Module1_theory_zadachi

1. Сума геометричних векторів (означення). Довести, що операція додавання векторів комутативна і асоціативна, тобто для довільних векторів

2. Добуток геометричного вектора на число (означення). Довести, що для довільних дійсних чисел ,  для довільного вектора виконується

3. Означення рівності двох геометричних векторів. Довести, що для довільного дійсного числа , для довільних векторів виконується

4. Добуток геометричного вектора на число (означення). Довести, що для довільних дійсних чисел ,  для довільного вектора виконується

5. Означення векторного простору. Навести приклад векторного простору (з доведенням).

6. Означення лінійно незалежної, лінійно залежної системи векторів. Довести, що два неколінеарних вектори на площині, три некомпланарних вектори в просторі є лінійно незалежними.

7. Означення лінійно незалежної, лінійно залежної системи векторів. Довести, що два вектори на прямій, три вектори на площині є лінійно залежними.

8. Означення лінійно незалежної, лінійно залежної системи векторів. Необхідна і достатня умова того, що система векторів є лінійно залежною (з доведенням).

9. Базис векторного простору, координати вектора в базисі (означення). Твердження про єдиність розкладу вектора за базисом (з доведенням).

10. Базис векторного простору, координати вектора в базисі (означення). Твердження про координати вектора, який є лінійною комбінацією заданих векторів (з доведенням).

11. Базис векторного простору (означення). Твердження про базис на прямій, на площині (з доведенням).

12. Базис векторного простору (означення). Твердження про базис в просторі (з доведенням).

13. Загальна декартова система координат (означення). Задача про поділ відрізка у заданому відношенні.

14. Ортонормований базис, прямокутна декартова система координат (означення). Задача про поділ відрізка у заданому відношенні.

15. Проекція точки на площину, вектора на площину (означення). Довести, що для довільної площини , довільних векторів виконується

16. Проекція точки на пряму, вектора на пряму в просторі (означення). Довести, що для довільних векторів прямої виконується

17. Проекція точки на пряму, вектора на площину (означення). Довести, що для довільних вектора числа , площини виконується

18. Проекція вектора на вектор (означення). Довести, що для довільних векторів виконується

19. Проекція вектора на вектор (означення). Довести, що для довільних векторів виконується

20. Скалярний добуток векторів (означення). Твердження про властивості скалярного добутку (з доведенням).

21. Скалярний добуток векторів (означення). Вираз скалярного добутку через координати векторів в довільному і ортонормованому базисі (з доведенням).

22. Скалярний добуток векторів (означення). Геометричні властивості скалярного добутку.

23. Векторний добуток векторів (означення). Довести, що

24. Векторний добуток векторів (означення). Довести, що для довільного дійсного числа  виконується

25. Векторний добуток векторів (означення). Довести, що

26. Вираз векторного добутку через координати векторів в довільному і ортонормованому базисі (з доведенням).

27. Мішаний добуток векторів (означення). Довести, що мішаний добуток векторів за модулем дорівнює об’єму паралелепіпеда, який побудований на цих векторах.

28. Мішаний добуток векторів (означення). Довести, що мішаний добуток векторів є додатним (від’ємним), якщо ці вектори є правою (лівою) трійкою.

29. Мішаний добуток векторів (означення). Довести, що мішаний добуток векторів дорівнює 0 тоді і тільки тоді, коли вектори є компланарними.

30. Мішаний добуток векторів (означення). Довести, що Довести, що якщо переставити місцями два вектори в мішаному добутку, то знак мішаного добутку зміниться на протилежний. Довести, що мішаний добуток векторів  лінійна функція кожного з аргументів.

31. Вираз мішаного добутку через координати векторів в довільному і ортонормованому базисі (з доведенням).

32. Подвійний векторний добуток (означення). Довести, що

33. Подвійний векторний добуток (означення). Довести, що

34. Алгебраїчна лінія на площині, алгебраїчна поверхня в просторі (означення). Навести приклад алгебраїчної лінії на площині, алгебраїчної поверхні в просторі.

35. Рівняння площини, яка проходить через задану точку, паралельно двом неколінеарним векторам (у виді мішаного добутку і у виді мішаного добутку в координатній формі) (з доведенням).

36. Рівняння площини, яка проходить через задану точку, паралельно двом неколінеарним векторам (векторно-параметричне і параметричне рівняння) (з доведенням).

37. Рівняння площини, яка проходить через три задані точки (у виді мішаного добутку і у виді мішаного добутку в координатній формі) (з доведенням).

38. Рівняння площини, яка проходить через три задані точки (векторно-параметричне і параметричне рівняння) (з доведенням).

39. Довести, що рівняння площини в ДСК є рівнянням першого порядку. Загальне рівняння площини.

40. Довести, що рівняння першого порядку в ДСК є рівнянням площини. Загальне рівняння площини.

41. Рівняння площини, яка проходить через задану точку, перпендикулярно до заданого вектора (з доведенням). Знаходження відстані від точки до площини.

42. Рівняння прямої в просторі (векторно-параметричне, векторне, параметричне, канонічне) (з доведенням).

43. Рівняння прямої в просторі через дві точки (векторно-параметричне, векторне, параметричне, канонічне) (з доведенням).

44. Загальне рівняння прямої в просторі. Зведення загального рівняння прямої в просторі до канонічного.

45. Канонічне рівняння прямої в просторі. Знаходження відстані від точки до прямої в просторі.

46. Канонічне рівняння прямої в просторі. Знаходження відстані між двома мимобіжними прямими просторі.

47. Заміна базису в просторі. Взаємозв’язок між координатами вектора в старому і новому базисі. Випадок ОНБ.

48. Заміна ДСК в просторі. Взаємозв’язок між координатами точки в старій і новій ДСК. Випадок ПДСК.

49. Заміна базису на площині. Взаємозв’язок між координатами вектора в старому і новому базисі. Випадок ОНБ.

50. Заміна ДСК на площині. Взаємозв’язок між координатами точки в старій і новій ДСК. Випадок ПДСК.

Типи задач модульної контрольної № 1

Задача 1

Задано вектори Знайти

1. 

2. 

3. перевірити, якою (правою чи лівою) буде трійка векторів

4. об’єм паралелепіпеда, який побудований на векторах

5. перевірити, чи будуть вектори компланарними.

6. об’єм тетраедра, який побудований на векторах

7. 

Задача 2

1. Скласти рівняння площини, яка проходить через точку паралельно прямим і

2. Скласти рівняння площини, яка проходить через точки паралельно вектору

3. Скласти рівняння площини, яка проходить через точки паралельно вісі Ox (або Oy, Oz).

4. Скласти рівняння площини, яка проходить через точку і пряму

5. Скласти рівняння площини, яка проходить через точки паралельно прямій

6. Скласти рівняння площини, яка проходить через пряму паралельно вектору

Задача 3

1. Знайти відстань від точки до площини

2. Нехай . Чи перетинає площина відрізок ?

3. Знайти відстань між паралельними площинами і .

Задача 4

1. Знайти проекцію точки на площину [

2. Знайти проекцію точки на пряму

3. Знайти точку, яка симетрична точці відносно прямої площини

4. Знайти точку, яка симетрична точці відносно прямої

5. Звести загальне рівняння прямої до канонічного.

6. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку паралельно прямій .