s2_matan_kol_shpore_html_pdf

f

x,

dx

f

,

f

,

(6)

Доведення. Позначимо праву частину рівності (6) як g

і для довільної точки

J і

h :

h J

розглянемо приріст функції

в точці

та оцінимо вираз:

)

f

(

h)

( )

g( )h

f (x,

h)

f (x, )

(x, ) dx

(

(

)

(

h)

(

h)

f (x,

h)

f ( ( ), )

( )h dx

f (x,

h)

f ( ( ), ) ( )h dx

.

(

)

(

)

За

попередньою

теоремою

першій

доданок є

o

h

,

легко

також

оцінити

два

інших

доданки:

(

h)

f (x,

h)dx

(

h)

(

)

f (

,

h)

(

(

)h

o(h)) f ( ,

h) , де

-

проміжна

(

)

точка, між

(

) та

(

h) . З неперервності

f ,

маємо:

f (

,

h)

f (

(

),

)

(

)

0 при h

0. Тоді маємо таку оцінку різниці:

h)

(

f (x,

h)

f ( ( ), )

( )h dx

(

)

( )h f (

,

h)

o(h)

(

)hf ( ( ),

)

o(h)

, аналогічно

оцінюється

третій

доданок.

Підсумовуючи все це маємо формулу (6).

Нехай тепер I1

[a,b], I 2

[c, d ] , E

I1

I 2 ,

f

C(R) тоді можна визначити неперервні функції

b

d

F :

f (x, )dx,

I 2 ,

: x f (x,

)d

,

x

I1 на своїх областях визначення. Позначимо:

a

c

d

d

b

d

b

A

F( )d

f (x, )dx d

d f (x, )dx ,

c

c

a

c

a

b

b

d

b

d

B

(x)dx

f (x, )d dx

dx f (x, )d .

a

a

c

a

c

Якщо f

C(R) , то A B .

Доведення. Розглянемо дві функції:

t

b

b

t

, t [c, d ] .

: t d

f (x, )dx , t [c, d ] ,

: t dx f (x, )d

c

a

a

c

Легко побачити за теоремою 3, що

b

t [c, d ] , а

(t)

f (x, t)dx (t)

a

також

(c) (c) 0 .

З останньої умови та тотожності

слідує

рівність

, а тому при t

d маємо, що A

B .

Теорема 2.

(Мажорантна ознака Вейєрштрасса)

Для

того, щоб

інтеграл F ( ) збігається рівномірно на

інтервалі I 2

достатньо, щоб існувало таке число x0

a і така функція [x0 ,

)

R ,

що

I 2 , x

x0 справджується нерівність

f (x, )

(x) та інтеграл

(x)dx був збіжним.

x0

Доведення. За умовами теореми

I 2

інтеграл F (

) збігається (за мажорантою

ознакою

при

фіксованому

I 2 ).

Із

збіжності інтегралу

(x)dx

0

A0 a :

x0

A

A0

,

внаслідок чого

(x)dx

I 2

f (t,

)dt

f (t,

)dt

(x)dx

A

A

A

A

F (

) збігається рівномірно.

Теорема 3.

(Ознака Абеля)

Якщо інтеграл F ( )

збігається рівномірно на проміжку I 2 ,

а функція

: E

R - обмежена,

та монотонна по

змінній

x ,

то інтеграл

(

)

f (x, )

(x,

)dx збігається рівномірно на I 2 .

a

Доведення.

З рівномірної збіжності F ( ) можемо записати критерій Коші:

0

A2

A0 a :

A1

A0 , A2

A0

f (t,

)dt

, позначимо M

sup

(x,

)

0 (при M

0

A1

( x, ) E

теорема очевидна). З монотонності

та інтегрованості f

на проміжку [ A1 , A2 ] запишемо

другу теорему про середнє:

A2

A2

A2

f (x, )

(x,

)dx

( A1 , )

f (x,

)dx

( A2 , ) f (x, )dx

2M

, а далі з критерію Коші

A1

A1

A1

Теорема 4.

(Ознака Діріхле)

Якщо функція

: E

R - монотонна по змінній x

I 2 , а також

x

0 на проміжку I 2 , а функція x f (t, )dt - обмежена на E ,

то

a

інтеграл ( )

f (x,

) (x,

)dx збігається рівномірно на I 2 .

a

Доведення. З рівномірної збіжності

0 можемо записати умову:

0

A0 a :

x

A1

A0

I 2

(A1, )

,

позначимо M

sup

f (t,

)dt

0 (при M

0 теорема

( x, ) E

a

очевидна). З монотонності

та

інтегрованості

f на

проміжку [ A1 , A2 ] запишемо другу

теорему про середнє:

A2

A2

A2

f (x,

) (x,

)dx

( A1 , )

f (x,

)dx

( A2 , )

f (x,

)dx

2M

, а далі з критерію Коші

A1

A1

A1

b

x, y : a

x

b, c

y

d

, то інтеграл I y

f x, y dx є неперервною функцією від

a

параметра y

c, d .

○ За теоремою Кантора функція f

x, y , неперервна на компакті, є рівномірно

неперервною на цьому компакті, тобто для

0

0 , що із нерівностей

x

x

,

y

y

слідує нерівність

f x , y

f

x , y

. Покладемо x x

x , y

y,

y

y0 . Тоді

при

y

y0

для будь-якого x маємо

f x, y

f x, y0

, а це означає, що при y

y0

f

x, y

f x, y0

(прямує) рівномірно відносно x . Відповідно за теоремою 1 отримуємо

b

b

lim f

x, y dx

f x, y0

dx , тобто lim I

y

I y0

, а це означає, що функція I y

є неперервною

y

y0

a

a

y y0

на відрізку

c, d

, оскільки y0 – довільна точка цього проміжку. ●

Оскільки функція I y

є неперервною на проміжку c, d , то ця функція є інтегрованою на

c, d .

Теорема 2.

Якщо функція f x, y

є неперервною в прямокутнику

x, y : a

x

b, c

y

d

, то

d

d

b

b

d

I y dy

dy f x, y dx

dx f x, y dy .

c

c

a

a

c