mah3

26. Лобачевский развил только следствия, вытекающие из видоизменения пятого требования Евклида. Если же отвергнуть положение Евклида, что «две прямые не ограничивают пространства», то приходят к некоторой противоположности геометрии Лобачевского1^. В отношении поверхностей это есть сферическая геометрия. Вместо Евклидовских прямых линий мы имеем здесь большие круги сферы, которые все дважды пересекаются и каждая пара которых образует два сферических двуугольника. Здесь, следовательно, совсем нет параллелей. Возможность подобной геометрии в трехмерном пространстве (с положительной мерой кривизны) впервые указал Риман. Ее, по-видимому, не допускал Гаусс, может быть, из пристрастия к бесконечности пространства. Гелъмголъц26, который развивал далее именно в физическом смысле исследования Римана, напротив, в первой своей работе оставил без внимания пространство Лобачевского, т. е. пространство с отрицательной мерой кривизны (с мнимым параметром k). Действительно, рассмотрение этого случая ближе математику, чем физику. Гелъмголъц обсуждает здесь только случай Евклида с мерой кривизны, равной нулю, и пространство Римана с положительной мерой кривизны.

27. Итак, факты пространственного наблюдения мы можем изображать со всей доступной нам точностью как при помощи геометрии Евклида, так и при помощи геометрии Лобачевского и Римана, если только в двух последних случаях примем параметр k достаточно большим. До сих пор физики не имели оснований отказаться от допущения геометрии Евклида, т. е. k = оо. По оказавшейся целесообразной привычке они придерживаются простейших предположений до тех пор, пока факты не принудят их к усложнению или видоизменению этих предположений. Это соответствует и точке зрения всех выдающихся математиков в отношении прикладной геометрии. Поскольку однако взгляды натуралистов и математиков в этих вопросах различны, объясняется это тем, что для первых физически данное имеет величайшую важность, геометрия же есть только привычное средство для его исследования, между тем как для последних именно эти вопросы представляют величайший специальный и в особенности гносеологический интерес. Но раз математик попытался изменить ближайшие и простейшие предположения, которые внушал ему геометрический опыт, и раз эта попытка увенчалась

25См. работу De Tilly, цитированную на стр. 363.

26Über die tatsächlichen Grundlagen der Geometrie, 1866. Wissenschaftliche Abhandlungen. II, стр. 610 и сдед.

для него расширением понимания, то, конечно, такие попытки должны были развиваться и далее, в интересе уже чисто математическом. Были развиты системы геометрии, аналогичные привычной нам геометрии, но с точки зрения предположений еще более свободных, еще более общих, для любого числа измерений, не претендующие быть чем-либо, кроме научных экспериментов в мыслях, без притязаний на применение к чувственной действительности. Достаточно указать здесь на движение вперед математики в работах Клиффорда, Клейна, Ли и др. Весьма редко какой-нибудь мыслитель так уходил в свои теоретические построения и настолько отрывался от действительности, чтобы думать, что данное нам чувственное пространство имеет больше трех измерений, или изображать это пространство при помощи геометрии, значительно уклоняющейся от Евклидовской. Гауссу, Лобачевскому, J. Bolyai, Риману это было вполне ясно, и они во всяком случае не ответственны за те дикие мнения, которые были высказаны в этой области впоследствии.

28.Не во вкусе физика делать предположения относительно свойств геометрических образов в бесконечности, ему недоступной, и затем сравнивать эти последние с ближайшим опытом и к нему их приспособлять. Он предпочитает (как это сделал в своей работе Stolz) рассматривать, как источник своих понятий, непосредственно данное и значение этих понятий затем распространяет и на область недоступного ему бесконечного до тех пор, пока не увидит себя вынужденным их изменить. Но и он должен быть весьма благодарен за выяснение того факта, что существует несколько удовлетворяющих делу геометрий, что можно справиться с делом и при помощи конечного пространства и т. д., одним словом, за устранение традиционных ограничений мышления. Если бы мы жили на поверхности планеты с мутной, непрозрачной атмосферой и, обладая только наугольником и измерительной цепью, приступили бы к измерениям, исходя из предположения плоской поверхности, то нарастание нарушений правила относительно суммы углов в случае больших треугольников скоро заставило бы нас заменить нашу планиметрию сферометрией. Возможности аналогичных данных опыта в трехмерном пространстве физик в принципе не может исключить, хотя явления, вынуждающие к допущению геометрии Лобачевского или Римана, столь чудовищно противоположны всему, к чему мы до сих пор привыкли, что никто не считает наступления их вероятным.

29.Вопрос, представляет ли данный физический объект прямую линию или дугу круга, неправилен по форме своей постановки. Натянутая нить или световой луч не есть, конечно, ни то,

396

ни другое; Вопрос может быть только о том, реагирует ли наш объект пространственно так, что он лучше соответствует одному, чем другому понятию и соответствует ли он вообще с достаточной и достижимой точностью одному из геометрических понятий. Если этого нет, то возникает вопрос, можем ли мы практически устранить или, по меньшей мере, мысленно определить и учесть отклонение от прямой или круга, т. е. можем ли мы исправить результат измерения. Но при практическом измерении мы всегда делаем только одно: сравниваем физические объекты. Если бы оказалось, что при прямом исследовании эти последние соответствуют геометрическим понятиям со всей возможной точностью, но косвенные результаты измерения больше отклоняются от теории, чем то допустимо в пределах возможных ошибок, то мы действительно были бы вынуждены изменить наши физиче- ски-метрические понятия. Физик однако будет прав, если он подождет наступления этого положения, между тем как перед математиком с его рассуждениями поле действий всегда свободно.

30. Понятия натуралиста о пространстве и времени суть наиболее простые понятия. Пространственные и временные объекты, соответствующие их требованиям, могут быть устроены с большой точностью. Почти каждое отклонение, которое еще может быть замечено, возможно устранить. Каждое построение в пространстве или времени можно мыслить осуществленным, не делая насилия над фактами. Прочие физические свойства тел настолько зависят друг от друга, что произвольные фикции находят здесь тесные рамки в фактах. Совершенного газа, совершенной жидкости, совершенно упругого тела не существует; физику известно, что его фикции соответствуют фактам только приблизительно, произвольно упрощая их; ему известны отклонения, которые не могут быть устранены. Шар, плоскость и т. д. можно мыслить сделанными с какой угодно точностью, не противореча никаким фактам. Если, поэтому, какой-нибудь физический факт требует видоизменения наших понятий, физик охотнее жертвует менее совершенными понятиями физики, чем более простыми, более совершенными и устойчивыми понятиями геометрии, составляющими самую твердую основу всех его построений.

31. Но, с другой стороны, физик может извлечь существенную пользу из работ геометров. Наша геометрия относится всегда к объектам чувственного опыта. Но если мы оперируем с абстрактными вещами, как то атомами и молекулами, которые по самой природе своей не могут быть даны нашим чувствам, мы не имеем более никакого права обязательно мыслить эти вещи в

397

отношениях, в относительных положениях, соответствующих Евклидову трехмерному пространству нашего чувственного опыта. Это в особенности должен принимать во внимание тот, кто считает атомистические теории необходимыми27.

32. Вернемся к происхождению геометрии из практической потребности. Познание пространственной субстанциональности, пространственного постоянства протяженной вещи, несмотря на ее движения, является для нас биологически необходимым, ибо существует некоторая связь между пространственным количеством и количеством удовлетворения потребности. Поскольку это знание не обеспечено достаточно самою нашею физиологическою организациею, мы употребляем наши руки и ноги для сравнения с протяженным объектом. Но пользуемся ли мы для сравнения нашими руками или искусственным масштабом, раз мы сравниваем тела между собой, мы уже вступили в область физики. Все физические определения относительны. Так и все геометрические определения имеют значение, относительное к масштабу. Понятие меры есть понятие отношения, которое ничего не говорит нам о самом масштабе. В геометрии мы только принимаем, что масштаб всегда и везде остается равным тому, чему он где-либо и когда-либо оказался равным. Относительно самого же масштаба здесь не высказано ничего. Этим на место пространственного физиологического равенства выступает совершенно иначе определяемое физическое равенство, которого также не следует смешивать с первым, как нельзя отождествлять показаний термометра с тепловыми ощущениями. Правда, практический геометр констатирует расширение нагретого масштаба масштабом, остающимся в постоянной температуре, и обращает внимание на то, что вследствие такого постороннего пространству физического обстоятельства указанное выше отношение равенства нарушается. Однако для чистой геометрии вся-

27Находясь еще под влиянием атомистической теории, я попытался однажды объяснить спектральные линии газов колебаниями друг относительно друга атомов, входящих в состав молекулы газа. Затруднения, на которые я натолкнулся при этом, навели меня в 1863 году на мысль, что нечувственные вещи не должны быть обязательно представляемы в нашем чувственном пространстве трех измерений. Таким путем я пришел к мысли об аналогах пространства различного числа измерений. Одновременно с этим изучение различных физиологических многообразий (см. стр. 375) привело меня к вопросам, затронутым в конце настоящей главы. Мысль о конечных пространствах, сходящихся параллельных линиях и т. д., которая могла возникнуть только при историческом изучении геометрии, была тогда далека от меня. Мои критики прекрасно сделали бы, мне кажется, если бы не оставляли без внимания оговорки, напечатанные курсивом. Подробности относительно этого см. в примечаниях к моей работе «Erhaltung der Arbeit». Prag, 1872.

398

кое предположение относительно масштаба чуждо. Молчаливо, но без достаточного основания, сохраняется привычка, обусловленная только физиологически, считать масштаб постоянным. Было бы совершенно бесплодно и не имело бы никакого смысла, если бы мы приняли, что масштаб, а следовательно и тела вообще с перемещением в пространстве претерпевают изменения или остаются неизменными: ведь все это могло бы быть констатировано опять только при помощи нового масштаба. Из этих соображений обнаруживается относительность всех пространственных соотношений.

33.Если критерий пространственного равенства существенно изменяется уже введением мер, то с введением понятия числа

вгеометрию он претерпевает дальнейшее изменение, становится точнее. Этим обусловливается большая тонкость различений, какую простое понятие совмещения никогда не могло бы дать. Только применение арифметики к геометрии приводит к понятиям несоизмеримого, иррационального. Таким образом в наших геометрических понятиях имеются чуждые пространству примеси; они изображают пространственное с некоторой свободой и именно с произвольной большей точностью, чем то может быть достигнуто пространственным наблюдением. Неполный контакт между фактами и понятиями делает возможными разные геометрические системы (теории)28. То же самое можно сказать и относительно физики29.

34.Все развитие, приведшее к перевороту в понимании геометрии, следует признать за здоровое и сильное движение. Подготовляемое столетиями, значительно усилившееся в наши дни, оно никоим образом не может считаться уже законченным. Напротив, следует ожидать, что движение это принесет еще богатейшие плоды — и именно в смысле теории познания — не только для математики и геометрии, но и для других наук. Будучи обязано, правда, мощным толчкам некоторых отдельных выдающихся людей, оно однако возникло не из индивидуальных, но общих потребностей. Это видно уже из одного разнообразия профессий людей, которые приняли участие в движении. Не только математики, но и философы, и дидактики внесли свою долю в эти исследования. И пути, проложенные различными исследователями, близко соприкасаются. Мысли, высказанные

28Мы не можем предполагать, чтобы материя осуществляла все атомистические фантазии физика. Столь же мало может удовлетворять пространство (как объект опыта) всем идеям математика, что однако не должно возбуждать сомнений в значении соответствующих исследований самих по себе.

29См. примечание на стр. 390.

399

Лейбницем3®, встречаются вновь в мало измененной форме у Фу-

рье31, Лобачевского, J. Bolyai, H. Erb'а32. Философ Ибервег33, который в своей оппозиции против Канта примыкал по существу к психологу Бенеке34, а своими геометрическими рассуждениями — к H. Erb'y [в свою очередь называющему своим предшественником К A. Erb9а35 ], своими исследованиями в значительной мере расчистил почву для работ Гелъмголъца.

35.Результаты, к которым привели нас предыдущие рассуждения, можно сжато выразить так:

1) Опыт был признан источником наших геометрических понятий.

2)Была выяснена множественность понятий, удовлетворяющих одним и тем же геометрическим фактам.

3)Сравнением пространства с другими многообразиями были получены более общие понятия, для которых понятия геометрические составляют частный случай. Этим геометрическое мышление было освобождено из традиционных границ, считавшихся непереходимыми.

4)Указанием многообразий, родственных пространству, но от него отличных, были возбуждены совершенно новые вопросы: Что такое пространство физиологически, физически, геометрически? К чему сводятся его особые свойства, так как мыслимы и другие? Почему пространство трехмерно? и т. д.

36.Эти вопросы, решения которых невозможно ожидать ни сегодня, ни завтра, изображают перед нами всю глубину того, что подлежит еще исследованию. Не будем вовсе говорить о суждениях непризванных «беотийцев», появление которых предвидел Гаусс и которые настраивали его к такой сдержанности.

30См. стр. 354, 355.

31Séances des Écoles normales. Débats. T. I, 1800, стр. 28.

32H. Erb, Grossherzoglich Badischer Finanzrat, Die Probleme der goraden Linie, des Winkels und der ebenen Fläche. Heidelberg, 1846. Автор дал здесь то дополнение к элементарной геометрии, которого требовал Гаусс в одном письме к

Бесселю. В том же направлении работал И. Шрам в своей статье «Leibnizens

Definitionen der Ebene und der Geraden». Статья напечатана на правах рукописи в 1903 году в Оберштейге, в северном Тироле.

33Die Prinzipien der Geometrie wissenschaftlich dargestellt. Archiv für Philologie und Pädagogik, 1851. Напечатано в книге ßrasch'a, Weltund Lebensunschauung F.

Überwegs. Leipzig, 1889, стр. 263-317.

34Logik als Kunstlehre des Denkens. Berlin, 1842. II. Bd., стр. 51-55.

35Zur Mathematik und Logik. Heidelberg, 1821. Сочинения этого мне не удалось достать. — Читателей, особенно интересующихся философией, отсылаем еще к работе С. Siegern, цитированной на стр. 370.

400

ГЛАВА 23 ФИЗИОЛОГИЧЕСКОЕ И МЕТРИЧЕСКОЕ ВРЕМЯ

1.Когда мы, едва пробудившись от сна, находимся еще в полудремотном состоянии в возможно более равномерной и наименее изменчивой среде, при возможно малой смене представлений,

икогда в это время раздается равномерный бой часов, то мы ясно различаем второй удар от первого, третий от второго и первого — одним словом, более поздние удары от более ранних, хотя сила, высота и тембр звука во всех этих ударах остаются одни и те же. Мы не сомневаемся также в том, что удары следуют друг за другом в равные промежутки времени, и сейчас же (без помощи какого-нибудь искусственного средства) замечаем, если является какое-нибудь нарушение. Мы непосредственно ощущаем время или положение во времени, так же как непосредственно ощущаем пространство или положение в пространстве. Без ощущения времени не было бы хронометрии, как без ощущения пространства не было бы геометрии.

2.Существование своеобразных физиологических процессов, лежащих в основе ощущений времени, представляется весьма вероятным ввиду того обстоятельства, что мы узнаем одинаковость ритма, формы времени во временных отношениях самых различных качеств, например в мелодиях, которые кроме ритма не имеют ничего сходного1. Мы ощущаем ритм какого-нибудь процесса независимо от качества последнего. Замечательные физиологические факты говорят за то, что уже в элементарных органах заложена основа для ощущения времени. К таким фактам принадлежат, например, отрицательные зрительные следы

от движения вращаемой спирали или текущей воды (опыты Плато — Оппеля)1 и светлый или темный последовательные следы после более или менее долго продолжавшегося изменения яркостей (наблюдение Dvorafc'a3). Скорость изменения места или яркости

Относительно недостаточности более старых теорий пространства и времени и попыток исправления их (см. мою небольшую статью «Bemerkungen zur Lehre vom räumlichen Sehen». Fichtes Zeitschr. f. Philos. 1865; перепечатано в

Populär wissensch. Vorlesungen, 3 изд. Über den Zeitsinn des Ohres. Ber. d. Wiener Akademie, Januar 1865. — Анализ ощущений (издание С. Скирмунта).

Plateau, Poggendorffs Annalen, Bd. 80, стр. 287. — Oppel, ibid. Bd. 99, стр. 543.

Dvorak, Über Nachbilder von Reizveränderungen. Ber. d. Wiener Akademie. Bd. 61. — Mach, Lehre von den Bewegungsempfindungen. Leipzig, 1875, стр. 59—64.

402

есть, следовательно, в пределах непосредственного восприятия (т. е. оставляя в стороне крайние случаи, например скорость часовой стрелки или скорость пушечного ядра) не только матема- тически-физическая величина, но и физиологический объект.

3. Между нашим физиологическим воззрением времени и метрическим временем, которое получается от временного сравнения физических процессов друг с другом, существуют подобные же различия, как между физиологическим и метрическим пространством. Оба времени кажутся, правда, непрерывными; постоянному перемещению в физическом времени соответствует такое же перемещение в физиологическом; оба текут только в одном направлении. Но этим и исчерпываются, по-видимому, сходные черты. Физическое время протекает то скорее, то медленнее, чем физиологическое, т. е. не все процессы одинаковой продолжительности кажутся таковыми и непосредственному наблюдению. Физическое различение моментов времени несравненно тоньше, чем физиологическое. Для нашего воззрения времени настоящее представляется не моментом времени, который, естественно, всегда должен бы не иметь никакого содержания, а отрезком довольно значительной продолжительности, притом с чрезвычайно изменчивыми границами, трудно поддающимися определению и от случая к случаю неодинаковыми. Воззрение времени этим собственно и ограничивается. Оно, однако, вполне незаметно дополняется воспоминанием о прошедшем и отражающимся в нашей фантазии будущим, причем как то, так и другое являются в весьма сокращенной временной перспективе. Отсюда понятна и неясность границ воззрения времени. Для физики один периодически повторяющийся ритм есть только один временный образ; для нашего же воззрения форма этого образа меняется в связи с моментом его, на котором сосредоточивается наше внимание4. Точно так же меняется и форма одного и того же геометрического образа для пространственного воззрения, смотря по ориентировке и фиксируемой точке в нем, что для одномерного времени совпадает в одном определяющем моменте.

4. В настоящее время вряд ли возможно сомневаться, что воззрение времени, как и воззрение пространства, обусловлено наследственной нашей телесной организацией. Тщетна была бы попытка освободиться от этих воззрений. Но, становясь на эту точку зрения нативистической теории, мы вовсе еще не утверждаем, что воззрения пространства и времени бывают развиты у человека вполне и до полной ясности с момента его рождения.

4 Анализ ощущений (изд. С. Скирмунта).

403