − x2) . . . (xi − xi−1)(xi − xi+1) . . . (xi − xn),

тому

Рiзницю мiж справжнiми та iнтерпольованими значеннями називаємо залишком:

Rn(x) = f(x) − Ln(x).

Модуль залишку є похибкою iнтерполяцiї. Будемо вважати, що функцiя f(x) має похiднi аж до (n + 1) порядку. Розглянемо вираз:

u(x) = f(x) − Ln(x) − kΠ(x).

Ця функцiя має коренi у всiх точках x0, x1, . . . , xn оскiльки f(xi)−Ln(xi) = 0, i Π(xi) = 0. Виберемо ще одну точку x¯ так, щоб вона теж була коренем u(x):

u(¯x) = f(¯x) − Ln(¯x) − kΠ(¯x) = 0.

У такому випадку:

k = f(¯x) − Ln(¯x). Π(¯x)

При вказаному виборi k функцiя u(x) має на iнтервалi [x0, xn] n+2 нулi в т.ч. в точцi x¯. За теоремою Ролля це означає, що u0(x) має на цьому ж iнтервалi

62

n+1 нуль. Якщо продовжити мiркування далi, то u(n+1)(x) має єдиний корiнь. Тобто, iснує така єдина точка ξ, для якої u(n+1)(ξ) = 0. Але ж L(nn+1)(x) = 0, бо це полiном n-го степеня, а Π(n+1) = (n + 1)!, бо це полiном степеня n + 1. В точцi ξ:

Положення точки ξ визначається умовою теореми Ролля, точку x¯ ми маємо змогу вибрати самi. У загальному випадку x¯ 6= ξ, тому перетворимо рiвнiсть у нерiвнiсть, замiнивши похiдну її максимумом, тодi у заключному виглядi:

|Rn(x)| = |f(¯x) − Ln(¯x)| ≤ max |f(n+1)(x)| max |Π(x)|. (n + 1)!

У наступному роздiлi детально розглянуто полiноми Чебишева. Один iз приведених там результатiв полягає в тому, що повнiстю нормованi полiноми Чебишева найменше зi всiх полiномiв одного i того ж степеня вiдхиляються вiд нуля. Це означає, що якщо вузлами iнтерполяцiї (коренями полiнома) будуть коренi полiнома Чебишева, то такий iнтерполяцiйний полiном матиме похибку, що не перевищує 1/2n−1, тобто

Формули Ньютона. Тепер iнтерполяцiйний полiном шукаємо в виглядi:

Pn(x) = a0 +a1(x−x0)+a2(x−x0)(x−x1)+· · ·+an(x−x0)(x−x1) . . . (x−xn).

Коефiцiєнти знаходимо пiдставляючи у це рiвняння по черзi послiдовнi точки:

63

Цю процедуру можна продовжити, очевидно, що

F ky0 ak = F kx0 .

Використане у формулах позначення F означає взяття рiзницi вперед (forward), тобто F yi = yi+1 − yi. Нехай x = x0 + qh, де h - крок, q = 0, 1, 2, . . . . Вирази для ai тепер можна переписати:

Iнтерполяцiйна формула Ньютона для iнтерполяцiї вперед має такий вигляд:

Pn(x) = y0 + qF y0 + q(q − 1)F 2y0 + q(q − 1)(q − 2)F 3y0 + . . . .

2! 3!

Якщо усе вищесказане використати, починаючи з останньої точки, а рiзницi брати назад, записуючи їх за допомогою оператора B (backward), Byi = yi − yi−1, то маємо ще одну iнтерполяцiйну формулу Ньютона для iнтерполяцiї назад:

Pn(x) = yn + qByn + q(q + 1)B2yn + q(q + 1)(q + 2)B3yn + . . . ,

2! 3!

для цiєї формули x = xn + qh, q = 0, −1, −2, . . . .

Зворотнє iнтерполювання. Зазвичай iнтерполяцiя це знаходження f(x), де x - значення не в вузлах решiтки. Однак, цю задачу можна розв’язувати i ”задом-наперед“, коли iнтерполяцiю здiйснюють так, що аргументом виступає f(x), а шуканою величиною - x. Тодi для знаходження кореня рiвняння f(x) = 0, можна iнтерполювати таблицю пiдготовлених f(xi) у точку f(xi) = 0. Знайдене значення x буде коренем рiвняння.

Iнтерполювання сплайнами. Сплайном називаємо гладку криву, що проходить через усi точки таблицi (xi, yi), i = 0, . . . , n. На кожнiй частинi [xi, xi+1] всього iнтервалу ця крива може задаватись рiзними формулами, але на їх кiнцях цi формули мають бути ”зшитi“, щоб утворена крива була гладкою. Побудуємо таку систему функцiй, вважаючи що на кожнiй дiлянцi це кубiчний полiном. Тодi матимемо кубiчний сплайн. Чому полiном саме кубiчний виясниться у процесi побудови.

64

Нехай y - лiнiйна функцiя, що проходить через точки (xi, yi) та (xi+1, yi+1):

Поступимо тепер аналогiчно, вважаючи, що друга похiдна y00 є лiнiйною функцiєю (це так саме для кубiчних полiномiв):

Пiдберемо сталi iнтегрування C, D так, щоб на кiнцях дiлянки [xi, xi+1] щойно отриманий полiном y(x) приймав нульовi значення. Це можна зробити, якщо скласти систему рiвнянь

65

Ранiше ми отримали вираз для лiнiйного полiнома y = Ayi + Byi+1, що проходить через кiнцевi точки дiлянки, а щойно - вираз для полiнома третього степеня, який на кiнцях дiлянки має нульовi значення. Сума цих полiномiв буде полiномом третього степеня, що проходить через кiнцевi точки дiлянки:

Два значення першої похiдної на межi двох сусiднiх дiлянок мають спiвпадати, таким чином в точцi xi:

Цей вираз є системою лiнiйних рiвнянь, що на кожнiй внутрiшнiй границi поєднує три послiдовнi значення другої похiдної. Додавши до цiєї системи граничнi умови - нульовi значення другої похiдної на x0 та xn, отримаємо сумiсну систему, з якої знаходимо значення другої похiдної в усiх внутрiшнiх точках iнтервалу. Для iнтерполяцiї використовуємо (7.2), причому усi yi наведенi у початковiй таблицi, а усi yi00 - знайденi як розв’язок системи. Система рiвнянь є тридiагональною, що дозволяє розв’язувати її методом прогонки.

66

Задачi. Для розв’язання задач цього роздiлу слiд користуватися нижче наведеними таблицями. У кожнiй з задач потрiбно виконати iнтерполяцiю сплайнами на вказаний момент значення з якоїсь iз перших чотирьох таблиць та будь-яким iншим методом значення для однiєї з чотирьох iнших таблиць. Крiм того, потрiбно розв’язати задане нелiнiйне рiвняння методом зворотньої iнтерполяцiї на вказаному iнтервалi та з вказаною точнiстю.

67

6. Таблиця 3, x = 0.95, таблиця 6, x = 0.8903.

13. Таблиця 3, x = 0.69, таблиця 5, x = 0.2074.

x2 − ctg (πx/3) = 0, ε = 10−5, a = 0.8, b = 0.9.

14. Таблиця 3, x = 0.98, таблиця 6, x = 0.8954. x2 − cos2 (πx) = 0, ε = 10−5, a = 0.3, b = 0.4.

15. Таблиця 4, x = 0.39, таблиця 7, x = 0.6157.

x2 − sin (πx) = 0, ε = 10−5, a = 0.75, b = 0.85.

16. Таблиця 4, x = 0.12, таблиця 8, x = 0.5439. tg 1.3x − 4x = 0, ε = 10−5, a = 0, b = π/2.

17. Таблиця 1, x = 0.44, таблиця 5, x = 0.2053. ctg 1.3x − 4x = 0, ε = 10−5, a = 0, b = π/2.

18. Таблиця 1, x = 0.47, таблиця 6, x = 0.8910. tg 1.7x − 3x = 0, ε = 10−5, a = 0, b = π/2.

19. Таблиця 2, x = 0.03, таблиця 7, x = 0.6105. ctg 1.7x − 3x = 0, ε = 10−5, a = 0, b = π/2.

20. Таблиця 2, x = 0.07, таблиця 8, x = 0.5406. x4 + 3x3 − 9x − 9 = 0, a = 1, b = 2.

21. Таблиця 3, x = 0.69, таблиця 5, x = 0.2083. x4 − 4x3 + 4x2 − 4 = 0, a = −1, b = 0.

22. Таблиця 3, x = 0.74, таблиця 6, x = 0.8963. x4 + 3x3 + 4x2 + x − 3 = 0, a = 0, b = 1.

23. Таблиця 4, x = 0.14, таблиця 7, x = 0.6164. x4 − 10x2 − 16x + 5 = 0, a = 0, b = 1.

24. Таблиця 4, x = 0.16, таблиця 8, x = 0.5446.

68

x4 − x3 − 9x2 + 10x − 10 = 0, a = −4, b = −3.

25. Таблиця 1, x = 0.64, таблиця 5, x = 0.2066. x4 − 6x2 + 12x − 8 = 0, a = 1, b = 2.

26. Таблиця 1, x = 0.65, таблиця 6, x = 0.8941. x4 − 3x2 + 4x − 3 = 0, a = −3, b = −2.

27. Таблиця 2, x = 0.21, таблиця 7, x = 0.6140. x4 − x3 − 7x2 − 8x − 6 = 0, a = 3, b = 4.

28. Таблиця 2, x = 0.22, таблиця 8, x = 0.5421. x4 − 3x3 + 3x2 − 3 = 0, a = 1, b = 2.

29. Таблиця 3, x = 0.87, таблиця 5, x = 0.2040. x4 − 7x3 + 17x2 − 17x + 6 = 0, a = 0.5, b = 1.5.

30. Таблиця 3, x = 0.79, таблиця 6, x = 0.8920.

x4 − 5x3 + 5x2 + 5x − 17 = 0, a = −0.5, b = −1.5.

31. Таблиця 4, x = 0.16, таблиця 7, x = 0.6140.

x4 − 8x3 + 23x2 − 28x + 12 = 0, a = 1.5, b = 2.5.

32. Таблиця 4, x = 0.28, таблиця 8, x = 0.5550.

x4 − 4x3 − x2 − 18x − 12 = 0, a = −1.5, b = −2.5.

69

8. Апроксимацiя та метод найменших

квадратiв

У цьому роздiлi розглядаються задачi апроксимацiї функцiй та метод найменших квадратiв. Полiноми Чебишева, що мають для цiєї задачi важливе значення, розглянутi окремо.

Полiноми Чебишева задаються так:

Tn(x) = cos (n arccos x), n ≥ 0.

Для них є рекурентне спiввiдношення

T0(x) = 1

T1(x) = x

. . .

Tn+1(x) = 2xTn(x) − Tn−1(x),

яке можна отримати, виходячи з формули для суми косинусiв:

cos ((n + 1) arccos x) = 2 cos (n arccos x) · arccos x − cos ((n − 1) arccos x).

70