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|
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Ʉɚɠɭɬɶ, ɳɨ ɿɬɟɪɚɰɿɣɧɢɣ ɦɟɬɨɞ ɦɚɽ ɫɬɟɩɿɧɶ ɡɛɿɠɧɨɫɬɿ m, ɹɤɳɨ |
|
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Ɂɧɚɱɢɬɶ ɫɬɟɩɿɧɶ ɡɛɿɠɧɨɫɬɿ ɦɟɬɨɞɭ ɇɶɸɬɨɧɚ m=2. Ⱦɥɹ ɦɟɬɨɞɭ ɩɪɨɫɬɨʀ ɿɬɟɪɚɰɿʀ ɿ
ɞɿɥɟɧɧɹ ɧɚɜɩɿɥ m=1. |
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x C2 a,b@ |
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f (x) f (x) |
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f (x) f |
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0 ɬɨ ɞɥɹ ɦɟɬɨɞɭ |
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x0 |
b ɩɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ |
ɧɚɛɥɢɠɟɧɶ |
xk ` |
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|||||||||||
(ɦɨɧɨɬɨɧɧɨ ɡɪɨɫɬɚɽ ɩɪɢ x0 |
a ). |
|
|
|
|
f (x) f cc(x) 0. |
|
|||||||||||
Ɂɚɞɚɱɚ 6 Ⱦɨɜɟɫɬɢ ɬɟɨɪɟɦɭ 2 ɩɪɢ ɚ) |
f (x) f |
(x) |
0, ɛ) |
|
||||||||||||||
Ɂɚɞɚɱɚ 7 Ɂɧɚɣɬɢ ɫɬɟɩɿɧɶ ɡɛɿɠɧɨɫɬɿ ɦɟɬɨɞɭ ɫɿɱɧɢɯ [Ʉɚɥɢɬɤɢɧ ɇ.ɇ., ɑɢɫɥɟɧɧɵɟ ɦɟɬɨɞɵ, ɫ. 145-146]
əɤɳɨ |
f (a) f cc(a) |
|
0 ɬɚ f |
(x) ɧɟ ɦɿɧɹɽ ɡɧɚɤ, ɬɨ ɩɨɬɪɿɛɧɨ ɜɢɛɢɪɚɬɢ |
|||
x0 a ; ɩɪɢ ɰɶɨɦɭ {xk }n |
|
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|
|
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x |
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əɤɳɨ |
f (b) f c(b) |
0 , ɬɨ x0 |
b; ɦɚɽɦɨ {xk }p |
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. ɉɨɹɫɧɟɧɧɹ ɧɚ ɪɢɫɭɧɤɭ |
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x |
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ɪ-ɤɪɚɬɧɢɣ ɤɨɪɿɧɶ ɬɨɛɬɨ |
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ɬɨ ɜ ɦɟɬɨɞɿ ɇɶɸɬɨɧɚ ɧɟɨɛɯɿɞɧɚ ɧɚɫɬɭɩɧɚ ɦɨɞɢɮɿɤɚɰɿɹ |
|
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ɦɨɠɧɚ |
ɡɚɫɬɨɫɨɜɭɜɚɬɢ ɿ |
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ɨɛɱɢɫɥɟɧɧɹ |
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ɤɨɪɟɧɹ |
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1 |
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ɤɨɦɩɥɟɤɫɧɨɝɨ ɱɢɫɥɚ. |
|
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||||||||
|
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ɦɟɬɨɞɭ |
|
|
|
ɇɶɸɬɨɧɚ: |
|
1) ɜɢɫɨɤɚ |
ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɡɛɿɠɧɨɫɬɿ; 2) |
||||||||||||||||||||||||||||
ɭɡɚɝɚɥɶɧɸɽɬɶɫɹ ɧɚ ɫɢɫɬɟɦɢ ɪɿɜɧɹɧɶ; 3) ɭɡɚɝɚɥɶɧɸɽɬɶɫɹ ɧɚ ɤɨɦɩɥɟɤɫɧɿ ɤɨɪɟɧɿ. ɇɟɞɨɥɿɤɢ ɦɟɬɨɞɭ ɇɶɸɬɨɧɚ: 1) ɧɚ ɤɨɠɧɿɣ ɿɬɟɪɚɰɿʀ ɨɛɱɢɫɥɸɽɬɶɫɹ ɧɟ
ɬɿɥɶɤɢ f (xk ), ɚ |
ɿ ɩɨɯɿɞɧɚ f (xk ); 2) ɡɛɿɠɧɿɫɬɶ ɡɚɥɟɠɢɬɶ |
ɜɿɞ ɩɨɱɚɬɤɨɜɨɝɨ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ɧɚɛɥɢɠɟɧɧɹ ɯ0, ɬɚɤ ɹɤ ɜɿɞ ɧɶɨɝɨ ɡɚɥɟɠɢɬɶ ɭɦɨɜɚ ɡɛɿɠɧɨɫɬɿ q |
|
M2 |
x0 |
x |
|
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|
|
|
|
|
1; |
||
|
|
|
|
|
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|
f (x) C2 >a,b@. |
|
2m1 |
|
|
|
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3) ɩɨɬɪɿɛɧɨ, ɳɨɛ |
|
|
|
|
|
|
|
3. Ɇɟɬɨɞɢ ɪɨɡɜ’ɹɡɚɧɧɹ ɫɢɫɬɟɦ ɥɿɧɿɣɧɢɯ ɚɥɝɟɛɪɚʀɱɧɢɯ ɪɿɜɧɹɧɶ (ɋɅȺɊ)
Ɇɟɬɨɞɢ ɪɨɡɜ’ɹɡɭɜɚɧɧɹ ɋɅ Ɋ ɩɨɞɿɥɹɸɬɶɫɹ ɧɚ ɩɪɹɦɿ ɬɚ ɿɬɟɪɚɰɿɣɧɿ. ɉɪɢ
ɭɦɨɜɿ ɬɨɱɧɨɝɨ ɜɢɤɨɧɚɧɧɹ ɨɛɱɢɫɥɟɧɶ ɩɪɹɦɿ ɦɟɬɨɞɢ ɡɚ ɫɤɿɧɱɟɧɭ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɨɩɟɪɚɰɿɣ ɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɿ ɞɚɸɬɶ ɬɨɱɧɢɣ ɪɨɡɜ’ɹɡɨɤ. ȼɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɬɶɫɹ ɜɨɧɢ ɞɥɹ ɧɟɜɟɥɢɤɢɯ ɬɚ ɫɟɪɟɞɧɿɯ ɋɅ Ɋ n=102-104. ȱɬɟɪɚɰɿɣɧɿ ɦɟɬɨɞɢ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɬɶɫɹ ɞɥɹ ɜɟɥɢɤɢɯ ɋɅ Ɋ n>105, ɹɤ ɩɪɚɜɢɥɨ ɪɨɡɪɿɞɠɟɧɢɯ. ȼ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɿ ɨɬɪɢɦɭɽɦɨ ɩɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ ɧɚɛɥɢɠɟɧɶ, ɹɤɚ ɡɛɿɝɚɽɬɶɫɹ ɞɨ ɪɨɡɜ’ɹɡɤɭ.
3.1. Ɇɟɬɨɞ Ƚɚɭɫɫɚ [ɋȽ, 49-67], [ȻɀɄ, 257-262] |
|
|
Ɋɨɡɝɥɹɧɟɦɨ ɡɚɞɚɱɭ ɪɨɡɜ‘ɹɡɚɧɧɹ ɋɅ |
Ɋ |
|
Ax& |
b , |
(1) |
13
ɩɪɢɱɨɦɭ A (aij )in, j 1,det A 0,x& (xi )in |
1,b (bj )nj |
|
1 . Ɇɟɬɨɞ Ʉɪɚɦɟɪɚ ɡ |
||||||
ɨɛɱɢɫɥɟɧɧɹɦ ɜɢɡɧɚɱɧɢɤɿɜ ɞɥɹ ɬɚɤɨʀ ɫɢɫɬɟɦɢ ɦɚɽ ɫɤɥɚɞɧɿɫɬɶ Q |
O(n!n). |
||||||||
Ɂɚɩɢɲɟɦɨ ɋɅ Ɋ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ |
|
|
|
|
|
|
|
||
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a11x1 a12 x2 a1n xn |
|
b1 |
|
a1n 1 |
(1’) |
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°a21x1 a22 x2 a2n xx |
b2 |
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|
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°an1x1 an2 x2 ann xn |
bn |
ann 1 |
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|||||
əɤɳɨ a11 0, ɬɨ ɞɿɥɢɦɨ ɩɟɪɲɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɧɚ ɧɶɨɝɨ ɿ ɜɢɤɥɸɱɚɽɦɨ x1 ɡ ɿɧɲɢɯ |
|||||||||
ɪɿɜɧɹɧɶ: |
° |
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|
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a2(1n) 1 |
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|
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° |
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ann(1) 1 |
|
|
|
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ɉɪɨɰɟɫ ɩɨɜɬɨɪɸɽɦɨ ɞɥɹ x2 ,..., xn . |
ȼ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɿ |
||
ɬɪɢɤɭɬɧɨɸ ɦɚɬɪɢɰɟɸ |
° |
a12(1) x2 |
a1(1n) xn |
|
|||
|
x1 |
||
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® |
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a2(2n) xn |
|
° |
x2 |
|
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° |
|
|
|
° |
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xn |
|
¯ |
|
|
ɨɬɪɢɦɭɽɦɨ
a1(1n) 1
a(2)
2n 1 .
a(n) nn 1
ɐɟ ɩɪɹɦɢɣ ɯɿɞ ɦɟɬɨɞɭ Ƚɚɭɫɫɚ. Ɏɨɪɦɭɥɢ ɩɪɹɦɨɝɨ ɯɨɞɭ |
||||||||||||||||
|
|
|
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|
|
|
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1: |
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|
|
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|||||||||||||||
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|
|
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|
|
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|
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° |
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|
|
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|
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1,n; j k 1,n 1. |
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Ɂɜɿɞɫɢ |
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ain(i) 1 |
¦aij(i) xj ,i |
|
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|
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|
|
|
|
ɫɢɫɬɟɦɭ ɡ
(2)
(3)
ɐɟ ɮɨɪɦɭɥɢ ɨɛɟɪɧɟɧɨɝɨ ɯɨɞɭ.
ɋɤɥɚɞɧɿɫɬɶ, ɬɨɛɬɨ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɨɩɟɪɚɰɿɣ, ɹɤɭ ɧɟɨɛɯɿɞɧɨ ɜɢɤɨɧɚɬɢ ɞɥɹ |
||
ɪɟɚɥɿɡɚɰɿʀ ɦɟɬɨɞɭ, - Qɩɪ |
2 |
n3 O(n2 ) ɞɥɹ ɩɪɹɦɨɝɨ ɯɨɞɭ, Qɨɛ n2 O(n) |
ɞɥɹ ɨɛɟɪɧɟɧɨɝɨ ɯɨɞɭ. |
3 |
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0 ɧɚɡɢɜɚɽɬɶɫɹ ɜɟɞɭɱɢɦ. |
|
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ȼɜɟɞɟɦɨ ɦɚɬɪɢɰɿ |
|
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ɟɥɟɦɟɧɬɢ ɹɤɨʀ ɨɛɱɢɫɥɸɽɬɶɫɹ ɬɚɤ: mkk |
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1 x |
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ɰɸ ɋɅ |
Ɋ ɡɥɿɜɚ |
ɧɚMk : |
||||||||||||||||
|
Mk Ak 1 x Mk bk 1 . ɉɨɡɧɚɱɢɦɨ |
Ak |
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M k Ak 1 ; |
|
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A . Ɍɨɞɿ ɩɪɹɦɢɣ ɯɿɞ ɦɟɬɨɞɭ |
|||||||||||||||||||
Ƚɚɭɫɫɚ ɦɨɠɧɚ ɡɚɩɢɫɚɬɢ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ |
|
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MnMn 1...M1 Ax |
|
MnMn 1...M1b . |
|
|
|
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ɉɨɡɧɚɱɢɦɨ ɨɫɬɚɧɧɸ ɫɢɫɬɟɦɭ, ɹɤɚ ɫɩɿɜɩɚɞɚɽ ɡ (2), ɬɚɤ |
|
|
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1...M1 A . ȼɜɟɞɟɦɨ ɦɚɬɪɢɰɿ |
|
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A L1...LnU LU; L L1...Ln
L- ɧɢɠɧɹ ɬɪɢɤɭɬɧɹ ɦɚɬɪɢɰɹ, U- ɜɟɪɯɧɹ ɬɪɢɤɭɬɧɹ ɦɚɬɪɢɰɹ. Ɍɚɤɢɦ ɱɢɧɨɦ ɦɟɬɨɞ Ƚɚɭɫɫɚ ɦɨɠɧɚ ɬɪɚɤɬɭɜɚɬɢ, ɹɤ ɪɨɡɤɥɚɞ ɦɚɬɪɢɰɿ Ⱥ ɜ ɞɨɛɭɬɨɤ ɞɜɨɯ ɬɪɢɤɭɬɧɢɯ ɦɚɬɪɢɰɶ - (LU) – ɪɨɡɤɥɚɞ
ȼɜɟɞɟɦɨ ɦɚɬɪɢɰɸ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ ɧɚ k -ɦɭ ɤɪɨɰɿ (ɰɟ ɦɚɬɪɢɰɹ, ɨɬɪɢɦɚɧɚ ɡ ɨɞɢɧɢɱɧɨʀ ɦɚɬɪɢɰɿ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɨɸ k - ɬɨɝɨ ɿ m- ɬɨɝɨ ɪɹɞɤɚ). Ɍɨɞɿ ɩɪɢ ɦɧɨɠɟɧɿ ɧɚ ɧɟʀ ɦɚɬɪɢɰɿ Ak 1 ɪɨɛɢɦɨ ɜɟɞɭɱɢɦ ɟɥɟɦɟɧɬɨɦ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɢɣ ɡɚ ɦɨɞɭɥɟɦ.
15
|
§ |
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Ɂɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɰɢɯ ɦɚɬɪɢɰɶ ɩɟɪɟɯɿɞ ɞɨ ɬɪɢɤɭɬɧɨʀ ɫɢɫɬɟɦɢ (3) ɬɟɩɟɪ ɦɚɽ ɜɢɝɥɹɞ:
MnMn 1Pn 1...M1P1Ax& MnMn 1Pn 1...M1P`1b .
Ɍɜɟɪɞɠɟɧɧɹ
Ɂɧɚɣɞɟɬɶɫɹ ɬɚɤɚ ɦɚɬɪɢɰɹ Ɋ - ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ, ɳɨ PA LU - ɪɨɡɤɥɚɞ ɦɚɬɪɢɰɿ ɧɚ
ɧɢɠɧɸ ɬɪɢɤɭɬɧɭ ɡ ɧɟɧɭɥɶɨɜɢɦɢ ɞɿɚɝɨɧɚɥɶɧɢɦɢ ɟɥɟɦɟɧɬɚɦɢ ɿ ɜɟɪɯɧɸ
bred!!! |
ɬɪɢɤɭɬɧɭ ɦɚɬɪɢɰɸ ɡ ɨɞɢɧɢɰɹɦɢ ɧɚ ɞɿɚɝɨɧɚɥɿ. |
|
|
|
ȼɢɫɧɨɜɤɢ ɩɪɨ ɩɟɪɟɜɚɝɢ ɬɪɢɤɭɬɧɨɝɨ ɪɨɡɤɥɚɞɭ: |
1.Ɋɨɡɞɿɥɟɧɧɹ ɩɪɹɦɨɝɨ ɿ ɨɛɟɪɧɟɧɨɝɨ ɯɨɞɿɜ ɞɚɽ ɡɦɨɝɭ ɟɤɨɧɨɦɧɨ ɪɨɡɜ‘ɹɡɭɜɚɬɢ ɞɟɤɿɥɶɤɚ ɫɢɫɬɟɦ ɡ ɨɞɧɨɤɨɜɨɸ ɦɚɬɪɢɰɟɸ ɬɚ ɪɿɡɧɢɦɢ ɩɪɚɜɢɦɢ ɱɚɫɬɢɧɚɦɢ.
i v chem + ??? 2. Ɂɛɟɪɿɝɚɧɧɹ M, ɚɛɨ L ɬɚ U ɧɚ ɦɿɫɰɿ Ⱥ.
3.Ɉɛɱɢɫɥɸɸɱɢ l - ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ, ɦɨɠɧɚ ɜɫɬɚɧɨɜɢɬɢ ɡɧɚɤ ɜɢɡɧɚɱɧɢɤɚ.
3.2.Ɇɟɬɨɞ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɯ ɤɨɪɟɧɿɜ [ɋȽ, 69-73], [ȻɀɄ, 262-263]
ɐɟɣ ɦɟɬɨɞ ɩɪɢɡɧɚɱɟɧɢɣ ɞɥɹ ɪɨɡɜ’ɹɡɚɧɧɹ ɫɢɫɬɟɦ ɪɿɜɧɹɧɶ ɿɡ
ɫɢɦɟɬɪɢɱɧɨɸ ɦɚɬɪɢɰɟɸ
|
|
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|
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|
|
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|
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(2) |
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S – ɜɟɪɯɧɹ ɬɪɢɤɭɬɧɚ ɦɚɬɪɢɰɹ, ST – ɧɢɠɧɹ ɬɪɢɤɭɬɧɚ ɦɚɬɪɢɰɹ, D – ɞɿɚɝɨɧɚɥɶɧɚ |
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ɦɚɬɪɢɰɹ. |
|
|
|
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|
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ȼɢɧɢɤɚɽ ɩɢɬɚɧɧɹ: ɹɤ ɨɛɱɢɫɥɢɬɢ S, D ɩɨ ɦɚɬɪɢɰɿ Ⱥ? Ɇɚɽɦɨ |
|
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1. |
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əɤɳɨ Ⱥ>0 (ɬɨɛɬɨ ɝɨɥɨɜɧɿ ɦɿɧɨɪɢ ɦɚɬɪɢɰɿ Ⱥ ɞɨɞɚɬɧɿ), ɬɨ ɜɫɿ dii |
|||||||||||||||||||||||
Ɂɧɚɣɞɟɦɨ ɪɨɡɜ’ɹɡɨɤ ɪɿɜɧɹɧɧɹ (1). ȼɪɚɯɨɜɭɸɱɢ (2), ɦɚɽɦɨ: |
|
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Ɉɫɤɿɥɶɤɢ S – ɜɟɪɯɧɹ ɬɪɢɤɭɬɧɚ ɦɚɬɪɢɰɹ, ɚ ST D - ɧɢɠɧɹ ɬɪɢɤɭɬɧɚ ɦɚɬɪɢɰɹ, ɬɨ |
|||||||||||||||||||||||
|
|
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Ɇɟɬɨɞ ɡɚɫɬɨɫɨɜɭɽɬɶɫɹ ɥɢɲɟ ɞɥɹ ɫɢɦɟɬɪɢɱɧɢɯ ɦɚɬɪɢɰɶ. Ƀɨɝɨ ɫɤɥɚɞɧɿɫɬɶ -
Q1 n3 O(n2 ) . ɉɟɪɟɜɚɝɢ ɰɶɨɝɨ ɦɟɬɨɞɭ: 3
1. ɜɿɧ ɜɢɬɪɚɱɚɽ ɜ 2 ɪɚɡɢ ɦɟɧɲɟ ɩɚɦ’ɹɬɿ ɧɿɠ ɦɟɬɨɞ Ƚɚɭɫɫɚ ɞɥɹ ɡɛɟɪɿɝɚɧɧɹ |
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T |
A (ɧɟɨɛɯɿɞɧɢɣ ɨɛ‘ɽɦ ɩɚɦ‘ɹɬɿ |
n(n 1) |
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A |
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|
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2 2
2.ɦɟɬɨɞ ɨɞɧɨɪɿɞɧɢɣ, ɛɟɡ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ;
3.ɹɤɳɨ ɦɚɬɪɢɰɹ A ɦɚɽ ɛɚɝɚɬɨ ɧɭɥɶɨɜɢɯ ɟɥɟɦɟɧɬɿɜ, ɬɨ ɿ ɜ ɦɚɬɪɢɰɹ S ɬɚɤɨɠ.
Ɉɫɬɚɧɧɹ ɜɥɚɫɬɢɜɿɫɬɶ ɞɚɽ ɟɤɨɧɨɦɿɸ ɜ ɩɚɦ‘ɹɬɿ ɬɚ ɤɿɥɶɤɨɫɬɿ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɢɯ
ɨɩɟɪɚɰɿɣ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɹɤɳɨ A ɦɚɽ m ɧɟɧɭɥɶɨɜɢɯ ɫɬɪɿɱɨɤ ɩɨ ɞɿɚɝɨɧɚɥɿ, ɬɨ
Q O(m2n) .
3.3. Ɉɛɱɢɫɥɟɧɧɹ ɜɢɡɧɚɱɧɢɤɚ ɬɚ ɨɛɟɪɧɟɧɨʀ ɦɚɬɪɢɰɿ [ɋȽ, 67-69]
Ʉɿɥɶɤɿɫɬɶ ɨɩɟɪɚɰɿɣ ɨɛɱɢɫɥɟɧɧɹ ɞɟɬɟɪɦɿɧɚɧɬɭ ɡɚ ɨɡɧɚɱɟɧɧɹɦ - Qdet n!. ȼ
ɦɟɬɨɞɿ Ƚɚɭɫɫɚ - PA |
LU . Ɍɨɦɭ |
|
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det Pdet A |
( 1)l det LdetU ( 1)l akk(k) , (1) |
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Ɍɟɨɪɟɦɚ (ɩɪɨ ɞɨɫɬɚɬɧɿ ɭɦɨɜɢ ɫɬɿɣɤɨɫɬɿ ɦɟɬɨɞɚ ɩɪɨɝɨɧɤɢ).
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3.5. Ɉɛɭɦɨɜɥɟɧɿɫɬɶ ɫɢɫɬɟɦ ɥɿɧɿɣɧɢɯ ɚɥɝɟɛɪɚʀɱɧɢɯ ɪɿɜɧɹɧɶ [ɋȽ, 74-81], [ȻɀɄ, 303-308]
19
ɇɟɯɚɣ ɡɚɞɚɧɨ ɋɅ Ɋ |
|
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(1) |
ɉɪɢɩɭɫɬɢɦɨ, ɳɨ ɦɚɬɪɢɰɹ ɿ ɩɪɚɜɚ ɱɚɫɬɢɧɚ ɫɢɫɬɟɦɢ ɡɚɞɚɧɿ ɧɟɬɨɱɧɨ ɿ ɮɚɤɬɢɱɧɨ ɪɨɡɜ’ɹɡɭɽɦɨ ɫɢɫɬɟɦɭ
ɞɟ B A C, h& b &, y& x& z&.
By& h |
(2) |
Ɇɚɥɿɫɬɶ ɞɟɬɟɪɦɿɧɚɧɬɭ det A 1 ɧɟ ɽ ɧɟɨɛɯɿɞɧɨɸ ɭɦɨɜɨɸ ɪɿɡɤɨɝɨ ɡɛɿɥɶɲɟɧɧɹ ɩɨɯɢɛɤɢ. ɐɟ ɿɥɸɫɬɪɭɽ ɧɚɫɬɭɩɧɢɣ ɩɪɢɤɥɚɞ:
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