3. Точечные оценки параметров распределения

По выборке определяются точечные оценки параметров теоретического распределения. Несмещенной и состоятельной оценкой генерального среднего х_г (математического ожидания а = М(Х)) является выборочное среднее , вычисляемое по формуле:

. (1)

Состоятельной, но смещенной оценкой генеральной дисперсии D(X), служит выборочная дисперсия D_в , вычисляемая по формуле:

. (2)

В качестве несмещенной оценки генеральной дисперсии D(X) используется исправленная выборочная дисперсия s²:

.

В качестве несмещенной и состоятельной оценки генерального среднего квадратического отклонения (Х) используется исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение s:

. (3)

4. Критерий согласия пирсона

Проверка любой статистической гипотезы осуществляется с заданным уровнем значимости  - вероятности отвергнуть гипотезу при условии, что она верна, то есть  - допускаемая вероятность совершить ошибку при проверке гипотезы. Очевидно, что эта величина должна быть малой. В лабораторной работе будет использоваться значение уровня значимости  =0,05 , то есть допускаемая вероятность ошибки составляет 5%.

Пусть построена гистограмма для заданной выборки объема n с частичными интервалами одинакового размера h. Таким образом, для каждого частичного интервала вычислены частоты n_j , где j = 1, ... , N, N - число частичных интервалов. По форме выборки делается предположение о типе закона распределения. При проверке этой гипотезы в соответствии с критерием согласия Пирсона при заданном уровне значимости  используется следующий порядок расчета.

1) Для каждого частичного интервала определяются средние точки y_j частичных интервалов:

, (4)

, (5)

где - длина частичного интервала. (6)

x_max , x_min - максимальная и минимальная варианты выборки,

x_j - точки, которыми интервал значений выборки (x_max ; x_min) разбит на частичные отрезки, при этом x₁ = x_min , x_N+1 = x_max .

2) Вычисляются выборочные характеристики: выборочное среднее и исправленное выборочное среднее квадратическое отклонениеs.

3) Вычисляются теоретические частоты предполагаемого распределения:

а) для равномерного закона по формуле:

, (7)

то есть для всех частичных интервалов теоретические частоты одинаковы;

б) для нормального закона:

, (8)

где , (9)

- плотность нормального нормированного распределения.

в) для показательного (экспоненциального) закона:

, (10)

где _в - выборочный параметр показательного закона распределения:

. (11)

4. Находится наблюдаемое значение критерия “хи-квадрат”:

. (12)

5) Находится критическое значение критерия “хи-квадрат” по уровню значимости  и числу степеней свободы k = N - m_p - 1, где m_p - число параметров распределения, равное m_р = 2 для нормального и равномерного распределений, m_p = 1 для показательного распределения: .

6) Правило проверки гипотезы: если - то выдвинутая гипотеза о типе закона распределения не отвергается, если- то отвергается.