s2_matan_kol_shpore_html_pdf

x s

(2)

s

1e x dx ,

0

В околі нуля e x xs 1

0 xs 1 , тому збігається, коли s 0 ,а I 2 s збігається s 0

s

існує при s 0 .

Якщо розглянути s : 0 s

s

s

2

, то e x xs

1

e x

x s0 1 xs1 1

,

а інтеграл від

1

функції в правій частині останньої

рівності існує,

то

s

рівномірно

збігається на

розглянутому проміжку, тобто

s

є неперервною на будь-якому додатному сегменті

s1 , s2 , в наслідок довільності s1

та s2

будемо мати, що

s неперервна

s

0 .

1

B p, q

x p 1 1 x q 1 dx

0

Коли x 0 x p 1 1 x q 1

0

x p 1

збіжний при p 0 і коли x 1

x p 1 1 x q 1

0 1 x q 1

збіжний при q

0 . З цього слідує, що B p, q існує у

відкритому квадранті p, q . Взявши довільні p0

0 , q0 0 і розглянувши область p p0 ,

q q0 одержимо, що x p 1 1

x q 1

x p0

1 1

x q0 1 , тобто інтеграл (1) збігається

рівномірно, з чого слідує неперервність B

p, q

0 .

s 1

x s e x dx

x s e x

s x s 1e x dx s

(4)

0

s

0

0

B(a, b)

Г (а) Г (b)

Г (a

b)

;

x

1

;

1

1

x

1

xa 1 (1 x)b 1 dx

1

t

t a 1

1

dt

t a 1dt

B(a, b)

x 1

;

;

1 t

1 t

(1 t)a 1 (1 t)b 1

(1 t)2

(1 t)a b

0

0

0

dx

dt

;

(1

t)2

x

1

;1 x 1

1

1 t

xa 1

1

xa 1

xa 1

t

t

B(a, b)

dx

dx

dx

t

(1 x)a b

(1 x)a b

(1 x)a b

dx

dt

0

0

1

t2

1

xa 1

0

ta b

dt

1

xa 1

1

tb 1

1 xa 1

xb 1

dx

dx

dt

dx

0

(1 x)a b

ta 1 (1 t)a b

t 2

0

(1 x)a b

0

(1 t)a b

0

(1 x)a b

1

B(a, b)

Г (a)Г (b)

;

Г (a b)

Доведення :

Г (a)

xa 1e x dx

0

x

(q

1)t

Г (a

b)

xa

b 1e x dx

q

параметр

0

dx

(q

1)dt

Г (a b) (q 1) (q 1)a b 1t a b 1e(q 1)t dt

0

1

Г (a b)

t a b 1e (q 1)t dt * qa 1

(q 1)a b

0

qa

1

Г (a b)

qa 1ta b 1e (q 1)t dt

(1 q)a b

0

Г (a b)

qa

1dq

dq qa 1t a b 1e(q 1)t dt

tb 1e t dt qa 1t ae qt dq

(1

q)a

b

0

0

0

0

0

tb 1e t dt (qt)a 1 e qt d (tq)

tb 1e t dt ya 1e y dy Г (a)Г (b)

0

0

0

0

Г (a b)B(a b)

Г (a)Г (b)

B(a, b)

Г (a)Г (b)

Г (a

b)

e j x

e

j x

e j x

e j x

A( )cos x

B(

)sin

x

A(

)

B(

)

2

2

A( )

jB(

)

e

j x

A(

)

jB( )

e

j

x

c( )e

j x

c(

)e

j x (2.11)

2

2

де позначено

c( )

A( )

jB( )

; c(

)

A( )

jB( )

2

2

(A( )cos

x B(

)sin

x)d

(c( )e j x

c(

)e j x )d

0

0

0

(2.12)

c( )e j x d

c( )e j x d

c( )e j x d

0

Для c(

)

дістаємо вираз

c(

)

A(

)

jB( )

1

(

1

f (t) cos

tdt

j

1

f (t) sin tdt)

2

2

1

(2.13)

f (t)(cos t

j sin

t)dt

2

Звідси

c(

)

1

f (t)e

j t dt

(

0)

(2.14)

2

Безпосередньо бачимо, що ці формули не втрачають сенс і при

0 , бо

. Тому із формули (2.7) випливає

c(

)

c(

)

f (x)

lim

(A(

)cos x B( )sin x)d

lim c( )e j x d (2.15)

0

Отже, в точках неперервності функції

f (x)

c(

)e j

x d (2.16) де

c

( )

1

f (t)e

j kt dt.

k

2

(2.17)

Зауваження. Множник

1

можна записати у будь - яку з формул (2.16) чи (2.17):

2