OFP-Tretyak-Lozovski

отже вектор l' має ту саму проекцію на напрямокg, що й l. Таким чином, вектор l визначає точку, що лежить у площині, нормальній до g, і відстоїть від початку координат на відстані d. Іншими словами, якщо цій площині належить хоча б одна точка ґратки, то на ній лежить нескінченна множина таких точок: ми побудували одну із площин ґратки.

3. Якщо компоненти вектора g не мають загального множника, то його довжина обернено пропорційна до відстані між сусідніми площинами ґратки, що перпендикулярні вектору g. Якщо числа (n1, n2, n3)

не мають загального множника, то завжди можна знайти вектор l'' такий, що

Звідси робимо висновок, що площина ґратки, якій належить вектор l'', розташована на відстані

Для побудови оберненої ґратки можна використати алгебраїчний метод і, застосовуючи (1.25), обчислити вектори b1, b2, b3, де як на ба-

зисі побудувати вектор b, згідно із (1.24). Вектори b утворюють питому обернену ґратку. Розглянемо тепер важливі приклади побудови оберненої ґратки.

Прямі обчислення із використанням (1.25) показують, що оберненою ґраткою до простої кубічної ґратки зі стороною елементарної комірки a є проста кубічна ґратка із кубічною елементарною коміркою зі стороною 2π/а. Дійсно, якщо базисом кубічної ґратки є а1 = ах, а2 = аy та

а3 = аz, то, згідно із (1.25), b1 = (2π/a)x, b2 = (2π/a)y, і b3 = (2π/a)z.

Застосовуючи побудову (1.25) до базису гранецентрованої кубічної ґратки зі стороною a (див. (1.4)) і зважаючи на те, що

(z + x)×(x + y)= y + z − x , (x + y)×(y + z)= z + x − y та (y + z)×(z + x)= x + y −z ,

отримаємо базисні вектори оберненої ґратки

b1 = (4π2/a)(y + z − x), b2 = (4π2/a)(z + x − y), b3 = (4π2/a)(x + y −z),

що збігаються за формою із базисом об'ємноцентрованої кубічної ґратки, де стороною умовної кубічної ґратки є 4π/a.

Якщо аналогічно виконати побудову, згідно із (1.25), для об'ємноцентрованої кубічної ґратки із базисом (1.3), то отримаємо

b1 = (4π2/a)(y + z), b2 = (4π2/a)(z + x), b3 = (4π2/a)(y + x),

загальне позначення {100}. Подібне правило застосовують і для напрямків. Наприклад, еквівалентні напрямки у кубічному кристалі [100],

[010], [001], [100], [010] та [001] позначають символом <100>.

Насамкінець зауважимо, що аналогічно до прямого простору елементарна комірка оберненої ґратки не обов'язково є паралелепіпедом. У теорії твердого тіла майже завжди працюють із коміркою Вігне- ра–Зейтца в оберненій ґратці. Така комірка має спеціальну назву – зона Бриллюена. Такі напівпровідники, як германій і кремній кристалізуються у структуру із ґраткою типу алмазу (рис. 1.23), а арсенід галію

– у структуру типу цинкової обманки, що мають симетрію кубічної гранецентрованої ґратки, тому на рис. 1.24 показано зону ГЦК кристалічної структури із позначенням точок і ліній симетрії. Зона Бриллюена обмежується вісьмома правильними шестикутниками, що належать до сімейства площин {111}, і шістьома квадратами, що належать до сімейства площин {002}. Точка Γ лежить у центрі зони Бриллюена. Точками W позначають вершини, центри шестикутних граней – через L, а центри квадратних граней – через X.

1.3. Електрони у періодичному потенціалі. Загальні властивості

Тверде тіло іноді називають конденсованим станом речовини, і уточнюють – кристалічним конденсованим станом. Це означає, що при утворенні твердого тіла атоми речовини конденсуються у кристалічну тверду фазу, тобто утворюють за такої конденсації регулярну структуру. Існують й інші можливості конденсації речовини у тверде тіло. Наприклад, якщо за конденсації не виникає далекого порядку, а істотним є ближній порядок, то йдеться про утворення аморфного твердого тіла. Одним із загальновідомих прикладів аморфних твердих

гетичних рівнів. Згідно із принципом Паулі електрони, що заповнюють внутрішні оболонки завдяки ефекту екранування, відчуватимуть дію зовнішнього атома набагато слабкіше за електрони зовнішніх оболонок, тобто валентних електронів. Що трапиться, коли ці два атоми почнуть наближатись один до одного? Оскільки вони однакові, то зрозуміло, що взаємодія відбуватиметься між відповідними виродженими електронними станами. З іншого боку, із курсу квантової механіки відомо, що взаємодія викликає зникнення виродження, тобто можна передбачити,

потенціальної енергії, і взаємодія між атомами у ґратці приведе до розмиття енергетичних рівнів валентних атомів у майже суцільні смуги, що мають назву енергетичних зон (рис. 1.27). Стани у зонах заповнюватимуться електронами, згідно із принципом Паулі (на одному енергетичному рівні може бути лише один електрон або два – із протилежними спінами). Таким чином, якщо у кристалічне тверде тіло конденсувались атоми з одним валентним електроном, то енергетична зона, в яку розмиється рівень валентних електронів, буде заповнений рівно наполовину. Як результат маємо випадок типового металу.

U(r)

Рис. 1.27. Схема виникнення енергетичних зон за конденсації атомів у кристал.

Завдяки взаємодії між атомами потенціальна енергія дещо знижується та утворюються зони колективізованих електронів. Рівні локалізованих електронів також розмиваються в смуги

Якщо у кристалічне тверде тіло конденсувались атоми із двома валентними електронами, то енергетична зона, утворена розмиттям рівня валентних електронів, буде повністю заповнена, і для збудження будь-якого з них потрібно витратити деяку енергію, що дорівнює енергетичній відстані між заповненою зоною і пустою зоною, яка утворилась із першого збудженого рівня валентного електрона в ізольованому атомі.

Таким чином, із якісного аналізу енергетичної структури електронів у твердих тілах ми доходимо дуже важливого висновку: енергетичний спектр електронів у твердих тілах має зонний характер, тобто у результаті взаємодії атомів, що складають тверде тіло, електронні енергетичні стани утворюють цілі енергетичні смуги – енергетичні зони, розділені смугами недозволених станів – заборонені зони.

Насправді ж ситуація є набагато складнішою. За допомогою простих наочних моделей неможливо достатньо точно описати енергетичний спектр електронів у кристалах. Для детальнішого вивчення електронних властивостей кристалічних твердих тіл необхідно застосовувати методи квантової теорії. А оскільки кристал являє собою

складну систему з атомів ґратки і великої кількості колективізованих електронів, варто використовувати досить складні підходи, що базуються на методах квантової теорії багатьох частинок. Як перший крок до побудови таких підходів сформулюємо надзвичайно важливу теорему, що дозволяє визначати загальний вигляд хвильових функцій частинки, що рухається у періодичному потенціалі.

1.4. Теорема Блоха

Для аналізу властивостей (електронних, магнітних, пружних тощо) твердого тіла недостатньо знати функції із симетрією ґратки (напр., кристалічний потенціал або електронні хвильові функції основного стану). Необхідно розглядати й збудження, що порушують точну симетрію структури, яка розглядається. Збудження системи описуються деякими рівняннями, що у будь-якому разі мають бути інваріантними щодо трансляцій ґратки. Розглянемо такий випадок на прикладі електронних збуджень. Нехай V(r) – потенціальна енергія електрона у точці r. Тоді у силу трансляційної симетрії системи для будь-якого вектора ґратки l маємо

Хвильова функція електрона Ψ(r) задовольняє рівнянню Шредингера

яке має лишатись незмінним за заміни r на r + l у всіх операторах, що діють на Ψ(r). Для строгорозгляду цієї обставини позначимо через H(0),0 >, H(l) та l > гамільтоніан і хвильову функцію до й після трансляції, відповідно. Трансляційна інваріантність вимагає виконання умови

Оскільки всі точки ґратки Браве еквівалентні, то й усі розв'язки (хвильові функції), що відповідають трансляції на вектор ґратки, мають бути еквівалентні один одному. При цьому необхідно враховувати, що стани квантової системи можуть бути виродженими. Розглянемо випадки вироджених і невироджених станів окремо. Спочатку припустимо, що розв'язок 0 > невироджений. Розглядатимемо трансляцію на

один крок у напрямку основного вектора ґратки Браве а1. Тоді еквівалентність вимагає, щоб функція а1 > відрізнялась від 0 > не більше, як на множник. З фізичного погляду ці стани однакові, тобто має існувати таке число λ1, за якого у результаті одного кроку у напрямку

вектора а1 хвильова функція трансльованої системи визначалась би як добуток цього числа на хвильову функцію нетрансльованої системи

Оскільки хвильова функція є нормованою на одиницю, маємо рівняння для визначення λ1

де k1 – дійсне число. Аналогічно, для одиничних трансляцій у напрямку інших базисних векторів запишемо

Дійсно, при виконанні перетворень (1.47) було зроблено l1 кроків у напрямку а1, l2 кроків – у напрямку а2 та l3 кроків – у напрямку а3, і після

кожного кроку функція домножувалася на відповідний множник. Нехай, наприклад вектор

де bi, i = 1, 2, 3 – трійка векторів оберненої ґратки, що відповідає векторам ai, i = 1, 2, 3 прямої ґратки. Тоді можна записати

Таким чином, ми отримали дуже важливий результат: для будь-якої хвильової функції, що задовольняє рівнянню Шредингера, існує такий вектор k, за якого трансляція на вектор ґратки l еквівалентна множенню цієї функції на фазовий фактор exp(i k l).

У загальнішому випадку вироджених станів також можна сформулювати твердження, аналогічне (1.49). Строгий розгляд загального випадку подано у додатку А, де на прикладі дворазово виродженого стану показано, що для кожної функції |0}i n-разово виродженого

Тоді, згідно із (1.54), функція uk(r) має бути періодичною, тобто

Це твердження також часто називають теоремою Блоха, а функції

uk(r) – блохівськими.

Якщо виявиться, що деякому стану відповідає вектор оберненої ґратки g, то хвильова функція, відповідна такому стану, буде періодичною

оскільки ei g l =1 для всіх l. Нехай тепер деякому стану, що описується хвильовою функцією ψk, відповідає хвильовий вектор

де g – деякий вектор оберненої ґратки, а k' – новий хвильовий вектор. Тоді маємо

тобто функція ψk задовольняє теоремі Блоха так, якби їй відповідав

хвильовий вектор k'. Первинний вибір хвильового вектора k не є однозначним, кожній хвильовій функції відповідає вся множина можливих хвильових векторів, що відрізняються один від одного на вектор оберненої ґратки. Як однозначно визначити хвильовий вектор, що відповідає даній хвильовій функції? Розглянемо процедуру однозначного визначення хвильового вектора на прикладі одновимірної ґратки. Аналог оберненої ґратки у цьому випадку – набір обернених довжин ґратки

Стану із даною енергією можна приписати будь-яке хвильове число із набору

тобто хвильове число, визначене лише із точністю до n(2π/a). Зазвичай як представник усіх чисел k вибирають хвильове число із найменшим можливим абсолютним значенням k' , а саме для хвильового числа завжди вибирається значення, що лежить в інтервалі

Цей інтервал збігається із зоною Бриллюена одновимірної системи та є елементарною коміркою оберненої ґратки.