
- •Грин б.Элегантная Вселенная. — м.: Едиториал урсс, 2004. — 288 с.
- •Предисловие
- •Часть I. На переднем краю познания Глава 1. Связанные струной
- •Три конфликта
- •Глава 1. Связанные струной 13
- •Вселенная в своем самом малом, или что мы знаем о материи
- •Глава 1. Связанные струной 15
- •Взаимодействия, или куда делся фотон
- •Глава 1. Связанные струной 17
- •Теория струн: основная идея
- •Глава 1. Связанные струной 19
- •Теория струн как единая теория всего
- •Глава 1. Связанные струной 21
- •Современное состояние теории струн
- •Часть II. Дилемма пространства, времени и квантов Глава 2. Пространство, время и взгляд наблюдателя
- •Интуиция и ее изъяны
- •Глава 2. Пространство, время и взгляд наблюдателя 25
- •Принцип относительности
- •Глава 2. Пространство, время и взгляд наблюдателя 27
- •Скорость света
- •Глава 2. Пространство, время и взгляд наблюдателя 29
- •Истина и ее последствия
- •Влияние на время. Часть I
- •Глава 2. Пространство, время и взгляд наблюдателя 31
- •Влияние на время. Часть II
- •Глава 2. Пространство, время и взгляд наблюдателя 33
- •Глава 2. Пространство, время и взгляд наблюдателя 35
- •Жизнь на бегу
- •И все же: кто движется?
- •Глава 2. Пространство, время и взгляд наблюдателя 37
- •Влияние движения на пространство
- •Движение в пространстве-времени
- •Глава 2. Пространство, время и взгляд наблюдателя 39
- •Глава 2. Пространство, время и взгляд наблюдателя 41
- •Глава 3. 0б искривлениях и волнистой ряби
- •Ньютоновский взгляд на гравитацию
- •Несовместимость ньютоновской теории тяготения и специальной теории относительности
- •Глава 3. 06 искривлениях и волнистой ряби 45
- •Самая счастливая идея Эйнштейна
- •Глава 3. Об искривлениях и волнистой ряби 47
- •Ускорение и искривление пространства и времени
- •Глава 3. Об искривлениях и волнистой ряби 49
- •Глава 3. Об искривлениях и волнистой ряби 51
- •Основы общей теории относительности
- •Глава 3. Об искривлениях и волнистой ряби 53
- •Некоторые замечания
- •Глава 3. Об искривлениях и волнистой ряби 55
- •Разрешение противоречия
- •Снова об искривлении времени
- •Глава 3. 06 искривлениях и волнистой ряби 57
- •Экспериментальное подтверждение общей теории относительности
- •Глава 3. Об искривлениях и волнистой ряби 59
- •Черные дыры, Большой взрыв и расширение Вселенной
- •Глава 3. 06 искривлениях и волнистой ряби 61
- •Верна ли общая теория относительности?
- •Глава 3. Об искривлениях и волнистой ряби 63
- •Глава 4. Микроскопические странности
- •Глава 4. Микроскопические странности 65 Квантовая теория
- •На кухне слишком жарко
- •Глава 4. Микроскопические странности 67
- •Деление на порции на рубеже веков
- •Глава 4. Микроскопические странности 69
- •Что представляют собой порции?
- •Глава 4. Микроскопические странности 71
- •Волна или частица?
- •Глава 4. Микроскопические странности 73
- •Глава 4. Микроскопические странности 75
- •Частицы материи также являются волнами
- •Волны чего?
- •Глава 4. Микроскопические странности 77
- •Точка зрения Фейнмана
- •Глава 4. Микроскопические странности 79
- •Глава 4. Микроскопические странности 81
- •Квантовые чудеса
- •Глава 4. Микроскопические странности 83
- •Глава 5. Необходимость новой теории: общая теория относительности versus квантовая механика
- •Суть квантовой механики
- •Глава 5. Необходимость новой теории: ото versus квантовая механика 87
- •Квантовая теория поля
- •Глава 5. Необходимость новой теории: ото versus квантовая механика 89
- •Частицы-посланники
- •Калибровочная симметрия
- •Глава 5. Необходимость новой теории: ото versus квантовая механика 91
- •Общая теория относительности и квантовая механика
- •Глава 5. Необходимость новой теории: ото versus квантовая механика 93
- •Часть III. Космическая симфония Глава 6 Только музыка, или Суть теории суперструн
- •Краткая история теории струн
- •Снова атомы в духе древних греков?
- •100 Часть III. Космическая симфония
- •Объединение через теорию струн
- •Глава 6. Только музыка, или Суть теории суперструн 101
- •Музыка теории струн
- •Глава 6. Только музыка, или Суть теории суперструн 103
- •Три следствия жестких струн
- •Глава 6. Только музыка, или Суть теории суперструн 105
- •Гравитация и квантовая механика в теории струн
- •Грубый ответ
- •Глава 6. Только музыка, или Суть теории суперструн 107
- •Глава 6. Только музыка, или Суть теории суперструн 109
- •Ловкость рук?
- •Более точный ответ
- •Глава 6. Только музыка, или Суть теории суперструн 111
- •Глава 6. Только музыка, или Суть теории суперструн 113
- •Не только струны?
- •Глава 7. «Супер» в суперструнах
- •Характер физических законов
- •Глава 7. «Супер» в суперструнах 117
- •Глава 7. «Супер» в суперструнах 119
- •Суперсимметрия и суперпартнеры
- •Доводы в пользу суперсимметрии — до появления теории струн
- •Глава 7. «Супер» в суперструнах 121
- •Глава 7. «Супер» в суперструнах 123
- •Суперсимметрия в теории струн
- •Глава 7. «Супер» в суперструнах 125
- •Суперпроблема изобилия
- •Глава 8. Измерений больше, чем видит глаз
- •Иллюзия привычного
- •Идея Калуцы и уточнение Клейна
- •Глава 8. Измерений больше, чем видит глаз 129
- •Глава 8. Измерений больше, чем видит глаз 131
- •Взад и вперед по Садовому шлангу
- •Глава 8. Измерений больше, чем видит глаз 133
- •Объединение в высших измерениях
- •Глава 8. Измерений больше, чем видит глаз 135
- •Современное состояние теории Калуцы—Клейна
- •Глава 8. Измерений больше, чем видит глаз 137
- •Дополнительные измерения и теория струн
- •Глава 8. Измерений больше, чем видит глаз 139
- •Некоторые вопросы
- •Физические следствия дополнительных измерений
- •Глава 8. Измерений больше, чем видит глаз 141
- •Как выглядят свернутые измерения?
- •Глава 9. Дымящееся ружье: экспериментальные свидетельства
- •Перекрестный огонь критики
- •Глава 9. Дымящееся ружье: экспериментальные свидетельства 145
- •Дорога к эксперименту
- •Глава 9. Дымящееся ружье: экспериментальные свидетельства 147
- •Перебирая возможности
- •Глава 9. Дымящееся ружье: экспериментальные свидетельства 149
- •Суперчастицы
- •Глава 9. Дымящееся ружье: экспериментальные свидетельства 151
- •Частицы с дробным электрическим зарядом
- •Некоторые более отдаленные перспективы
- •Глава 9. Дымящееся ружье: экспериментальные свидетельства 153
- •Оценка ситуации
- •Часть IV. Теория струн и структура пространства-времени Глава 10. Квантовая геометрия
- •Суть римановой геометрии
- •Глава 10. Квантовая геометрия 157
- •Космологическая сцена
- •Существенно новая черта
- •Глава 10. Квантовая геометрия 159
- •Физические свойства намотанных струн
- •Спектр состояний струны *)
- •Глава 10. Квантовая геометрия 161
- •Глава 10. Квантовая геометрия 163
- •Спор двух профессоров
- •Глава 10. Квантовая геометрия 165
- •Три вопроса
- •Два взаимосвязанных понятия расстояния в теории струн
- •Глава 10. Квантовая геометрия 167
- •Минимальный размер
- •Глава 10. Квантовая геометрия 169
- •Насколько общий этот вывод?
- •Зеркальная симметрия
- •Глава 10. Квантовая геометрия 171
- •Физика и математика зеркальной симметрии
- •Глава 10. Квантовая геометрия 173
- •Глава 11. Разрывая ткань пространства
- •Глава 11. Разрывая ткань пространства 177 Волнующая возможность
- •Зеркальная перспектива
- •Глава 11. Разрывая ткань пространства 179
- •Медленный прогресс
- •Рождение стратегии
- •Глава 11. Разрывая ткань пространства 181
- •Поздние вечера в последней обители Эйнштейна
- •Глава 11. Разрывая ткань пространства 183
- •О шести банках пива и работе по выходным
- •Момент истины
- •Подход Виттена
- •Глава 11. Разрывая ткань пространства 185
- •Следствия
- •Глава 12. За рамками струн: в поисках м-теории
- •Краткое изложение результатов второй революции в теории суперструн
- •Глава 12. За рамками струн: в поисках м-теории 189
- •Приближенный метод
- •Классический пример теории возмущений
- •Глава 12. За рампами струн: в поисках м-теории 191
- •Использование теории возмущений в теории струн
- •Глава 12. Jo рамками струн: в поисках м-теории 193
- •Приближает ли к ответу приближение?
- •Уравнения теории струн
- •Глава 12. За рамками струн: в поисках м-теории 195
- •Дуальность
- •Глава 12. За рамками струн: в поисках м-теории 197
- •Мощь симметрии
- •Глава 12. За рампами струн: в поисках м-твории 199
- •Дуальность в теории струн
- •Предварительные итоги
- •Глава 12. За рамками струн: в поисках м-теории 201
- •Супергравитация
- •Проблески м-теории
- •Глава 12. За рамками струн: в поисках м-твории 203
- •Глава 12. За рамками струн: в поисках м-теории 205
- •Общая панорама
- •Сюрприз в м-теории: демократия в протяжении
- •Глава 12. За рамками струн: в поисках м-теории 207
- •Помогает ли это в неразрешенных вопросах теории струн?
- •Глава 13. Черные дыры с точки зрения теории струн и м-теории
- •Черные дыры и элементарные частицы
- •Позволяет ли теория струн продвигаться вперед?
- •Глава 13. Черные дыры с точки зрения теории струн и м-теории 211
- •Убежденно разрывая ткань пространства
- •Глава 13. Черные дыры с точки зрения теории струн и м-теории 213
- •Шквал электронной почты
- •Снова о черных дырах и элементарных частицах
- •Глава 13. Черные дыры с точки зрения теории струн и м-теории 215
- •«Таяние» черных дыр
- •Энтропия черной дыры
- •Глава 13. Черные дыры с точки зрения теории струн и м-теории 217
- •Насколько черно черное?
- •Глава 13. Черные дыры с точки зрения теории струн и м-теории 219
- •Ваш выход, теория струн!
- •Глава 13. Черные дыры с точки зрения теории струн и м-теории 221
- •Нераскрытые тайны черных дыр
- •Глава 13. Черные дыры с точки зрения теории струн и м-теории 223
- •Глава 14. Размышления о космологии
- •Стандартная космологическая модель
- •Глава 14. Размышления о космологии 225
- •Проверка модели Большого взрыва
- •Глава 14. Размышления о космологии 227
- •От планковских времен до сотых долей секунды после Большого взрыва
- •Космологическая загадка
- •Глава 14. Размышления о космологии 229
- •Инфляция
- •Глава 14. Размышления о космологии 231
- •Космология и теория суперструн
- •В начале был комок планковских размеров
- •Почему три?
- •Глава 14. Размышления о космологии 233
- •Космология и вид пространств Калаби—Яу
- •До начала?
- •Глава 14. Размышления о космологии 235
- •Рассуждения о космологии и окончательная теория
- •Глава 14. Размышления о космологии 237
- •Глава 14. Размышления о космологии 239
- •Часть V. Единая теория в XXI веке Глава 15. Перспективы
- •Глава 15. Перспективы 241 Что является фундаментальным принципом теории струн?
- •Что есть пространство и время на самом деле, и можем ли мы без них обойтись?
- •Глава 15. Перспективы 243
- •Глава 15. Перспективы 245 Приведет ли теория струн к переформулировке квантовой механики?
- •Можно ли теорию струн проверить экспериментально?
- •Глава 15. Перспективы 247
- •Существуют ли пределы познания?
- •Достичь звезд
- •Глава 15. Перспективы 249
- •Примечания
- •Глава 1
- •Глава 2
- •Глава 3
- •Глава 4
- •Глава 5
- •Глава 6
- •Глава 7
- •Глава 8
- •Глава 9
- •Глава 10
- •Глава 11
- •Глава 12
- •Глава 13
- •Глава 14
- •Глава 15
- •Словарь научных терминов
- •Рекомендуемая литература
- •Именной указатель
- •Предметный указатель
- •Оглавление
- •Глава 3
- •Глава 4
- •Глава 5
- •Часть III
- •Глава 6
- •Глава 7
- •Глава 8
- •Глава 9
- •Часть IV
- •Глава 10
- •Глава 11
- •Глава 12
- •Глава 13
- •Глава 14
- •Часть V
- •Глава 15
- •Электронное оглавление
- •Глава 4. Микроскопические странности 64
- •Глава 13. Черные дыры с точки зрения теории струн и м-теории 209
- •Глава 14. Размышления о космологии 224
- •Часть V. Единая теория в XXI веке 240
- •Глава 15. Перспективы 240
Спектр состояний струны *)
Возможность новых конфигураций намотанной струны означает, что у энергии струны во вселенной Садового шланга есть два источника: колебательное движение и намотка (топологический вклад). Согласно Калуце и Клейну, каждый тип энергии зависит от геометрии шланга, т.е. радиуса свернутой циклической компоненты, но эта зависимость имеет ярко выраженный «струнный» характер, так как точечные частицы не могут наматываться вокруг измерений. Поэтому попытаемся сначала определить точную зависимость топологических и колебательных вкладов в энергию струны от размера циклического измерения. Для этого удобно разделить колебательные движения струны на две категории: однородные и обычные колебания. Обычные колебания неоднократно рассматривались выше (например, колебания, иллюстрация которых приведена на рис. 6.2). Однородные колебания соответствуют еще более простому движению, а именно поступательному движению струны как целого, когда она скользит из одного положения в другое без изменения формы. Все движения струны являются суперпозициями поступательных движений и осцилляции, т. е. суперпозициями однородных и обычных колебаний, однако сейчас нам удобнее рассматривать такое разделение движений струны. На самом деле обычные колебания играют второстепенную роль в наших рассуждениях, и поэтому их вклады будут учтены лишь после изложения сути наших доводов.
*) Некоторые идеи этого и нескольких следующих разделов довольно нетривиальны, так что читателя не должно смущать то, что какие-то логические звенья в цепочке объяснений могут оказаться непонятными (особенно при первом чтении).
Глава 10. Квантовая геометрия 161
Отметим два существенных наблюдения. Во-первых, энергия однородных колебательных возбуждений струны обратно пропорциональна радиусу циклического измерения. Это является прямым следствием соотношения неопределенностей в квантовой механике. При меньших радиусах струна локализована в меньшем объеме, и поэтому энергия ее движения больше. Следовательно, при уменьшении радиуса циклического измерения энергия движения струны обязательно растет, что объясняет указанную обратно пропорциональную зависимость. Во-вторых, как выяснено в предыдущем разделе, топологические вклады в энергию прямо пропорциональны радиусу, а не обратно пропорциональны ему. Из этих двух наблюдений следует, что ббльшие значения радиуса соответствуют большим значениям топологической энергии и малым значениям колебательной энергии, а малые значения радиуса соответствуют малым значениям топологической энергии и большим значениям колебательной энергии.
В итоге получается важнейший результат: всякому большому радиусу вселенной Садового шланга соответствует некий малый радиус, при котором топологические энергии струны, вычисленные для вселенной с большим радиусом, равны колебательным энергиям струны, вычисленным для вселенной с малым радиусом, а колебательные энергии струны, вычисленные для вселенной с большим радиусом, равны топологическим энергиям струны, вычисленным для вселенной с малым радиусом. Но поскольку физические свойства зависят лишь от полной энергии конфигурации струны, а не от того, как эта энергия распределена между колебательным и топологическим вкладами, нет никакого физического различия между этими геометрически различными состояниями вселенной Садового шланга. А поэтому, что может показаться достаточно странным, в теории струн нет никакой разницы между вселенной толстого Садового шланга и вселенной тонкого Садового шланга.
Все это можно назвать «космическим страхованием сделки», что, в определенной мере, аналогично действиям вкладчика небольшого капитала, столкнувшегося со следующей дилеммой. Предположим, он узнал, что судьба акций одной компании (например, производящей тренажеры) неразрывно связана с судьбой акций другой компании (например, производящей сердечные клапаны для шунтирования). Допустим, что по завершении сегодняшних торгов акции каждой компании стоили по одному доллару, и из авторитетного источника известно, что если акции одной компании пойдут вверх, то акции другой компании упадут вниз, и наоборот. Кроме того, этот абсолютно надежный источник (деятельность которого, однако, может быть не очень-то законной) утверждает, что при завершении завтрашних торгов цены на акции этих двух компаний гарантированно будут обратно пропорциональны друг другу. Например, если одни акции будут стоить $2, то другие — $ 1/2 (50 центов), а если одни будут стоить $10, то другие — $1/10 (10 центов), и т.д. Однако какие именно акции пойдут вверх, а какие упадут в цене, источник сказать не может. Как поступить в такой ситуации?
Что же, вкладчик немедленно инвестирует все свои капиталы на биржевой рынок, распределив их в равных долях между акциями двух компаний. Сделав несколько оценок, легко убедиться, что капитал не уменьшится вне зависимости от того, что произойдет на рынке завтра. В худшем случае капитал не изменится (если акции обеих компаний по завершении торгов будут стоить $1), но любое изменение стоимости акций по известной от источника схеме приведет к увеличению вклада. Например, если акции первой компании будут стоить $4, а акции второй компании будут стоить $ 1/4 (25 центов), то их суммарная стоимость будет равна $4,25 (за каждую пару акций) против $2 накануне торгов. Более того, с точки зрения чистой прибыли совершенно не важно, акции какой компании выросли в цене, а какой компании упали. Если вкладчика волнуют только деньги, два различных исхода неразличимы в финансовом отношении.
Ситуация в теории струн аналогична в том смысле, что энергия струнных конфигураций есть сумма двух вкладов — колебательного и топологического, и эти вклады в полную энергию, вообще говоря, различ-
162 Часть IV. Теория струн и структура пространства-времени
ны. Однако, как подробно обсуждается ниже, определенные пары разных геометрических состояний, соответствующие большой топологической/малой колебательной энергии и малой топологической/большой колебательной энергии, являются физически неразличимыми. И, в отличие от примера из области финансов, в котором при выборе между двумя видами акций могли бы играть роль соображения, отличные от соображений максимальной выгоды, здесь не существует совершенно никакого физического различия между двумя сценариями.
Как станет ясно далее, для более полной аналогии с теорией струн следует рассмотреть случай, когда начальное капиталовложение распределяется неравномерно между акциями двух компаний, например, покупается 1 000 акций первой компании и 3 000 акций второй компании. Теперь полная итоговая стоимость будет зависеть от того, какие акции упадут в цене, а какие вырастут. Например, если акции первой компании будут стоить $10, а акции второй — 10 центов, то начальное капиталовложение $4 000 вырастет до $10 300. Если случится противоположное, т.е. акции первой компании будут стоить 10 центов, а акции второй — $10, то капиталовложение вырастет до $30 100, что значительно больше.
Однако обратная зависимость цен акций гарантирует следующее. Если другой вкладчик распределяет капиталовложения прямо противоположным образом, т. е. покупает 3000 акций первой компании и 1 000 акций второй компании, то в результате он получит $10 300 в случае роста акций второй компании (ту же сумму, которую получит первый вкладчик в случае роста акций первой компании) и $30 100 в случае роста акций первой компании (снова ту же сумму, которую получит первый вкладчик в противном случае). Таким образом, с точки зрения полной стоимости акций обмен типов поднявшихся и упавших в цене акций в точности компенсируется обменом числа акций каждой из двух компаний.
Приняв к сведению последнее наблюдение, снова обратимся к теории струн и рассмотрим возможные энергии струны на конкретном примере. Предположим, что радиус циклического измерения вселенной Садового шланга в 10 раз больше планковской длины. Запишем это в виде формулы R = 10. Струна может быть намотана вокруг этого измерения один раз, два раза, три раза и т. д. Число оборотов струны вокруг циклического измерения называют топологическим числом*) струны. Энергия, обусловленная намоткой струны, определяется длиной намотанной струны и пропорциональна произведению радиуса на топологическое число. Кроме того, любая струна способна совершать колебательные движения. Интересующие нас сейчас энергии однородных колебаний обратно пропорциональны радиусу, т. е. пропорциональны произведению целочисленных множителей на обратный радиус 1/R, равный, в данном случае, одной десятой планковской длины. Мы будем называть эти целочисленные множители колебательными числами2).
Видно, что ситуация очень напоминает ситуацию на фондовой бирже. При этом топологические и колебательные числа являются непосредственными аналогами количеств купленных акций двух компаний, a R и \/R играют роль цен на акции каждой компании по завершении торгов. Вычислить полную энергию струны, зная колебательное число, топологическое число и радиус, так же просто, как вычислить стоимость капиталовложения, исходя из количества акций каждой компании и стоимости акций после завершения торгов. В табл. 10.1 приведен ряд результатов для полных энергий различных конфигураций струн в случае вселенной Садового шланга радиуса R = 10.
Полная таблица была бы бесконечно длинной, так как топологические и колебательные числа могут принимать произвольные целые значения, однако представленный фрагмент таблицы достаточен для обсуждения. Из таблицы видно, что она соответствует ситуации больших топологичес-
*) Английский термин winding number переводят по-разному: «число намоток», «индекс намотки», «топологический индекс», «топологическое число» и т.д. Мы будем переводить его как «топологическое число», подчеркивая связь с различными конфигурациями струны, которые нельзя получить одну из другой путем непрерывной деформации. — Прим. перев.