Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2_semestr мех мат

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.03.2015

Размер:

468.78 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 92 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

2. Знайти iнтеграли:

1)		(x2	+ x + 1)ex dx;				5)	(arcsin x)2 dx;
2)	R	x2		x + 1) sin x dx;			R
		( ax ¡							xearctg xdx
3)	R	eax sin bx dx;					6)			:

4)	R	e cos bx dx;					R		(1 + x2)3
	R				u : I	, v : I			мають неперервнi на iнтервалi
Д1. Нехай функцiї						! R	! Rp

I похiднi n + 1-го порядку. Довести узагальнену формулу iнтегрування

частинами:	kP	R
R
uv(n+1)dx =	n	(¡1)ku(k)v(n¡k) ¡ (¡1)n u(n+1)v dx; x 2 I:
	=0

Д2. Нехай P – алгебраїчний полiном n-го степеня, a =6 0. Довести, що

P (x)eax dx =

an+1

¡ ¢ ¢ ¢

P (x)

P 0(x) +

P 00R(x)

+ ( 1)n P (n)(x)

eax + C:

Д3. Знайти R

arccos p

dx:

1 ¡ x

Б4

1. Знайти iнтеграли:

1)R parcsin x dx;

R 1 ¡ x2

2)x2 arctg 4x dx;

3)R x2 arctg x dx; 1 + x2

2.Знайти iнтеграли:

1)RR px ln2 x dx;

2)R x2e¡2x dx;

3)R x cos x dx;

4)R arctg x dx;

5)R x arctg x dx;

6)x arctg2 x dx;x

dx;

1 + x2

cos x

dx;

sin

arcsin x

dx:

(1 ¡ x2)3

x sin2 x dx;

dx;

2 x

10)

cos

x ln x +¡ 1 dx;

11)

xex

2 dx:

(x + 1)

ЗАНЯТТЯ 5 IНТЕГРУВАННЯ РАЦIОНАЛЬНИХ ФУНКЦIЙ

Контрольнi запитання

1.Теорема про представлення правильного рацiонального дробу у виглядi суми елементарних дробiв.

2.Метод невизначених коефiцiєнтiв.

3.Iнтегрування елементарних рацiональних дробiв.

А5

1. Шляхом представлення правильних дробiв у виглядi суми елементарних знайти iнтеграли:

1)	R			x dx			;
		(x		+ 1)(x + 2)(x + 3)
				x4 dx
2)	R				;
			4	x2
3)		x		+ 5dx+ 4		;
		(x + 1)(x + 2)2
	R
				dx
4)	R							;
			(x2 ¡ 4x + 4)(x2 ¡ 4x + 5)

2. Знайти iнтеграли:

	R	4	3
1)		8 x ¡	3	+ 2)	dx;
1)		8 x ¡	4		dx;
		+ 3x
		x(xx4 dx
2)	R			;
2)	R	(x10 ¡ 10)2		;

5)	R		dx	;
		x + 1)(x2 + 1)
6)		x(dx	;
		4 + 1
	R
		x x4 + 2x2 + x
7)	R			dx:
		(x ¡ 1)(x2 + 1)2

3)R x2n¡1 dx; xn + 1

4)R x4 + 1 dx: x6 + 1

Д1. Для яких значень параметрiв a; b; c; ®; ¯; ° iнтеграл

R ®x2 + 2¯x + ° dx

(ax2 + 2bx + c)2

є рацiональною функцiєю?

Д2. Для натурального n i полiнома n-го степеня P обчислити iнтеграл

P (x)

(x ¡ a)n+1 dx:

Д3. Обчислити iнтеграл

R dx 2n ; де n – натуральне число.

1 + x

Д4. За допомогою методу Остроградського знайти рацiональну частину iнтегралiв:

R (x4 + x2 + 1)2 dx;

R (x54+ x¡+ 1)2 dx:

+ 1

Б5

1. Знайти iнтеграли вiд рацiональних функцiй:

;;

x2 + 1

dx;

x4dx¡ 1

(x ¡ 1)(x + 1)2

+ 1

;

2x + 3

dx;

(x + 1)(x + 1)

R x2

+ x ¡ 2

;

(x ¡ 2)(x + 5)

x4 dx

(x + 1) (x + 1)

2. За допомогою рiзних прийомiв знайти iнтеграли:

x9 dx

dx;

;

10 + 2x5 + 2)2

+11

R x8 + 3x4 + 2;

x(x10 + 2):

ЗАНЯТТЯ 6 IНТЕГРУВАННЯ IРРАЦIОНАЛЬНИХ ФУНКЦIЙ

А6

1. Знайти iнтеграли:

x + 1

;

4 ;

2 ;

x + 1)

(x + 1)

xp2 + x

(x ¡ 1) 4

x + p3

dx:

(x + 1)3(x ¡ 1)

2 + x

2. Знайти iнтеграли вiд квадратичних iррацiональностей:

1)	R px2x+ x + 1 dx;
	+ 1

2)	R	p	x2
				dx:
			x2 + x + 1

3. Застосовуючи рiзнi методи, знайти такi iнтеграли:

;

(x2 + 1) dx

2 + 1

x(x2

1)¡ dx

xpx + x + 1

(x2 + 1)px4 + 1

;

Д1. За допомогою пiдстановок Ейлера:

1) pax2 + bx + c = §p

ax + t; якщо a > 0;

2) p

= xt § p

ax2 + bx + c

c; якщо c > 0;

= t(x ¡ x1)

a(x ¡ x1)(x ¡ x2)

наступнi iнтеграли:

знайтиp

+ 3x + 2 dx:

;

x ¡

1 + p1 ¡ 2x ¡ x2

+ x + 1

;

x + xdx

x + px + 3x + 2

Д2. Iнтеграл вiд бiномного диференцiала

R xm(a + bxn)p dx; де m; n; p – рацiональнi числа,

за теоремою Чебишова зводиться до iнтегрування рацiональних функцiй лише в таких трьох випадках:

Випадок 1. p 2 Z: Застосовується пiдстановка x = tN ; де N – спiльний знаменник дробiв m i n.

Випадок 2. mn+ 1 2 Z: Застосовується пiдстановка a + bxn = tN ; де N – знаменник дробу p:

			n		2 Z
Випадок 3. m + 1 + p					: Застосовується пiдстановка ax¡n + b =
tN ; де N – знаменник дробу p:
Знайти iнтеграли:					2) R p1 ¡ x2 ;	3)	R px2 p8 x			dx:
	R p1 + p3		x2		2) R p1 ¡ x2 ;	3)	R px2 p8 x			dx:
1)		xdx		;	x5dx			1 + p4	x3

1. Знайти iнтеграли:

;dx

+ p

x(1 + 2px + p3

)

;

x + 1

dx;

+ px + 1

¡ 3

¡dx

a)1¡n

¡ b)n+1 dx; n ¸ 1;

;

1dx¡ 2x ¡ x2

;

x + x2

Б6
	R		3x + 1
7)		p		dx;
			x2 + x + 1
8)	R p1 ¡ 3x2 ¡ 2x4 ;
			x dx

R1 ¡ x + x2

9)p1 + x ¡ x2 dx;

Rx + 1

10)(x2 + x + 1)px2 + x + 1 dx;

11)	R xpx4 + 2x2		¡ 1:
		dx

ЗАНЯТТЯ 7

IНТЕГРУВАННЯ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦIЙ

Контрольнi запитання

1.Iнтегрування виразiв sinm x cosn x; m; n 2 Z.

2.Iнтегрування виразiв R(sin x; cos x); де R – рацiональна функцiя. Унiверсальна тригонометрична пiдстановка.

						А7
1. Знайти iнтеграли:
1)	R	cos2 x dx;				5)	R	sin3 x
		2			4	5)		cos	4 x dx;
2)		sin2 x cos5 x dx;						cos	dx
3)	R	sin x cos			x dx;	6)				:
3)	R	sin x cos			x dx;	6)		sin4 x cos2 x		:
	R		dx				R
4)				;
4)			sin x	;
	R					15

dx ; a sin x + b cos x

2. Вивести рекурентну формулу для обчислення невизначеного iнтеграла

In =

sinn x dx;

n ¸ 24:

За допомогою цiєї формули

знайти iнтеграл

sin x dx.

3. Знайти iнтеграли:

sin 5x cos x dx;

sin x cos x

dx;

+ cos x

sin2 2x cos2 3x dx;

6) R

sin x

; sin(a

b) = 0;

;

sin4 x + cos4 x

sin(x + a) sin(x + b)

sin x cos x

dx:

;

2 sin x ¡ cos x + 5

1 + sin

Д1.

Нехай q; r –

рацiональнi

числа.

За

допомогою

пiдстановки

z = sin2 x звести iнтеграл

cosq x sinr x dx до iнтеграла вiд бiномно-

го диференцiала. Для яких

значень q; r

2 Q

цей iнтеграл виражається

через елементарнi функцiї ?

Д2. Довести, що

Ra1 sin x + b1 cos x dx = Ax + B ln ja sin x + b cos xj + C; a sin x + b cos x

де A; B; C – сталi.	a1 sin x + b1 cos x	= A(a sin x + b cos x) +
Вказiвка. Покласти
+B(a cos x ¡ b sin x); де A та B – сталi.
Д3. Довести, що
R	sin x + b cos x + c
	a1a sin x + b1cos x + c	1 dx =		dx
= Ax + B ln ja sin x + b cos x + cj + C R					;
			a sin x + b cos x + c

де A; B; C – деякi коефiцiєнти. Д4. Довести, що

R a1 sin2 x + 2b1 sin x cos x + c1 cos2 x dx = a sin x + b cos x

= A sin x + B cos x + C R

де A; B; C – деякi коефiцiєнти.


1. Знайти iнтеграли:
1)	R	p3			sin3 x dx;
				cos2 x
2)			sin32 x dx;
	R		cos x
3)			cos2 x dx;
5)	R		sin4 x				;
				dx
4)	R	sin 3x cos 2x dx;
	R
				cos x) sin x
			(1 +dx
6)	R					;
			3 + 5 cos x

Б7


7)	R		sin2 x + cos3 x				sin x dx;
			3 cos2 x + sin4 x

8)		sin4 x cos5 x dx;
9)	R			dx		;
			3	5	x
	R		sin	x cos
10)			sin4 x dx;
	R		cos6 x
11)		cos2 ax cos2 bx dx;
12)	R		sin2 x		dx:
			1 + sin2 x
	R

2. Вивести рекурентнi формули для iнтегралiв:

1) In =

; n

2) Kn =

; n

cosn x

sin

Застосувати отриманi формули для знаходження

sin5 x

cos7 x

ЗАНЯТТЯ 8

РIЗНI ПРИЙОМИ IНТЕГРУВАННЯ

Контрольнi запитання

1.Формула замiни змiнної.

2.Формула iнтегрування частинами.

1. Знайти наступнi iнтеграли:

x2e2x dx;

x7e¡x2 dx;

eax cos2 bx dx;

x2ex cos x dx;

+ p

x ;

R qex +¡

1 dx;

А8		³1n¡ x		´
7)	R	³1n¡ x		´	2	e		dx;
		2			2		x
8)		ln x dx; n 2 N;								¢ dx;
9)	R		¡ (x + a)(x + b)							¢ dx;
	R		ln (x + a)x+a(x + b)x+b
10)	R	ln2(x + p							) dx;
10)	R	ln2(x + p				1 + x2			) dx;
11)	R	x arcsin(1						x) dx;
17	R					¡

12)

14)

x arccos x dx;

x arctg x ln(1 + x ) dx:

13)

arccos x

dx;

Д1.

(1 ¡ x )

; 1

Нехай R

– рацiональна функцiя

змiнних,

Довести, що iнтеграл

R R(exp(a1x); exp(a2x); :::; exp(anx)) dx

виражається через елементарнi функцiї.

Д2. Нехай R – рацiональнаRфункцiя, знаменник якої має лише дiйснi коренi. Довести, що iнтеграл R(x)eax dx виражається через елементарнi

функцiї та iнтегральний логарифм

R exax dx = li (eax) + C;

де
Д3. В якому випадку iнтегралli x = R									dx	:
Д3. В якому випадку iнтегралli x = R									ln x	:
					1	³	1	´	x
	³	1	´			P	x		e dx;
де P	³	1	´	a		an			i	a0; a1; :::; an – сталi, є
де P		x		= a0 + x		+ :::R+ xn			i	a0; a1; :::; an – сталi, є

елементарною функцiєю?

Б8

Знайти наступнi iнтеграли:

1)x2 sin 5x dx;

R p

2)R x2e x dx;

3)xex sin x dx;

4)R cos2 px dx; R 1 + exp (2x)

5)(1 + exp (x))2 dx;

6)R pe2x + 4ex ¡ 1 dx;

e¡

dx;

1 ¡ x

xex

dx;

(x + 1)2

x arctg(x + 1) dx;

10)

arcsin p

dx;

11)

x arccos x

dx;

2 3

2(1 ¡

x )

12)

x ch x dx:

ЗАНЯТТЯ 9

КОНТРОЛЬНА РОБОТА. ОСНОВНI МЕТОДИ ОБЧИСЛЕННЯ IНТЕГРАЛIВ

Завдання iндивiдуальнi. Зразок варiанта

1.Знайти первiсну функцiї f(x) = minfsin x; cos xg; x 2 (0; ¼=2).

2.Знайти iнтеграли:

1)	R	x dx	;
		(x4 + 1) arctg x2

R dx

2)(px + 2 + 1)ppx + 2 ¡ 1;

3)R sin(ln x) dx;


	R	(x +22) (x + 2)
4)			6 ¡ 22x ¡2 x2			dx;
5)	R	xp			dx;
5)		xp		x + x + 1	dx;
6)				dx			;
6)		3 cos x + sin x + 1					;
	R	3 cos x + sin x + 1
7)	R	2sin x sin 2x dx:
7)	R	2sin x sin 2x dx:

Розв’язки

1. Маємо	sin x;	0 < x ·	¼	;

f(x) =			4
	(cos x;	¼4 < x < ¼2 :

Функцiя f на промiжках (0; ¼=4) i (¼=4; ¼=2) має первiсну F , причому

F (x) =	¡ cos x + C1;	0 < x <	¼	;
			4
	(sin x + C2;	¼4 < x < ¼2 :

Спiввiдношення мiж сталими C1 i C2 визначимо з умови неперервностi

первiсної на iнтервалi (0; ¼=2):

+´:

Тому

F ³4 ¡´ = F

¡p

+ C1 = p

+ C2

; C2 = C1 ¡ 2:

Покажемо, що

F (x) = ¡ cos x + C;

0 < x ·

4 ;

(sin x ¡ p

+ C;

¼4 < x < ¼2

є шуканою первiсною, тобто, що

³0; 2 ´:

F 0(x) = f(x); x 2

Для точок x 2

це випливає з правил диференцiювання, а

для

x = ¼

– з

наслiдку з теореми Лагранжа: oскiльки iснують односторон-

³¼

³ ¼¡´

³¼

³4

¼ ´

нi границi похiдних F 0

= f

; F

= f

F 0

¼ + = f

¼ .

= f

i F

¡0

³4

= f

одностороннi похiднi

. Отже, iснує

Вiдповiдь:

¡ cos x + C;

0 < x ·

F (x) =

4 ;

(sin x ¡ p

+ C;

¼4 < x < ¼2 :

x dx

d x2

+ 1) arctg x

d (arctg x2)

+ C:

= 2

arctg x2

2 ln j arctg x tj

= p

;

x + 2

x = t2

dx = 2t dt

¯ =

+ 1)

x + 2

2t dt

u = p

;

¡¯

(t + 1)pt

t = u

dt = 2u du

+ 1;

+ 1)u du

= 4

(u2

+ 2)u

=¯4

du ¡

u2 + 2

´ =

= 4u ¡ 2

2 arctg p

+ C; де u =

x + 2 ¡ 1:

3) Двiчi застосуємо формулу

iнтегрування частинами:

¯ =

sin(ln x) dx = ¯

= 1;

0= x

u = cos(ln x)

u = sin(ln x);

= x sin(ln x)

sin(ln x)

¯cos(ln x) dx =

= 1;

v = x¡

u = cos(ln

x);

= x sin(ln x) ¡

¯x sin(ln x)

x cos(ln x) +

sin(ln¯x) dx =

¡ x cos(ln x)

sin(ln x¯)dx:

Отримали лiнiйне рiвняння

вiдносно шуканого iнтеграла, з яко-

го знаходимо

R sin(ln x) dx =

(sin(ln x)

cos(ln x)) + C:

<<< < Предыдущая 12 / 92 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.2025156.72 Кб02_fbD.docx
#
01.07.2025174.59 Кб02_functionalism.doc
#
19.03.2015939.17 Кб122_Kinematyka.pdf
#
19.03.2015124.34 Кб202_modul.doc
#
21.08.201937.6 Кб42_New1.docx
#
19.03.2015468.78 Кб92_semestr мех мат.pdf
#
01.05.2025231.42 Кб02_Stanovlennya_i_rozvitok_geopolitiki__39_c.doc
#
19.03.2015299.01 Кб122_Робоча навчальна програма_АБП_НОВА.doc
#
19.03.2015313.34 Кб62_Робоча навчальна програма_АТП_НОВА.doc
#
12.11.20193.25 Mб32А ЕКОЛОГІЧНА БЕЗПЕКА, ТЕКСТ, 2 видання (переро...doc
#
19.03.201572.53 Кб92Екочинники, адаптації.docx