Вища Математика для Економістів

відбувається в напрямку від початку координат. Фазовий портрет системи представлено на рис. 17.

y y=2x y=-x/2

Рис. 17 Приклад 36. Визначити тип положення рівноваги та характер

Якщо 0 , то положення рівноваги – центр. В цьому випадку задана

453

радіуса C 0 з центром в точці (0,0)і сама точка (0,0) (рис. 18). y

Рис. 18.

При 0 перейдемо в рівняннях системи до полярної системи

454

Рис. 19. Рис. 20.

Приклад 37. Визначити тип положення рівноваги та характер

рівноваги.

Складемо характеристичне рівняння матриці системи

Фазові траєкторії, відмінні від прямої точок рівноваги, знаходимо з

y 2x . Рух вздовж фазових траєкторій відбувається в напрямку до положень рівноваги k2 0 . Фазовий портрет системи представлено на рис. 21.

455

y=2x

Рис. 21.

§8. Економічні задачі, що зводяться до диференціальних рівнянь

Приклад 38. Швидкість знецінення обладнання внаслідок його зносу пропорційна в кожний даний момент часу його фактичній вартості. Початкова вартість – А0. Яка буде вартість обладнання після його використання впродовж t років?

Нехай At - вартість обладнання в момент t. Зміна вартості

456

Для визначення довільної сталої С використаємо початкову

частинний розв’язок дає відповідь на питання даної задачі.

Приклад 39. Нехай y(t) – кількість продукції, що випускається галуззю за час t; р – ціна продукції. Сума інвестицій (коштів, направлених на розширення виробництва) І(t) пропорційна прибутку р y(t) з коефіцієнтом пропорційності m (m=const, 0<m<1). Підвищення швидкості випуску продукції пропорційне збільшенню інвестицій з коефіцієнтом пропорційності . Вимагається знайти кількість продукції, що випускається галуззю за час t, якщо в початковий

Позначимо k mp. Тоді рівняння матиме вигляд y ky.

Маємо рівняння з відокремлюваними змінними

dy ky, dt

dy kdt, y

ln|y | kt ln|C |,

y Cekt .

Врахуємо, що y t t0 y0 , тоді

y0 Cekt0 ,

C y0e kt0 .

Звідси y y0ek(t t0 ).

Приклад 40. Нехай попит і пропозиція на товар визначаються відповідно співвідношеннями

де р – ціна товару; p - тенденція формування ціни (похідна ціни за часом). Нехай також в початковий момент часу ціна р за одиницю

457

товару складала 1 грош. од. Виходячи з вимоги відповідності попиту пропозиції, знайти закон зміни ціни в залежності від часу.

Для того, щоб попит відповідав пропозиції, необхідне виконання рівності

4p 2p 39 44p 2p 1.

Звідси

10p p 10 0.

Маємо диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними:

10 dp p 10, dt

ln| p 10| t ln|C |,

p10 e 0,1t ,

C

p Ce 0,1t 10.

1 C 10; C 9; p 9e 0,1t 10.

Отже, щоб між попитом і пропозицією збереглася рівновага, необхідно, щоб ціна змінювалася відповідно до отриманої формули.

Приклад 41. Нехай попит і пропозиція на товар визначаються співвідношеннями

де р – ціна товару; p - тенденція формування ціни; p - темп зміни

Виходячи з вимоги відповідності попиту пропозиції, знайти залежність ціни від часу.

Виходячи з вимоги відповідності попиту пропозиції, маємо d s.

Отже,

2p p p 15 3p p p 5,

звідки одержуємо лінійне неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами:

p 2p 2p 10.

458

Відповідне однорідне рівняння:

p 2p 2p 0.

Характеристичне рівняння:

k 2 2k 2 0.

Корені характеристичного рівняння:

k1,2 1 i.

Загальний розв’язок однорідного рівняння: p* (t) C1e t cost C2e t sint.

Частинний розв’язок неоднорідного рівняння будемо шукати у вигляді

p A.

Тоді

Підставивши ці значення в диференціальне рівняння, отримаємо

2A 10,

Загальний розв’язок буде таким:

p(t) e t (C1 cost C2 sint) 5.

Врахуємо початкові умови:

p(0) 6; 6 C1 5; C1 1.

Тоді

p(t) e t (cost C2 sint) 5;

p (t) e t (cost C2 sint) e t ( sint C2 cost)e t [(C 2 1)cos t (C2 1)sint];

p (t) e t [(C 2 1)cost (C2 1)sint] e t [ (C 2 1)sint (C2 1)cost]e t [ 2C 2cost 2sint].

Звідси,

p (0) C2 1; p (0) 2C2.

Враховуючи, що d 2p p p 15 і d(0) 10, знаходимо

10 2( 2C2 ) (C2 1) 6 15,

звідки C2 0. Отже, p(t) 5 e t cos t.

Приклад 42. Нехай торговими установами реалізується продукція, про яку в момент часу t з числа потенційних покупців N знає лише х покупців. Після проведення рекламних оголошень швидкість зміни кількості покупців, що знають про продукцію, пропорційна як кількості покупців, котрі знають про товар, так і

459

кількості покупців, яким про нього ще нічого невідомо. Відомо, що в початковий момент часу t=0 про товар дізналося N / чоловік (час відраховується після рекламних оголошень), - задане число. Знайти закон зміни в залежності від часу кількості х покупців, що знають про продукцію.

Згідно з умовою рівняння для визначення x x(t) має вигляд

dx kx(N x), dt

де dx - швидкість зміни кількості покупців, що знають про товар; х – dt

кількість тих, хто знає про товар; N-x – кількість тих, хто не знає про товар в момент часу t; k – додатний коефіцієнт пропорційності.

Початкова умова: x t 0 N / .

Розв’язуємо диференціальне рівняння, що є рівнянням з відокремлюваними змінними:

де A eC1 . Розв’яжемо останнє рівняння відносно х:

Отримане рівняння називається рівнянням логістичної кривої. Враховуємо початкові умови:

N N ; 1 p ; p 1.

1 p

залежності від часу t. Зокрема, при 2 отримаємо

На рис. 22 схематично зображена логістична крива при 2 .

460

x

N

Рис. 22.

Приклад 43. Скласти диференціальне рівняння розширеного відтворення.

Позначимо Р – вартість валового національного продукту, Р1 – вартість виробничих засобів виробництва, Р2 – вартість виробничих засобів споживання. Відомо, що

Позначимо частку перенесеної вартості в національному доході через S. Тоді національний дохід (у вартісному вираженні) є різницею P SP P(1 S). Частина національного доходу іде на збільшення виробничих фондів С (у фонд нагромадження) з метою розширення

виробництва. Ця частина дає швидкість зростання C , тобто dC C dt

(t – час). Інша частина іде на споживання, тобто

P(1 S) dC P2 dC (1 H )P. dt dt

Уводячи фондомісткість приросту продукції f dC і враховуючи, що dP

Це рівняння називається диференціальним рівнянням розширеного відтворення.

461