1.2 Исследование теплового состояния матричной лопатки

соплового аппарата первой ступени турбины ГТД

методом конечных элементов

1.2.1 Постановка задачи исследования теплового состояния матричной

лопатки.

В отличие от лопатки с дефлектором, охлаждаемая матричная лопатка обладает более сложной геометрией поперечного сечения, что обусловливает значительно большую неравномерность распределения температуры. Однако известно, что в большинстве случаев величины тепловых потоков по высоте лопатки отличаются незначительно и поэтому неравномерностью распределения температуры по высоте можно пренебречь. В этом случае задача исследования теплового состояния лопатки сводится к задаче нахождения двухмерного температурного поля в среднем сечении по высоте лопатки в каждый момент времени.

рис. 3 - Профиль матричной лопатки охлаждаемой турбины

Будем предполагать, что температура газа и температура охлаждающего воздухане меняются с течением времени и одинаковы для любого участка профиля. Коэффициенты теплоотдачи от газа к лопаткеи от лопатки к охлаждающему воздухуна каждом участке границы профиля также считаем постоянными и равными их соответствующим средним значениям на участке.

С учетом сделанных допущений распределение температуры по профилю лопатки будет удовлетворять следующей краевой задаче нестационарной теплопроводности:

(1.11)

(1.12)

(1.13)

Здесь через обозначена геометрическая область, занятая профилем лопатки;

- искомая температура; - время, отсчитываемое от начала нагревания;- начальная температура лопатки;- границаi–го участка профиля, омываемого средой с температурой и характеризуемого значением коэффициента теплоотдачи;- температура на границеi–го участка; I – число участков границы профиля.

Получить аналитическое решение задачи (1.11) – (1.13) в общем случае не представляется возможным, поэтому ее решение проводится численно, с использованием вычислительной техники. В настоящей курсовой работе для решения этой задачи используется метод конечных элементов.

1.2.2 Основные соотношения метода конечных элементов

Метод конечных элементов получил широкое распространение как эффективный инструмент решения многих прикладных задач современной техники. В отличие от метода конечных разностей, в котором приближенное решение краевой задачи ищется путем дискретизации соответствующих дифференциальных уравнений, МКЭ основан на численном решении соответствующей вариационной задачи. В вариационном исчислении доказывается эквивалентность задачи отыскания решения краевой задачи вида (1.11) – (1.13) задаче поиска функции , доставляющей минимум функционалу

(1.14)

Переменная величина Ф называется функционалом, зависящим от функции (), если имеет место соответствие: функциисоответствует число Ф.

Идея МКЭ заключается в следующем. Вся область разбивается на подобласти простейшей формы (конечные элементы). В случае плоской задачи в качестве конечных элементов наиболее часто используются четырехугольные и треугольные элементы.

Внутри каждого элемента искомое распределение температуры ищется в виде интерполяционного полинома. Если в качестве интерполяционного используется линейный полином вида

, (1.15)

то соответствующий конечный элемент называется симплекс-элементом.