Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2_semestr мех мат

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.03.2015

Размер:

468.78 Кб

Скачать

☆

1 / 91 2 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

КИЇВСЬКИЙ НАЦIОНАЛЬНИЙ УНIВЕРСИТЕТ IМЕНI ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

НАВЧАЛЬНI ЗАВДАННЯ

ДО ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ З

МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛIЗУ

для студентiв механiко–математичного факультету

(2 семестр першого курсу)

Видавничо-полiграфiчний центр "Київський унiверситет"

2004

Навчальнi завдання до практичних занять з математичного аналiзу для студентiв механiко - математичного факультету (2 семестр першого курсу) / Упорядн. М. О. Денисьєвський, О. О. Курченко, В. Н. Нагорний, А. В. Чайковський, О. Н. Нестеренко. – К.: ВПЦ "Київський унiверситет", 2004. – 89 с.

Наведенi тексти задач i вiдповiдi до них з таких роздiлiв математичного аналiзу: iнтегральне числення функцiй однiєї змiнної, теорiя рядiв, iнтеграл Рiмана – Стiльтьєса. Матерiал структуровано вiдповiдно до плану практичних занять.

Рецензенти

Г. Л. Кулiнiч, доктор фiзико–математичних наук, професор

Ю. Ю. Трохимчук, доктор фiзико–математичних наук, професор

Затверджено Вченою Радою механiко–математичного факультету 15 вересня 2003 року

	ЗМIСТ
ЗАНЯТТЯ 1.	Первiсна й невизначений iнтеграл.
Таблиця основних iнтегралiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		5
ЗАНЯТТЯ 2.	Знаходження невизначених iнтегралiв за допомогою
таблицi основних iнтегралiв та елементарних властивостей . . . . . . . .		7
ЗАНЯТТЯ 3.	Iнтегрування за допомогою пiдстановки . . . . . . . . . . . . . . .	9
ЗАНЯТТЯ 4.	Iнтегрування частинами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	10
ЗАНЯТТЯ 5.	Iнтегрування рацiональних функцiй . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	12
ЗАНЯТТЯ 6.	Iнтегрування iррацiональних функцiй . . . . . . . . . . . . . . . . . .	14
ЗАНЯТТЯ 7.	Iнтегрування тригонометричних функцiй . . . . . . . . . . . . . .	15
ЗАНЯТТЯ 8.	Рiзнi прийоми iнтегрування . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	17
ЗАНЯТТЯ 9.	Контрольна робота.
Основнi методи обчислення iнтегралiв. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		19
ЗАНЯТТЯ 10.	Означення iнтеграла Рiмана.
Критерiй iнтегровностi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		22
ЗАНЯТТЯ 11.	Iнтеграл як границя iнтегральних сум. Теорема Дарбу.	24
ЗАНЯТТЯ 12.	Властивостi визначеного iнтеграла.
Формула Ньютона – Лейбнiца. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		27
ЗАНЯТТЯ 13.	Iнтегрування частинами. Замiна змiнної . . . . . . . . . . . . . . .	31
ЗАНЯТТЯ 14.	Обчислення площi. Довжина дуги . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	34
ЗАНЯТТЯ 15.	Обчислення об’ємiв i площ поверхонь тiл обертання.
Теореми Гульдiна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		36
ЗАНЯТТЯ 16.	Числовi ряди. Основнi поняття . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	38
ЗАНЯТТЯ 17.	Збiжнiсть рядiв з невiд’ємними членами . . . . . . . . . . . . . .	40
	3

ЗАНЯТТЯ 18.	Абсолютно та умовно збiжнi ряди . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	42
ЗАНЯТТЯ 19.	Властивостi збiжних рядiв. Добуток рядiв.
Нескiнченнi добутки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		45
ЗАНЯТТЯ 20.	Збiжнiсть нескiнченних добуткiв. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	48
ЗАНЯТТЯ 21.	Поточкова й рiвномiрна збiжнiсть послiдовностi фун-
кцiй. Геометрична iнтерпретацiя. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		50
ЗАНЯТТЯ 22.	Функцiональнi ряди. Множина збiжностi.
Рiвномiрна збiжнiсть функцiонального ряду . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		52
ЗАНЯТТЯ 23.	Ознаки рiвномiрної збiжностi функцiональних рядiв . . .	55
ЗАНЯТТЯ 24.	Властивостi рiвномiрно збiжних функцiональних рядiв	59
ЗАНЯТТЯ 25. Степеневi ряди. Радiус збiжностi. Властивостi суми . . .		61
ЗАНЯТТЯ 26.	Ряд Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	63
ЗАНЯТТЯ 27. Дiї зi степеневими рядами. Ряди в комплекснiй площинi 65
ЗАНЯТТЯ 28.	Контрольна робота.
Числовi i функцiональнi ряди. Степеневi ряди i ряд Тейлора . . . . . .		68
ЗАНЯТТЯ 29.	Функцiї обмеженої варiацiї . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	72
ЗАНЯТТЯ 30.	Iнтеграл Стiлтьєса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	75
ВIДПОВIДI . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	77
ПРОГРАМА КУРСУ "МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛIЗ" ДЛЯ СТУДЕНТIВ
СПЕЦIАЛЬНОСТЕЙ "МАТЕМАТИКА" ТА "СТАТИСТИКА".
I КУРС, 2 СЕМЕСТР. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		86

ЗАНЯТТЯ 1

ПЕРВIСНА Й НЕВИЗНАЧЕНИЙ IНТЕГРАЛ. ТАБЛИЦЯ ОСНОВНИХ IНТЕГРАЛIВ

Контрольнi запитання

1.Означення первiсної i невизначеного iнтеграла.

2.Таблиця основних iнтегралiв.

3.Елементарнi властивостi невизначених iнтегралiв.

4.Узагальнення означення первiсної.

А1

1. Для функцiї

f(x) = 1 + x2 ; x 2 R

знайти первiсну, графiк якої проходить через точку (1; ¼).

2. Нехай функцiя f : R ! R – непарна i має первiсну F на R. Довести,

що функцiя F – парна.

3. Знайти iнтеграли:

(x2 + 1)2 dx;

+ 1

¡ p

x2 ¡ 1

dx;

¡1

xpx dx;

x + 2

dx;

x+1

³ x2

´p

R ctg

x dx;

¡x

dx;

R x2 + 1 dx;

R (a sin x + b cos x) dx:

4. Знайти iнтеграли:

x dx;

1 ) dx;

e¡jxj dx;

+ 1

max(1; x2) dx:

5. ДляR

¡ j

розривнихj j

функцiй знайти первiснi вRрозумiннi узагальненого озна-

чення:

22 (1; 3);

4) f(x) =

8x;

0 < x 1;

f(x) = [x]; x

f(x) = sign x; x 2 R;

ex;

x · 0;

f(x) = sign(x

¡ 5x + 6);

x 2 R;

>sin ¼x;

x > 1:

Д1. Знайти

[x]

sin ¼x

dx:

Д2. Для функцiй
1) f(x) = sign cos x; x 2 R;	2) f(x) = [x3]; x 2 (0; 2)

знайти первiсну в розумiннi узагальненого означення.

Д3. Знайти функцiю f 2 C1((0; +1)), якщо f0(x2) = x1 ; x > 0: Д4. Знайти функцiю f 2 C1([0; 1]), якщо f0(sin2 x) = cos2 x; x 2 R:

Б1

1. Функцiї f : (a; b) ! R та g : (a; b) ! R мають похiднi на iнтервалi

(a; b). Довести, що:
1) fg є первiсною функцiї f0g + fg0		на (a; b);
2) f є первiсною функцiї	f0g ¡ fg0	на (a; b); g(x) = 0; x	2	(a; b):
g	g2	6	2

2. Нехай функцiя f : R ! R – парна i має первiсну F на R. Довести, що функцiя F ¡ F (0) – непарна.

3. Знайти iнтеграли:

px2 + 1 + p1 ¡ x2 dx;

1 ¡ x

dx;

+ 1

1 ¡ x4

p2x ¡ p3 3x 2 dx;

R e3xx + 1 dx;

dx;

+ 3

) dx;

+ 1

x2 + 3 x

¡ 1

dx;

R ctg2 x dx:

4.Знайти iнтеграли:

1)R xjxj dx;

2)R (x + jxj)2 dx;

3) R min(1; x2) dx;

4) sin jxj dx:

5. Для розривних функцiй знайти первiснi у розумiннi узагальненого означення:

1)f(x) = [3x]; x 2 (0; 2);

2)f(x) = sign(x2 ¡ 3x + 2); x 2 R;

3)f(x) = fxg; x 2 (0; 3), де fxg = x ¡ [x] – дробова частина числа x 2 R.

ЗАНЯТТЯ 2

ЗНАХОДЖЕННЯ НЕВИЗНАЧЕНИХ IНТЕГРАЛIВ ЗА ДОПОМОГОЮ ТАБЛИЦI ОСНОВНИХ IНТЕГРАЛIВ ТА ЕЛЕМЕНТАРНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ

А2

1. Знайти iнтеграли:

R xpxdx+ 1

¡dx

5 ;

3x dx;

11)

R x(1

;

2 ;

x)10 dx;

13)

(5x

dx¡

12)

x(1 + x);

¡x

¡ dx

;

14)

dx;

px + 1 + px

1)100

sin

2x +

15)

;

1 + cos x;

x dx

cos2 x dx;

16)

;

17)

¡dx

;

edx

x + x ¡ 2

+ e

;

18)

sin x sin(x + a) dx;

sin x

x3dx

cos x dx

;

19)

;

p2 + cos 2x

1 + e

10)

9x ¡¢

dx;

20)

x dx

x8 ¡ 2

Д1. Знайти iнтеграл

x4 + 3x2 + 2

Д2. Знайти

iнтеграли:

ch2 x dx;

ch x ch 3x dx:

Д3.

(a; b) i функцiя f

nf 0g

) має розрив першого

Нехай x

C((a; b)

роду в точцi x0. Довести, що функцiя не має первiсної на iнтервалi (a; b).

Б2

1. Знайти iнтеграли:

;

13)

cos4 x dx;

2 ¡ 7x

14)

arctg x2 dx;

;

1 + x

2 + 3x2

15)

arcsin2 x p

;

p3x2

x +¡e

dx;

16)

dx;

e¡dx

(x 2+ 1)

1 ¡x dx

;

x + 1

cos x;

17)

dx;

18)

;

+ x2)2

(x ¡ 1)(x + 3)

x dx

;

19)

;

1)3

¡ 1)(x

21)

+ 3)

2 + e

cos 2x cos 3x dx;

x exp(

x ) dx;

20)

;

dx;

+ 4)(x

+ 9)

10)

sin x

dx;

22)

sin3 x dx;

pcos3 x

11)

tg x dx;

23)

;

x cos

R sin2 x dx;

sin

12)

24)

ch x sh x dx:

2. За Rдопомогою видiлення повних

квадратiв знайти iнтеграли:

;

4x2 + 4x + 5

2x + 5

;

¡dx

R px2

¡ 3x + 2

5 ¡

12x

9x2

p7 ¡ 6x ¡ x2

dx¡

;

ЗАНЯТТЯ 3

IНТЕГРУВАННЯ ЗА ДОПОМОГОЮ ПIДСТАНОВКИ

Контрольне запитання

Формула замiни змiнної для невизначеного iнтеграла

А3

1. За допомогою вiдповiдних пiдстановок знайти iнтеграли:

1 ¡ x

R cosdx

dx;

sin2 x

6 x dx;

cos5 x p

dx;

;

sin x

ex + 1

arctg p

sin x cos3 x

1 + cos2 x dx;

1 + x

2. За Rдопомогою тригонометричних або гiперболiчних пiдстановок знайти

iнтеграли (параметри додатнi):

dx;

;

a2 + x2

(1 x2)3

pa ¡ x

dx;

(x + a )

2 ¡

2 3

Шляхом видiлення повного квадрата знайти iнтеграли:

(x + a)(x + b); 2)

(x ¡ a)(b ¡ x); 3)

¡x + 3x ¡ 2 dx:

Д1. Невизначений iнтеграл

знайти:

x2 + x + 1

1)шляхом видiлення повного квадрата квадратного тричлена;

2)за допомогою пiдстановки px2 + x + 1 = 1 + tx: Порiвняти отриманi вiдповiдi.

Б3

1. За допомогою вказаної пiдстановки знайти iнтеграли:

³x = t ´

R 1 + px + 1

(x + 1 = t

);

R xpx2 ¡ 1

2. Знайти iнтеграли:

e parctg e

x2 dx

;

xxsin

2(ln x)

(x2 + a2)

qa ¡ x

1 + e

dx;

pa + x dx:

;

x ln x ln(ln x)

sin x cos x dx трьома способами:

Обчислити невизначений iнтеграл

1) пiдстановкою

sin x = t;

пiдстановкою cos x = t; 3) перетворенням

пiдiнтегрального виразу за допомогою формули 2 sin x cos x =

sin 2x:

Порiвняти вiдповiдi.


4. Знайти iнтеграли:
1)	R	x2 p3				dx;
					1 ¡ x
			ln x dx
2)	R		xp				;
				1 + ln x

3)px2 dx ;

R px2 ¡ 2

4)(x + a)(x + b) dx:R

ЗАНЯТТЯ 4 IНТЕГРУВАННЯ ЧАСТИНАМИ

Контрольне запитання

Формула iнтегрування частинами для невизначеного iнтеграла.

А4

1. За допомогою iнтегрування частинами знайти iнтеграли:

ln x dx;

arctg p

dx;

x® ln x dx; ® 6= ¡1;

x2sin x dx;

x ln(x

+ 1 + x

) dx;

x arccos x dx;

p1 + x

arcsin x

dx;

pa2 x2 dx:

1 / 91 2 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.03.20161.92 Mб527w.doc
#
19.03.2015303.1 Кб529 мая.doc
#
19.03.2015939.17 Кб122_Kinematyka.pdf
#
19.03.2015124.34 Кб202_modul.doc
#
21.08.201937.6 Кб32_New1.docx
#
19.03.2015468.78 Кб92_semestr мех мат.pdf
#
19.03.2015299.01 Кб122_Робоча навчальна програма_АБП_НОВА.doc
#
19.03.2015313.34 Кб62_Робоча навчальна програма_АТП_НОВА.doc
#
12.11.20193.25 Mб22А ЕКОЛОГІЧНА БЕЗПЕКА, ТЕКСТ, 2 видання (переро...doc
#
19.03.201572.53 Кб92Екочинники, адаптації.docx
#
26.11.2018261.63 Кб33 курс-работа.doc