Суть римановой геометрии

При прыжках на батуте его упругие волокна растягиваются под весом человеческого тела, и батут деформируется. Сильнее всего растяжение вблизи тела человека, а по мере приближения к краям батута растяжение менее заметно. Это наглядно видно, если на батут нанесено знакомое изображение (например, Мона Лиза). Если на батуте никто не стоит, изображение выглядит нормально, но если на батут встает человек, изображение искажается, в особенности непосредственно под человеком (см. рис. 10.1).

Рис. 10.1. Если на батуте с нанесенным изображением стоит человек, изображение сильнее всего искажается под весом тела человека

Этот пример иллюстрирует важнейший принцип описания искривленных поверхностей, принятый в математической формулировке Римана. На основе более ранних наблюдений Карла Фридриха Гаусса, Николая Лобачевского, Яноша Бойяи и других математиков, Риман показал, что детальный анализ расстояний между всеми точками на поверхности объекта или внутри него дает способ вычисления значения кривизны. Грубо говоря, чем больше (неоднородное) растяжение, тем сильнее отклонение от формулы для расстояний в плоском случае, и тем больше кривизна объекта. Например, батут сильнее всего растягивается под ногами человека, и поэтому расстояния между точками в этой области будут сильнее всего отличаться от расстояний в случае ненагруженного батута. Следовательно, кривизна батута здесь будет максимальной. Это интуитивно ясно из приведенного рисунка: именно в таких точках изображение на батуте искажено сильнее всего.

Эйнштейн использовал математические результаты Римана и дал им точную физическую интерпретацию. Как обсуждалось в главе 3, Эйнштейн показал, что гравитационное взаимодействие обусловлено кривизной пространства-времени. Рассмотрим эту интерпретацию более подробно. С математической точки зрения, кривизна пространства-времени, подобно кривизне батута, означает искажение расстояний между точками. С физической точки зрения, действие гравитационной силы на тело есть прямое следствие этого искажения расстояний. По мере того как размеры тел уменьшаются, физика и математика должны согласовываться все лучше и лучше, потому что абстрактное математическое понятие точки становится все ближе к физической реальности. Однако теория струн ограничивает точность, с которой геометрическая формулировка Римана может соответствовать физической природе гравитации, ибо накладывает ограничение на минимальный размер, который вы можете придать физическому телу. Как только вы спускаетесь до размера струны, дальше дороги нет. В теории струн не существует традиционного понятия точечной частицы: в противном случае с помощью теории струн было бы

Глава 10. Квантовая геометрия 157

невозможно реализовать квантовую теорию гравитации. Это определенно свидетельствует о том, что риманова геометрия, в основе которой лежат вычисления расстояний между точками, на ультрамикроскопических масштабах модифицируется теорией струн.

Такое наблюдение несущественно для стандартных приложений общей теории относительности к изучению макросистем. Например, проводя исследования в области космологии, физики, не задумываясь, рассматривают огромные галактики в качестве точек, так как размер галактик пренебрежимо мал по сравнению с размером Вселенной. Этот грубый подход к формулировке римановой геометрии оказывается, тем не менее, исключительно точным — в области космологии успех общей теории относительности очевиден. Однако в ультрамикроскопической области в силу протяженных свойств струн риманова геометрия просто не является подходящим математическим формализмом. Как мы увидим ниже, она должна быть заменена квантовой геометрией теории струн, и эта замена приведет к возникновению поразительных и неожиданных новых эффектов.