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Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

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6 5tg x sin2x

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є)

7x 12 cos xdx.

5. а)

x cos x

б)

dx.

2sin x

2 cos x sin x

в)

dx.

1 sin x 2

arctg 1 3

(8 tg x)

г)

dx.

18sin

2cos

д)

24 cos8

dx.

5 x

е)

5 x

25 x

є)

5 x2

7. а)

9x2 9x 11 cos 3xdx.

1 2 8x arctg 2x

б)

dx.

1 4x

2arctg(1 2)

в)

2arctg(1

sin x 1 sin x

6tg xdx

г)

3sin2x 5cos

arcsin 1

д)

24 sin6 x cos2 x dx.

1 x

е)

1 x

x4dx

є)

1 x2

6. а)

2x2 4x 7 cos 2xdx.

2cos x 3sin x

б)

dx.

2sin x 3cos x 3

2arctg 3

в)

2arctg 2 cos x 1 cos x

arccos

2 3

tg x 2

г)

dx.

sin x 2cos

д)

28 sin8 x dx.

6 x

е)

dx.

x 14

x2 1

є)

dx.

8. а)

8x2 16x 17 cos 4xdx.

4 1 2

б)

dx.

x x

в)

1 sin x

cos x

2arctg(1 2)

2tg2 x 11tg x 22

г)

dx.

4 tg x

д)

24 sin4 x cos4 x dx.

10 3

x 2

е)

dx.

2 x

2 x 2

5 2 x

є)

4 x2

382

5 cos2xdx.

9. а)

3x2

xdx

б)

cos xdx

в)

5 4cos x

3tg x 1

г)

dx.

arctg 1 3

2sin2x 5cos 2x 1

д)

sin2 x cos6 x dx.

x 24

е) 1

dx.

x 24 2

є)

x dx

3 2

2 x2

11. а)

3 7x2 cos2xdx.

x 1 x

б)

dx.

cos xdx

в)

1 sin x cos x

arccos 1

tg x

г)

dx.

5cos

sin x

x 4

д)

24 sin8 x 2

dx.

4 x

е)

dx.

x 12

є)

4 x2dx.

2x 1 sin3xdx.

13. а)

	2
10. а)		2x2 15 cos 3xdx.
		0
					x 1 x
		8			x 1 x
б)													dx.

							x		2
										1
		3								1
	2 3									1 sin x
в)										1 sin x														dx.
в)																								dx.
		0				1 cos x sin x
	arctg 3										1 ctg x
г)											1 ctg x														dx.
г)																								2	dx.
	4 sin x 2cos x
	2									x				4
д)	cos8									x				4					dx.
	0
	2
	2		x						3x							2 10
е)			x						3x							2 10						dx.


	1								3x 2 7
	2				2
є)						x dx									.

						2
	0				16 x
	2
12. а)		1 8x2 cos 4xdx.
		0
				arctg x x
		3		arctg x x
б)																		dx.
б)								1 x				2						dx.
	0							1 x
	2						1 cos x dx
в)																							.
в)																							.
	0				1 sin x cos x
	4							6sin2 x
г)								6sin2 x												dx.
г)																				dx.
	0				3cos2x 4
	0
д)	28 sin6 x cos2 x dx.
								4																		dx

	2										2 x										2x 2
е)																												.
																											2
							2x			2 4 2											x 2x 2						2
	0						2x			2 4 2											x 2x 2
	4								dx
є)									dx								.
є)			16 x2												3 2		.
	0		16 x2
	3
14. а) x2 3x sin2xdx.
	0

383

x arctg x 4

б)

dx.

1 x

sin xdx

в)

1 sin x cos x

arctg 3

4 tg x

г)

dx.

2sin

x 18cos

д)

28 sin4 x cos4 x dx.

xdx

е)

1 2 2 2x 1

є) x2

16 x2dx.

15. а) x2 3x 2 sin xdx.

sin1 arcsin x 2

б)

dx.

1 x

cos xdx

в)

1 sin x cos x

arctg 2 3

6 tg x

г)

dx.

9sin

4cos

д)

cos8 x dx.

x 3

е)

dx.

1 8

є) x2 25 x2dx.

17. а) x2 6x 9 sin2xdx.

8 dx

б) 3 x2 1.

б)

dx.

0 x

2arctg(1 2)

1 sin x

в)

dx.

1 sin x

arctg 2

12 tg x

г)

dx.

3sin x 12cos

д)

24 sin2 x cos6 x dx.

4 x

е)

4 x

4 x 16 x

5 2

x2dx

є)

25 x

16. а) x2 5x 6 sin3xdx.

б)

dx.

x x 1

2arctg(1 3)

cos xdx

в)

(1 sin x) 1 cos x

arcsin

3 7

tg2 xdx

г)

3sin

x 4cos

x 7

д) sin8 x4 dx.

3 3x 5 2

е)

dx.

3x 5

5 3 1

є)

16 x2dx.

18. а)

x2 17,5 sin2xdx.

б)

1 ln x

dx.

384

cos xdx

в)

3 1 cos x sin x

7 3tg x

г)

dx.

sin x 2cos x 2

д)

24 sin6 x 2 cos2 x

2 dx.

3 2x

е)

dx.

2x 7

є)

64 x2

19. а) 1 5x2 sin xdx.

	0
	2					dx
б)						dx						.

						x	2
								1
		2						1
	2								cos xdx
в)	0								cos xdx								.
в)	0			1 cos x sin x 2													.
				0								3tg2 x 50
г)																		dx.
г)																		dx.
	arccos 1												2tg x 7
	arccos 1								10				2tg x 7

д)	28 sin2 x cos6 x dx.
	2					4													dx

	2									2 x				3x 2
е)																					.
																				2
						3x 2 4 2 x 3x 2														2
	0					3x 2 4 2 x 3x 2
	2										x4dx
	2		2								x4dx
є)																.

					16			x				2	16 x		2
	0				16			x					16 x

21. а) x ln2 xdx.

1			xdx
б)			xdx			.

	x	4	x	2
0	x		x		1

cos xdx

в)

1 cos x sin x 2

arcsin 3

2tg x 5

г)

dx.

5 tg x sin2x

arcsin 2

д)

28 sin4 x cos4 x dx.

x 25

е) 0

dx.

x 25 2

x 1

x2 2

є)

dx.

20. а)

3x x2 sin2xdx.

ln x

б)

dx.

1 sin x dx

2arctg(1 2)

в)

cos x 1 cos x

5tg x 2

г)

dx.

2sin2x 5

д)

24 cos8 x dx.

2 x

е)

2 x

2 x 4 x

є) x2

9 x2dx.

xdx

22. а)

б)

x dx

0 x2 1

385

sin xdx

в)

1 sin x 2

arcsin 2

4tg x 5

г)

dx.

4cos

x sin2x 1

д)

sin8 x dx.

2 x

е)

dx.

x 6

є)

1 x2

8ln2 xdx

23.а) .

13 x2

б)

tg x lncos xdx.

sin xdx

в)

1 cos x sin x 2

11 3tg x

г)

dx.

arccos 1

tg x 3

x 2 cos4 x

2 dx.

д)

24 sin4

6 x

е)

dx.

x 18

є)

x dx

8 x2

25. а) x 1 3 ln2 x 1 dx.

	1	2		arccos x 3			1
б)								dx.

					1 x	2
	0				1 x
	2				sin2 xdx
в)	0				sin2 xdx
									.
			1 cos x sin x 2						.

	2			sin xdx
в)	0			sin xdx
						.
		1 cos x sin x 2				.
	arcsin
	arcsin		7 8	6sin2 x
г)				6sin2 x	dx.
г)					dx.
		0		4 3cos 2x

д) sin6 x4 cos2 x4 dx.

	0
	1 3	5
	1 3	5							x 1
е)	1 24																	dx.
		x 1 2
		x 1 2												x
	2					dx
є)						dx											.

		16 x2											3
	0	16 x2
	1
24. а) x 1 ln2													x 1 dx.
	0
	0	tg(x 1)
б)															dx.
б)						2									dx.
	1 cos						(x 1)
	0									cos2 xdx
в)																							.
в)		3 1					cos x sin x													2			.
	2	3 1					cos x sin x
	arcsin 3
	arcsin 3					10						2tg x 5
г)												2tg x 5												dx.
г)																							2	dx.
		0							(4cos x sin x)
	0
д)		28 sin2 x cos6 x dx.
	2
					4																	dx
	1				4					1 x									2x 2			dx
е)																										.
																									2
				2x				1 4 1 x 2x																	2
	0			2x				1 4 1 x 2x																	1
	6
	6	x2 9
є)											dx.
є)				x		4					dx.
	3			x
	0
26. а)	x 2 3 ln2 x 2 dx.
	1
	2	1 cos x
б)		1 cos x														dx.
б)													2			dx.
	(x sin x )
	2 3									cos2 xdx
в)	0									cos2 xdx											.
в)	0		1 cos x sin x 2																		.

386

	arccos 1				26				dx
г)									dx				.
г)													.
		4				6 tg x sin2x
	2
д)	28 cos8 x dx.
	2
							3
	64				2		3	x dx
е)												.
е)		6		2								.
							x3
	1		x				x3			x	x

є) 4 x2dx.

27. а) x 1 2 ln2 x 1 dx.

sin x cos x

б)

dx.

cos x sin x 5

2arctg 2

в)

sin x

1 sin x

2 tg x

г)

dx.

sin x 3cos x

arcsin 2

д)

sin6 x cos2 x dx.

6 x 6 x

е)

6 x

36 x

є)

4 x

29.а) x2 e 2 dx.

	1
	1	x			3	x
б)							dx.
					4
	0		x			1
	2				sin xdx
в)								.

	0			2 sin x

4 7tg x

г)

dx.

2 3tg x

д)

24 sin8 x dx.

4 3

е)

dx.

x 1

16 15 x

x2 4

є)

dx.

28. а) x ln2 xdx.

2 x cos x sin x

б)

dx.

x sin x

в)

1 cos x sin x 2

arcsin

2 3

8tg xdx

г)

3cos

x 8sin2x 7

4 cos4 x 4 dx.

д)

sin4

x 4 x

е)

dx.

7x 6

x4dx

є)

3 2

0 4 x2

30. а) x2 e3x dx.

	0
		3						xdx
б)								xdx				.

						x	4	x	2
										1
			2							1
	4							dx
в)								dx					.
в)					cos x 1 cos x								.
	0				cos x 1 cos x
	3						tg2 x
г)							tg2 x				dx.
г)											dx.
	0			4 3cos2x

387

																0
д)	24 sin2 x 2 cos6 x										2 dx.			д)		28 cos8 x dx.
	0		4							dx					2
																	e				dx
					1 x			x 1
	1				1 x			x 1							3			3 x 3 x
е)													.	е)									.

												2
																						2
				x 1 4 1 x x 1													3 x 9			x		2
	0			x 1 4 1 x x 1											0		3 x 9			x
						dx								є)	1	2
															1	2
	1	2															x dx .
	1	2
є)									.
															0 4 x				2
			1 x2																2
		0	1 x2				1 x2

Завдання 2. Обчислити площі фігур, обмежених графіками функцій

1.y x 2 3 , y 4x 8.

y 4 x2,

y x2 2x.

5. y	4 x2 ,		y 0,
x 0,		x 1.
y cos x sin2 x,				y 0,
7. 0 x 2 .
y		1	,	y 0,

9.x 1 ln x

x1, x e3 .

y x 1 2 ,

11.

y2 x 1.

13.	y x 36 x2 ,			y 0,
	0 x 6 .

15.	y arctg x,		y 0,
	x
		3.


17.	x	ey 1,	x 0,
	y ln2.

2.	y x 9 x2 ,	y 0,
	0 x 3 .

4.	y sin x cos2 x,		y 0,
	0 x 2 .

y x2 4 x2 ,					y 0,
6.
0 x 2 .

8. y		ex 1,	y 0,
x ln2.
10.	y arccos x,				y 0,
	x 0.
12.	y 2x x2		3,
12.	y x2 4x 3.
	y x2 4x 3.
14.	x arccosy,				x 0,
14.	y 0.
	y 0.

16.	y x2 8 x2 ,				y 0,
	0 x 2			.
	0 x 2		2	.

18.	y x 4 x2 ,				y 0,
18.	0 x 2 .
	0 x 2 .

388

19. y	x	,	y 0,
	1 x

x1.

21.x y 2 3 ,

x4y 8.

	y		x		y 0,
				,
23.		x2 1 2
	x 1.
	1
	x				, x 0,

25.y 1 lny

y 1,	y e3 .

y x2	16 x2 ,	y 0,
27.

0 x 4 .

y x 1 2 ,

29.

y2 x 1.


1
20. y			,	y 0,
	1 cos x
x 2,		x 2.
y cos5 x sin2x,					y 0,

22.0 x 2 .

x4 y2,

x y2 2y.


26.	y	e1 x		,	y 0,
		x2
	x 2,			x 1.

28.	x		4 y2 ,			x 0,
	y 0,			y 1.

30.	y x2 cos x,					y 0,
	0 x				2 .

Завдання 3. Обчислити площі фігур, обмежених лініями, заданими рівняннями.

x 42 cos3 t,

1.y 22sin3 t,

x2 x 2 .

x 4 t sint ,

3. y 4 1 cost ,

y 4 0 x 8 , y 4 .

x 2cost, 5. y 6sint,

y 3 y 3 .

x 16cos3 t,

7. y sin3 t,

x 63 x 63 .

x 2 cost, 2. y 22sint,

y 2 y 2 .

x 16cos3 t,

4. y 2sin3 t,

x 2 x 2 .

x 2 t sint ,

6. y 2 1 cost ,

y 3 0 x 4 , y 3 .

x 6cost,

8. y 2sint,

y 3 y 3 .

389

	x 3	t sint ,

9.			cost			,
9.	y 3 1		cost			,

	y 3 0 x 6 , y 3 .

		2		2 cost,
	x	2		2 cost,
11. y 3					sint,
11. y 3				2	sint,
				y 3 .
	y 3			y 3 .

x 32cos3 t,

13. y sin3 t,

x 4 x 4 .

x 6 t sint ,

15. y 6 1 cost ,

y 6 0 x 12 , y 6 .

x 6cos3 t,

17. y 4sin3 t,

x 23 x 23 .

x 22 cos3 t,

19.y 2 sin3 t,

x1 x 1 .

x t sint, 21. y 1 cost,

y 1 0 x 2 , y 1 .

x 9cost, 23. y 4sint,

y 2 y 2 .

x 24cos3 t,

25. y 2sin3 t,

x 93 x 93 .

x 82 cos3 t,

10.y 2 sin3 t,

x4 x 4 .

x 6 t sint ,

12. y 6 1 cost ,

y 9 0 x 12 , y 9 .

x 3cost, 14. y 8sint,

y 4 y 4 .

8cos

16.

y 4sin3 t,

x 3

x 10 t sint ,

18.

10 1 cost

y 15 0 x 20 , y 15 .

2 cost,

20. y 4

sint,

y 4 .

y 4

8cos

22.

y 8sin3 t,

x 1 .

x 1

x 8 t sint ,

24.

8 1 cost

y 12 0 x 16 , y 12 .

x 3cost,

8sint,

26. y

y 43 y 43 .

390

	x 2	t sint ,

27.				cost	,
27.	y 2	1		cost	,

	y 2 0 x 4 , y 2 .

			2 cost,
	x 2		2 cost,
29. y 5
29. y 5			2sint,
				y 5 .
	y 5			y 5 .

x 42 cos3 t,

28.y 2 sin3 t,

x2 x 2 .

x 4 t sint ,

30. y 4 1 cost ,

y 6 0 x 8 , y 6 .

Завдання 4. Обчислити площі фігур, обмежених лініями, заданими в полярних координатах.

1.	r 4cos 3 ,			r 2		r 2 .	2.	r cos2 .
	r		cos ,	r sin ,			4.	r 4sin3 ,	r 2	r 2 .
3.		3
			0		2 .

	r 2cos ,			r 2		sin ,	6.	r sin3 .
5.					3
			0		2 .

7. r 6sin3 ,

r 3

r 3 .

rcos ,

9.r 2 sin 4 ,

4 2 .


11.	r 6cos3 , r					3 r	3 .
13.	r cos ,				r sin ,
13.	0				2 .
15.	r cos ,				r 2cos .
17.	r 1			cos .
17.	r 1		2	cos .
19.	r 1			sin .
19.	r 1		2	sin .
21.	r 3	2 cos ,				r 5	2 cos .
23.	r sin6 .
25.	r cos sin .
27.	r 2cos 6 .
29.	r 3sin ,				r 5sin .