Занятие 13 Полная вероятность

Занятие 13. Формула полной вероятности. Формула Байеса. I.Учебные вопросы

1.Формула полной вероятности.

2.Формула Байеса.

II.Методические указания студентам по подготовке к занятию

Вопросы и задачи для самоконтроля знаний.

1)Дать определение полной группы событий.

2)Записать и доказать формулу полной вероятности.

3)Записать формулу Байеса.

Задачи для аудиторной работы.

Задача 1. В магазин поступили телевизоры от 3 фирм. На долю первой фирмы приходится 50% от общего числа поставок, на долю второй – 20%, а на долю третьей – 30%. Из практики известно, что бракованными оказываются 4% поставляемых первой фирмой, 3% поставленных второй фирмой и 5% поставляемых третьей фирмой.

1)Найти вероятность того, что купленный в данном магазине телевизор окажется бракованным.

2)Найти вероятность того, что купленный в магазине и оказавшийся бракованным телевизор, был произведён первой фирмой.

Решение:

1) Воспользуемся формулой полной вероятности.

Пусть событие А состоит в том, что купленный в данном магазине телевизор окажется бракованным. Данное событие может происходить только при наступлении одной из гипотез. Введем гипотезы: H1 – телевизор поставлен первой фирмой;

H2 – телевизор поставлен второй фирмой;

H3 – телевизор поставлен третьей фирмой.

Вероятности этих гипотез даны в задаче: P H1 0,5; P H2 0,2; P H1 0,3.

Тогда,

2) Так как событие уже произошло, телевизор оказался бракованным, воспользуемся формулой Байеса. Вероятность того, что телевизор окажется бракованным, уже вычислена. Теперь можно переоценить вероятность первой гипотезы при условии, что событие А уже произошло:

Ответ: 1) 0,041; 2) 20 . 41

Задача2. В первой урне лежит 2 белых и 5 черных шаров, во второй – 3 белых и 4 черных. Из первой урны во вторую наугад перекладывают один шар, затем из второй достают один шар. Какова

вероятность того, что он белый? Ответ: 23 56

Задача 3. В сентябре вероятность дождливого дня равна 0,3. Команда «Статистик» выигрывает в футбол в ясный день с вероятностью 0,8, а в дождливый день эта вероятность равна 0,3. Известно, что в сентябре они выиграли некоторую игру. Какова вероятность, что в тот день шел дождь?

Решение:

2

Так как событие уже произошло, команда выиграла игру, воспользуемся формулой Байеса.

Пусть событие А состоит в том, что команда «Статистик» выиграет в футбол. Данное событие может происходить только при наступлении одной из гипотез. Введем гипотезы:

Задача 4. 5% всех мужчин и 0,25% женщин – дальтоники. Наугад выбранный человек оказался дальтоником. Какова вероятность, что это мужчина? Ответ: 0,95.

Задача 5. В кондитерском цехе выпускаются торты и пирожные, причем пирожных в 4 раза больше. 10% тортов и 35% пирожных изготавливаются с орехами. Наугад выбранное изделие оказалось с орехами. Какова вероятность того, что это торт?

Решение:

Так как событие уже произошло, изделие оказалось с орехами, воспользуемся формулой Байеса. Пусть событие А состоит в том, что изделие окажется с орехами. Данное событие может происходить только при наступлении одной из гипотез. Введем гипотезы:

H1 – данное изделии является тортом;

H2 – данное изделии является пирожным.

Найдем вероятности этих гипотез. По условию задачи пирожных выпускается в 4 раза больше, чем тортов. Значит, если всю продукцию разделить на 5 частей, то 4 части составят пирожные, а одну

Задача 6. Вакцина формирует иммунитет против краснухи в 95% случаев. Известно, что вакцинировалось 30% популяции. Предположим, что вероятность заболеть краснухой у

3

вакцинированного человека без иммунитета такая же, как у невакцинированного, и равна р. Какова вероятность того, что человек, заболевший краснухой, был вакцинирован?Ответ: 0,07.

Задача 7. Для сдачи зачета по физкультуре из первой группы пришло 20 человек, из второй – 15, из третьей – 10. Студент первой группы сдает зачет с вероятностью 0,7, второй – с вероятностью 0,8, с третьей – 0,9. Наудачу выбранный студент не сдал зачет по физкультуре. Какова вероятность того, что это был студент из второй группы?

Решение:

Так как событие уже произошло, студент не сдал зачет по физкультуре, воспользуемся формулой Байеса.

Пусть событие А состоит в том, что студент не сдаст зачет по физкультуре. Данное событие может происходить только при наступлении одной из гипотез. Введем гипотезы:

Ответ: 0,3.

Задача 8. Некоторое заболевание, встречающееся у 5% населения, с трудом поддаётся диагностике. Один грубый тест на это заболевание даёт положительный результат (указывающий на наличие заболевания) в 60% случаев, когда у пациента есть заболевание, и в 30% случаев, когда заболевания нет. Пусть для конкретного человека этот тест дает положительный результат. Какова вероятность того, что у него есть заболевание? Ответ: 0,09.

Домашнее задание

1.Приборы одного наименования изготавливаются на трех заводах. Первый завод поставляет 45% всех изделий, поступивших на производство, второй – 30% и третий 25%. Надежность прибора, изготовленного на первом заводе, равна 0,8, на втором – 0,85 и на третьем – 0,9. Определите полную надежность прибора, поступившего на производство.

2.Путешественник может купить билет в одной из трех касс железнодорожного вокзала. Вероятность того, что он направиться к первой кассе, - ½, ко второй – ⅓, к третьей – 1/6 . Вероятности того, что билетов уже нет в кассах, таковы: в первой кассе - 1/5 , во второй - 1/6, в третьей- ⅛. Путешественник обратился в одну из касс и получил билет. Определите вероятность того, что он направился к первой кассе.