АЛГЕБРА ЛОГИКИ
•Основные понятия булевой алгебры.
•Алгебра булевых функций.
•Логические выражения в программировании.
1. Основные понятия булевой алгебры
На улице идет дождь. |
|
Число 5 больше 4. |
высказывания |
Значение переменной а больше 0.
|
|
|
ложно |
истинно |
|
|
|
логические переменные (булевские) |
|
А |
В |
С |
|
|
x |
х1 |
х2 |
0 |
1 |
Основные логические операции
Отрицание |
|
|||
не - |
|
|
┌ |
2 |
|
|
|
|
2 = 4 |
A |
|
|
|
|
A |
4 : 2 = 2 |
|||
0 |
1 |
|
||
|
|
|||
1 |
0 |
|
|
|
Импликация
Конъюнкция Дизъюнкция
|
и |
|
& |
или |
|
|
A B |
A |
B |
A B A B |
|||
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
Эквивалентность
если … то … → A |
B |
A B |
~ |
A |
B A ~ B |
|
0 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
Основные законы булевой алгебры
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
алгебра логики |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
классическая арифметика |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Закон двойного |
|
отрицания: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
A = A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. Закон коммутативности (перестановка аргументов):
A B = B A A B = B A
a b b a a b b a
3. Закон ассоциативности (порядок вычислений):
A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C
a b c) a b c a b c a b c
алгебра логики |
|
классическая арифметика |
|
||
|
4. закон дистрибутивности (раскрытия скобок):
A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C)
a b c a b a c
5. Правила де Моргана:
A B = A B
A B = A B
6. Правила операций с константами 0 и 1:
0 = 1, |
1 = 0 |
A 0 = A, |
A 1 = 1 |
A 1 = A, |
A 0 = 0 |
a 0 a |
|
a 1 a |
a 0 0 |
7. Правила операций с переменной и её инверсией:
A A = 1 |
A A = 0 |
a a 0
2. Алгебра булевых функций
F(A,B,...)=
импликация эквивалентность
конъюнкция дизъюнкция отрицание базис
Приоритет |
Алгебра логики |
|||
1 |
отрицание |
|
|
|
|
|
|
||
2 |
Конъюнкция |
|
|
|
3 |
Дизъюнкция |
|
|
|
4 |
импликация, |
→ |
||
|
эквивалентность |
~ |
||
Математическая алгебра
- (унарный минус)
*
+
A |
B |
A→B |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
A |
B |
A ~ B |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 2
A→B = A B
Всего: 22 = 4 |
1 |
2 |
3 |
|
4 |
|
А |
В |
|
1с |
3с 2с |
||
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 арг: 4 : 2 = 2 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
|
1 |
|
2 арг: 2 : 2 = 1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
5 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A~B = |
(A |
3 B) (A B) |
|
|
|||||||||
1 |
2 |
|
|
3 |
|
4 |
|
5 |
6 |
7 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3с 4с |
|
5с 6с |
|
А |
В |
|
|
|
|
|
1с 2с |
|||||
|
|
1с |
|
|
2с |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
0 |
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
1 |
|
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
0 |
|
|
1 |
|
0 |
0 |
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
1 |
1 |
||
Пример 1: 1 |
2 |
|
F A, B A |
B |
B |
Пример 2: |
3 2 1 |
||||
F A, B A B |
|
||||
B |
|||||
|
|
|
|
|
|
A A = 0 |
|
|
|
||
A 0 = A, |
|
|
|
||
F A, B A 0 A |
|||||
А |
В |
F(A,B) |
|||
0 |
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|
|
1 |
0 |
|
1 |
|
|
0 |
1 |
|
1 |
|
|
1 |
1 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
А |
В |
1с 2с |
3с 2с |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
3 |
|
4 |
5 |
|
А |
В |
|
|
|
2с 3с |
1с 4с |
|
2с |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
|
Пример 3:
1 |
2 |
F A, B,C A |
B C |
Всего: 23 = 8 1 арг: 8 : 2 = 4 2 арг: 4 : 2 = 2 3 арг: 2 : 2 = 1
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
||
А |
|
В |
|
С |
1с 2с |
4с → 3с |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
1 |
1 |
Пример 4: |
|
1 |
5 |
3 |
7 |
6 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
F A, B,C A |
|
|
C A ~ C |
|
|
|
|
|||||||||||||
B |
|
|
|
|
||||||||||||||||
Всего: 23 = 8 |
|
|
|
1 арг: 8 : 2 = 4 |
|
|
|
2 арг: 4 : 2 = 2 |
3 арг: 2 : 2 = 1 |
|||||||||||
1 |
2 |
3 |
|
|
4 |
|
|
5 |
6 |
|
7 |
8 |
9 |
|
||||||
|
А |
|
В |
|
С |
|
|
|
|
2с 3с |
|
|
|
4с 6с |
1с ~ 3с |
7с → 8с |
|
|||
|
|
|
|
|
1с |
|
|
|
5с |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
0 |
|
|
1 |
|
|
0 |
1 |
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
1 |
|
|
1 |
|
|
0 |
1 |
|
1 |
0 |
|
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
0 |
|
|
1 |
|
|
0 |
1 |
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
0 |
|
1 |
0 |
|
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
1 |
|
1 |
0 |
|
0 |
|
|||
|
1 |
|
0 |
1 |
|
|
0 |
|
|
0 |
1 |
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
1 |
|
1 |
0 |
|
0 |
|
|||
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
0 |
|
|
1 |
0 |
|
0 |
1 |
|
1 |
|
|||