4. Тепловое излучение Основные формулы:

Закон Стефана-Больцмана

R_э =  T₄ ,

где R_э – энергетическая светимость черного тела (энергия, излучаемая с единицы поверхности тела, в единицу времени, во всем спектральном интервале излучения); T – абсолютная температура тела;  – постоянная Стефана-Больцмана (  = 5,67^.10^–8 Вт/(м^{2 .} К⁴) ).

Закон смещения Вина _max = b΄/ T΄ ,

где _max – длина волны, на которую приходится максимум излучательной способности тела; b΄ – постоянная Вина (b΄ = 2,9·10^-3 м·К ).

Второй закон Вина ( r_{, T}) _max = b΄΄ T⁵ ,

где (r_{, T})_max – максимальная излучательная способность (максимальная спектральная плотность энергетической светимости); b΄΄– вторая постоянная Вина (b΄΄=1,3 ^. 10^–5 Вт/ (м^{3 .} К⁵)).

Излучательная способность тела – это энергия, излучаемая нагретым телом в единицу времени, с единицы поверхности нагретого тела в узком спектральном интервале от  до ( +  ).

Связь между энергетической светимостью и излучательной способностью тела .

Закон Кирхгофа

где – излучательная способность тела; – излучательная способность абсолютно черного тела; – поглощательная способность тела.

Поглощательная способность тела – отношение энергии, поглощенной телом к энергии, падающей на тело, причем и та, и другая энергии берутся в единицу времени и приходятся на единицу поверхности нагретого тела.

Энергетическая светимость серого тела

R_э = а_T    T4,

где а_T – поглощательная способность серого тела.

Примеры решения задач

Задача 15. Исследование спектра излучения Солнца показало, что максимум спектральной плотности энергетической светимости соответствует длине волны 0,5 мкм. Определить энергетическую освещенность поверхности Земли, принимая Солнце за абсолютно черное тело.

Дано: max = 0,5 мкм = 5  10–7 м rc = 6,96  108 м r = 1,5  1011 м  = 5,6710–8 Вт/(м2К4)	Решение Энергетическая освещенность поверхности Земли равна потоку солнечной энергии, падающей на единицу поверхности Земли. Будем считать Солнце сферой, площадь поверхности которой
Еэ – ?	S = 4  rc2 .

Поток энергии, излучаемой Солнцем,

Ф_с = R_э  4  R² ,

где R_э =  ^.T⁴_c, так как, по условию задачи, Солнце – абсолютно черное тело.

Ф_с =  ^.T⁴_c  4  R² .

Температуру поверхности Солнца Т_с определим из закона Вина

Т_с = b΄/ _max .

Поток солнечной энергии распространяется от Солнца по всем направлениям в пределах 4 радиан (в дальнейшем будем считать Солнце точечным источником). На единицу любой поверхности находящейся на расстоянии r от Солнца, приходится энергия, равная Ф_с / (4^. r²) .

Задача 16. Внутри солнечной системы на том же расстоянии от Солнца, как и Земля, находится частица сферической формы. Полагая Солнце абсолютно черным телом с температурой Т_с = 6000 К и что температура частицы во всех ее точках одинакова, определить ее температуру, считая частицу серым телом.

Дано: r = 1,5.1011 м Тс = 6000 К Rс = 6,96.108 м  = 500 нм	Решение Частица – серое тело, следовательно, ее поглощательная способность одинакова для всех длин волн и при данной температуре частиц а,Т = аT . Так как температура частицы постоянна во всех ее точках, соблюдается условие равновесия:
Тr – ?	мощность излучения, поглощаемого частицей, равна

мощности излучения, испускаемой ею

N_погл = N_изл.

Определим N_погл, исходя из объяснения решения предыдущей задачи. Мощность солнечного излучения, падающего на единицу поверхности частицы, равна

Если учесть, что к Солнцу обращена половина поверхности частицы, то на поверхность частицы падает мощность солнечного излучения, равная

,

где R_c – радиус частицы.

Частица – это серое тело, поэтому она поглощает не всю энергию, а только часть ее.

.

Определим энергию, излучаемую частицей

.

Приравнивая правые части последних соотношений, получим

Задача 17. Определить, за какое время зачерненный металлический шар диаметром D остынет с температуры T₁ до температуры T₂. Теплоемкость шара С. Остывание идет только за счет теплового излучения.

Решение

Теплоемкость твердого тела определяется формулой

,

где dU – это изменение внутренней энергии, так как при нагревании происходит незначительное изменение объема тела.

Вследствие теплового излучения происходит убыль внутренней энергии шара, равная d U = – C d T .

С другой стороны, энергия, излучаемая нагретым шаром за время dt, равна dE =  T⁴  4 R² d t .

Приравнивая правые части последних соотношений, получим

– C d T =  T⁴  4 R² d t.

Проводим разделение переменных и решаем полученные интегралы