31. Теорема Лиувилля.

Для геометрической интерпретации механических явлений часто пользуются понятием о так называемом фазовом про­странстве как о пространстве 2s измерений, на координатных осях которого откладываются значения s обобщенных коорди­нат и s импульсов данной механической системы. Каждая точ­ка этого пространства отвечает определенному состоянию си­стемы. При движении системы изображающая ее фазовая точка описывает в фазовом пространстве соответствующую линию, называемую фазовой траекторией. Произведение дифферен­циалов dГ=dq₁…dq_sdp₁…dp_s можно рассматривать как «элемент объема» фазового про­странства. Рассмотрим теперь интеграл, взятый по неко­торой области фазового пространства и изображающий собой ее объем. Покажем, что эта величина обладает свойством ин­вариантности по отношению к каноническим преобразованиям:если произвести каноническое преобразование от переменных р, q к переменным Р, Q, то объемы соответствующих друг другу областей пространств р, q и Р, Q одинаковы: (46,1). Преобразование переменных в кратном ин­теграле производится по формулегде(46,2) это якобиан преобразования. Поэтому дока­зательство теоремы (46,1) сводится к доказательству того, что якобиан всякого канонического преобразования равен единице:D=l.(46,3). Воспользуемся свойством якобианов, которое позволяет обращаться с ними в определенном смысле, как с дробями. «Разделив числитель и знаменатель» якобиана на (q₁, ..., q_s,P₁,, ...,P_s), получим:

Согласно другому правилу якобиан, у которого в «числителе» и «знаменателе» фигурируют одинаковые вели­чины, сводится к якобиану от меньшего числа переменных, при­чем при всех дифференцированиях в нем выпавшие одинаковые величины должны считаться постоянными. Поэтому (46.4) Рассмотрим якобиан, стоящий в числителе этого выражения, Согласно определению это есть определитель ранга s, состав­ленный из элементовдQ_i/дq_k (элемент на пересечении (-i-й стро­ки и k-го столбца). Представив каноническое преобразование с помощью производящей функции Ф (q, Р) в форме (45,8) – (p_i=Ф/q_i , Q_i=Ф/P_i , H^’=H+Ф/t) получим: Q_i/q_k=²Ф/(q_k*P_i) Таким же образом найдем, что I, k-й элемент определителя в знаменателе выражения (46,4) равен ²Ф/(q_i* P_k) Это значит, что оба определителя отличаются только заменой строк на столб­цы и обратно. Поэтому они равны друг другу, так что отно­шение (46,4) равно единице, что и требовалось доказать. Представим себе теперь, что каждая точка данного участка фазового пространства перемещается со временем согласно уравнениям движения рассматриваемой механической системы, Тем самым будет перемещаться и весь участок. При этом его объем остается неизменным: Это утверждение -теорема Лиувилля, непо­средственно следует из инвариантности фазового объема при канонических преобразованиях и из того, что самое изменение р и q при движении можно рассматривать как каноническое преобра­зование. Совершенно аналогичным образом можно доказать инвариантность интегралов ,, …, в которых интегрирование производится по заданным двух-, четырёх-, и т.д. –мерным многообразиям в фазовом пространстве.

32. Движение как каноническое преобразование. Изменение величин p,q при самом движении можно рассматривать как канонические преобразования. Пусть q_t, p_t – значения канонических переменных в момент времени t, а q_t+, p_t+ их значения в момент t+. Последние являются некоторыми функциями от первых и от величины интервала  как от параметра: q_t+=q(q_t,p_t,t,), p_t+=p(q_t,p_t,t,). Если рассматривать эти формулы как преобразование от переменных q_t,p_t к переменным q_t+, p_t+ то это преобразование будет каноническим. Это очевидно из выражения для дифференциала действияS(q_t+,q_t,t), взятого вдоль истинной траектории, проходящей через точки q_t и q_t+ в моменты времени t и t+ при заданном . Сравнение этой формулы с показывает, чтоS и есть производящая функция преобразования. Уравнение Гамильтона – Якоби. Действие – S есть функция координат и времени – S(q,t). Частная производная по времени от этой функции S (q, t) связана с функцией Га­мильтона соотношением S/t+H(q,p,t)=0, а ее частные производные по координатам совпадают с им­пульсами. Заменив в соответствии с этим импульсы р в функ­ции Гамильтона производными S/q мы получим уравнение S/t+H(q₁,…,q_s;S/q₁,…,S/q_s;t)=0 (47.1) которому должна удовлетворять функция S(q,t). Это уравне­ние в частных производных первого порядка; оно называется уравнением Гамильтона — Якоби. Наряду с уравнениями Лагранжа и каноническими уравне­ниями, уравнение Гамильтона - Якоби также является основой некоторого общего метода интегрирования уравнений дви­жения. Переходя к изложению этого метода, напомним предвари­тельно, что всякое дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка имеет решение, зависящее от произвольной функции; такое решение называют общим инте­гралом уравнения. В механических применениях, однако, основ­ную роль играет не общий интеграл уравнения Гамильтона — Якоби, а так называемый полный интеграл; так называется решение дифференциального уравнения в частных производ­ных, содержащее столько независимых произвольных постоян­ных, сколько имеется независимых переменных. В уравнении Гамильтона — Якоби независимыми перемен­ными являются время и координаты. Поэтому для системы с s степенями свободы полный интеграл этого уравнения должен содержать s + 1 произвольных постоянных. При этом, посколь­ку функция S входит в уравнение только через свои производ­ные, то одна из произвольных постоянных содержится в полном интеграле аддитивным образом, т. е, полный интеграл уравне­ния Гамильтона—Якоби имеет вид S=f(t,q₁,…,q_s;₁,…,_s)+A (47.2) где ₁,…,_s и А – произвольные постоянные. {Хотя общий интеграл уравнения Гамильтона—Якоби нам не понадобится, но укажем, что он может быть найден, если известен полный интеграл. Для этого будем считать величину А произвольной функцией остальных по­стоянных: S= f(t,q₁,…,q_s;₁,…,_s)+A(₁,…,_s)

Заменив здесь величины _i функциями координат и времени, которые нахо­дим из s условий S/_I=0 получим общий интеграл, зависящий от вида произвольной функции A(₁,…,_s). Действительно, для полученной таким способом функции S имеем Но величины (S/q_i)_ удовлетворяют уравнению Гамильтона — Якоби, по­скольку функция S(t,q,) есть по предположению полный интеграл этого уравнения. Поэтому удовлетворяют ему и производные S/qi } Выясним теперь связь между полным интегралом уравнения Гамильтона—Якоби и интересующим нас решением уравнений движения. Для этого произведем каноническое преобразование от величин q, р к новым переменным, причем функцию f(t, q, ) выберем в качестве производящей функции, а величины ₁,₂,_s— в качестве новых импульсов. Новые координаты обозначим посредством ₁,₂,_s. Так как производящая функция зависит от старых координат и новых импульсов, мы .должны пользоваться формулами p_i=f/q_i, _I=f/_I, H’=H+f/t. Но поскольку функция f удовлетворяет уравнению Гамиль­тона — Якоби, то мы видим, что новая функция Гамильтона обращается тождественно в нуль: H’=H+f/t=H+s/t=0. Поэтому канонические уравнения для новых переменных имеют вид (_I)’=0, (_I)’=0, откуда следует, что _I=const, _I=const. (47.3) С другой стороны s уравнений f/_I=_I дают возможность выразить s координат q через время и 2s постоянных  и . Тем самым мы найдем общий интеграл урав­нений движения. Таким образом, решение задачи о движении механической системы методом Гамильтона — Якоби сводится к следующим операциям. По функции Гамильтона составляется уравнение Гамильто­на — Якоби и находится полный интеграл (47,2) этого уравне­ния. Дифференцируя его по произвольным постоянным  и приравнивая новым постоянным , получаем систему s алгеб­раических уравнений S/_I=_I (47.4) решая которую, найдем координаты q как функции времени и 2s произвольных постоянных. Зависимость импульсов от вре­мени можно найти затем по уравнениям р_i=S/qi. Если мы имеем неполный интеграл уравнения Гамильто­на — Якоби, зависящий от меньшего чем s числа произвольных постоянных, то хотя с его помощью нельзя найти общий инте­грал уравнений движения, но можно несколько упростить за­дачу его нахождения. Так, если известна функция S, содержа­щая одну произвольную постоянную , то соотношение S/=const дает одно уравнение, связывающее q₁,…,q_s и t. Уравнение Гамильтона—Якоби принимает несколько более простую форму в том случае, когда функция Н не зависит от времени явно, т. е. система консервативна. Зависимость дей­ствия от времени сводится при этом к слагаемому Et: S=S₀(q)-Et (47,5), и подстановкой в (47,1) мы получаем для укоро­ченного действия So(q) уравнение Гамильтона—Якоби в виде H(q₁,…,q_s;S₀/q₁,…,S₀/q_s)=E (47,6)