§ 2.6. Нечеткие отношения

Определение 2.15. Нечетким отношением R на множестве Х называется нечеткое подмножество декартова произведения , характеризующееся функцией принадлежности

(2.9)

Значение этой функции понимается как субъективная мера или степень выполнения отношения. Обычное отношение можно рассматривать как частный случай нечеткого отношения, ФП которого принимает значения только лишь 0 или 1. Охарактеризуем теперьосновные свойства нечетких отношений.

Рефлексивность. Нечеткое отношение R на множестве Х называется рефлексивным, если для любого выполнимо равенство:. При конечном множествеХ главная диагональ матрицы такого отношения состоит из единиц. Примерами рефлексивных отношений являются отношения типа «примерно равны» и «не хуже».

Антирефлексивность. Нечеткое отношение R на множестве Х является антирефлексивным, если для любого справедливо:Примером является отношение «много больше».

Симметричность. Нечеткое отношение R на множестве Х является симметричным, если для любых выполняется соотношение:Матрица симметричного нечеткого отношения на конечном множествеХ симметрична. Пример симметричного отношения «значительно различаются по величине».

Антисимметричность. Для антисимметричного нечеткого отношения R на множестве Х характерно следующее свойство: . Примером такого отношения является нечеткое отношение «много больше».

Транзитивность. Нечеткое отношение R на множестве Х является транзитивным, если выполняется соотношение: В качестве характерного примера можно назвать отношение «много больше».

§ 2.7. Нечеткая логика

Так же как в основе теории четких множеств лежит четкая логика, в случае нечетких множеств существует нечеткая логика - основа для операций над ними. В случае двузначной четкой логики существуют полные системы, образуемые операциями НЕ-И-ИЛИ, НЕ-И и НЕ-ИЛИ. С их помощью можно записать все другие логические операции. Но в случае нечеткой логики можно создать неограниченное число операций, поэтому нет смысла говорить о записи всех операций с помощью некоторого числа базовых операций. Учитывая это, ограничимся наиболее важными операциями.

Нечеткое отрицание - аналог четкой операции НЕ - представляет собой бинарную операцию отрицания в нечетком смысле оценки [0,1], дающую в ответе оценку [0,1]. Аксиоматическое определение для x[0,1]; ⊝: [0,1][0,1] записывается в виде:

1) ;

2) ;

3) x₁<x₂ .

Здесь аксиома 1 сохраняет свойства двузначного НЕ и означает, что «нечеткое отрицание 0 равно 1», другими словами, является граничным условием. Аксиома 2 является правилом двойного отрицания, утверждающим, что взятие дважды отрицания возвращает нас к исходной оценке.

Аксиома 3 - наиболее существенное требование понятия «отрицание»: «нечеткое отрицание инвертирует (в смысле строгого неравенства) последовательность оценок (т.е. меняет местами хорошие и плохие оценки)». Если отложить x на оси абсцисс, а x^⊝ -на оси ординат, то отрицание можно интерпретировать как монотонную строго убывающую функцию.

Все функции, удовлетворяющие аксиомам 1-3, являются нечетким отрицанием.

Типичная операция нечеткого отрицания – «вычитание из 1»

x^⊝=1-x.

С точки зрения нечетких множеств это соответствует понятию дополнительного нечеткого множества.

Нечетким расширением И. аналогичным четкой операции И, является t-норма (или триангулярная норма). Как схема t-норма - это схема с двумя входами и одним выходом, как функция - это функция двух переменных. Известны 4 аксиомы t -нормы:

Аксиома T1 справедлива также для четкого И (это граничные условия). Аксиомы Т2 и ТЗ - законы пересечения и объединения, на аппаратном уровне их можно интерпретировать в виде: «входные контакты равнозначны, нет необходимости их различать», «если проектировать трехвходовые и более входовые элементы с помощью двухвходовых, то можно не различать порядок их объединения». Аксиома Т4 является требованием упорядоченности и гарантирует, что «введение третьей оценки не изменит порядок оценок». Типичной t -нормой является операция min или логическое произведение:

Оно соответствует понятию «пересечение нечетких множеств».

Нечеткое расширение ИЛИ - S -норма называется также t-конормой, ее можно обсуждать вместе о t-нормой. Среди аксиом только граничное условие отличается от случая t -нормы, остальные аксиомы те же самые:

Типичной S-нормой является логическая сумма, определяемая с помощью операции max:

Кроме нее существуют:

алгебраическая сумма x₁ x₂,

граничная сумма x₁  x₂ и

драстическая сумма x₁  x₂: