Алгоритм Рауса

1. Полагаем

2. Полагаем

(если , то полином неустойчив), пересчитываем коэффициенты по формулам

и полагаем .

3. Если , возвращаемся к пункту 2. Если , то полином устойчив. В остальных случаях полином неустойчив.

Алгоритму Рауса часто придают табличную форму: коэффициенты , полученные на первом шаге, записывают в первую строку таблицы. Каждая последующая строка содержит на один элемент меньше; она получается из предыдущей при помощи пересчета на основе леммы (шаг 2 алгоритма). В результате получают треугольную таблицу Рауса, и для устойчивости необходимо и достаточно, чтобы элементы первого столбца таблицы были положительны (условие на шаге 3). Существуют и иные, несколько более экономные схемы вычислений в алгоритме Рауса.

Существуют и другие алгебраические критерии устойчивости. Самый известный из них — это критерий Гурвица, формулируемый с помощью определителей. Он, однако, гораздо менее удобен с вычислительной точки зрения, чем алгоритм Рауса, и мы на нем останавливаться не будем.

Устойчивость дискретных полиномов

Приведем теперь аналоги этих же условий устойчивости для дискретных систем. Задан полином с вещественными коэффициентами

нас интересует, когда он является устойчивым по Шуру, т. е. когда его корни находятся вне единичного круга. Аналогом критерия Михайлова является следующий критерий.

Теорема 5.6. Полином ( ) шуровский тогда и только тогда, когда годограф

не охватывает начала координат.

Действительно,

если находится вне единичного круга, то приращение аргумента равно нулю, когда пробегает единичную окружность. Если же лежит внутри единичного круга, то приращение аргумента равно ; таким образом, годограф охватывает начало координат к раз, если к — число неустойчивых корней .

При пользовании графическими критериями удобство соглашения относительно корней устойчивого полинома налицо: никакого труда не составляет определить по графику, охватывает ли кривая начало координат, в то время как посчитать число оборотов вокруг нуля бывает сложно или невозможно, например, если P(z) = zⁿ. При иных подходах бывает проще проверить принадлежность корней внутренности единичного круга,; для этого можно воспользоваться следующим соображением. При изменении порядка коэффициентов полинома на обратный,

его корни переходят во взаимно обратные:

Приведем теперь аналог алгоритма Рауса для дискретного случая (называемый дискретным критерием Рауса-Шура). Наряду с полиномом рассмотрим полином с теми же коэффициентами, но записанными в обратном порядке:

(5.17)

и возьмем их линейную комбинацию

Полином P(z) будет иметь степень , т.е. на единицу меньше степени P(z). Утверждение, аналогичное лемме 5.1, заключается в следующем (приведем его без доказательства).

Лемма 5.2. Если

и полином устойчив, то и устойчив; в противном случае неустойчив.

Таким образом, рекуррентно понижая степень полинома, придем к полиному первой степени вида . Он устойчив при || > 1. . sm самым получаем простой алгоритм проверки устойчивости дискретных полиномов.

Если корни P(z) (3.16) лежат вне единичного круга, то P(z) не меняет знак для всех . С учетом Р(0) = а₀ > 0 это дает и .

Приходим к следующим простым необходимым условиям устойчивости:

Отметим еще, что имеется также простое достаточное условие:

и дискретный полином P(z), удовлетворяющий этому условию, называется сверхустойчивым.

Генерировать устойчивые полиномы можно как на основе леммы 5.2 (применяя ее «в обратном направлении», т.е. повышая степень полиномов), так и пользуясь следующей параметризацией.

Лемма 33. Людой устойчивый полином P(z) степени с Р(0) = 1 может быть получен с помощью рекуррентной процедуры

Числа t_k иногда называют параметрами Фама—Медича. Таким образюм, каждой точке единичного куба в ставится во взаимно однозначное соответствие устойчивый полином.

Таким образом, мы нашли графические и алгебраические критерии устойчивости (гурвицевой и шуровской) для полиномов. Следующим естественным шагом было бы установление таких же критериев для матриц, т.е. способов проверки требуемого расположения собственных значений матрицы без их явного вычисления. К сожалению, такие методы отсутствуют. Единственный известный подход — для заданной матрицы А построить ее характеристический полином P(s) = det (sI — А) (для этого cуществуют эффективные алгоритмы — они совпадают с методами приведения матриц к фробениусовой форме), а затем применить критерии устойчивости полиномов.