Погрешности округлений при представлении чисел в компьютере

Одним из основных источников вычислительных погрешностей является приближенное представление чисел в компьютере, обусловленное конечностью разрядной сетки (см. Международный стандарт представления чисел с плавающей точкой в ЭВМ). Число , не представимое в компьютере, подвергается округлению, т. е. заменяется близким числом , представимым в компьютере точно. Найдем границу относительной погрешности представления числа с плавающей точкой. Допустим, что применяется простейшее округление – отбрасывание всех разрядов числа, выходящих за пределы разрядной сетки. Система счисления – двоичная. Пусть надо записать число, представляющее бесконечную двоичную дробь

где , - цифры мантиссы. Пусть под запись мантиссы отводится t двоичных разрядов. Отбрасывая лишние разряды, получим округлённое число

Абсолютная погрешность округления в этом случае равна

Наибольшая погрешность будет в случае , тогда

Т.к. , где - мантисса числа , то всегда . Тогда и относительная погрешность равна . Практически применяют более точные методы округления и погрешность представления чисел равна

( 1 )

т.е. точность представления чисел определяется разрядностью мантиссы . Тогда приближенно представленное в компьютере число можно записать в виде , где – "машинный эпсилон" – относительная погрешность представления чисел.

Погрешности арифметических операций

При вычислениях с плавающей точкой операция округления может потребоваться после выполнения любой из арифметических операций. Так умножение или деление двух чисел сводится к умножению или делению мантисс. Так как в общем случае количество разрядов мантисс произведений и частных больше допустимой разрядности мантиссы, то требуется округление мантиссы результатов. При сложении или вычитании чисел с плавающей точкой операнды должны быть предварительно приведены к одному порядку, что осуществляется сдвигом вправо мантиссы числа, имеющего меньший порядок, и увеличением в соответствующее число раз порядка этого числа. Сдвиг мантиссы вправо может привести к потере младших разрядов мантиссы, т.е. появляется погрешность округления.

Округленное в системе с плавающей точкой число, соответствующее точному числу , обозначается через (от англ. floating – плавающий). Выполнение каждой арифметической операции вносит относительную погрешность, не большую, чем погрешность представления чисел с плавающей точкой (1). Верна следующая запись:

где - любая из арифметических операций, .

Рассмотрим трансформированные погрешности арифметических операций. Арифметические операции проводятся над приближенными числами, ошибка арифметических операций не учитывается (эту ошибку легко учесть, прибавив ошибку округления соответствующей операции к вычисленной ошибке).

Рассмотрим сложение и вычитание приближенных чисел. Абсолютная погрешность алгебраической суммы нескольких приближенных чисел равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых. Если сумма точных чисел равна

сумма приближенных чисел равна

где - абсолютные погрешности представления чисел. Тогда абсолютная погрешность суммы равна

Относительная погрешность суммы нескольких чисел равна

( 2 )

где - относительные погрешности представления чисел.

Из (2) следует, что относительная погрешность суммы нескольких чисел одного и того же знака заключена между наименьшей и наибольшей из относительных погрешностей слагаемых:

При сложении чисел разного знака или вычитании чисел одного знака относительная погрешность может быть очень большой (если числа близки между собой). Так как даже при малых величина может быть очень малой. Поэтому вычислительные алгоритмы необходимо строить таким образом, чтобы избегать вычитания близких чисел.

Необходимо отметить, что погрешности вычислений зависят от порядка вычислений. Далее будет рассмотрен пример сложения трех чисел.

( 3 )

При другой последовательности действий погрешность будет другой:

Из (3) видно, что результат выполнения некоторого алгоритма, искаженный погрешностями округлений, совпадает с результатом выполнения того же алгоритма, но с неточными исходными данными. Т.е. можно применять обратный анализ: свести влияние погрешностей округления к возмущению исходных данных. Тогда вместо (3) будет следующая запись:

где

При умножении и делении приближенных чисел складываются и вычитаются их относительные погрешности.

≅

с точностью величин второго порядка малости относительно . Тогда .

Если , то ≅

При большом числе n арифметических операций можно пользоваться приближенной статистической оценкой погрешности арифметических операций, учитывающей частичную компенсацию погрешностей разных знаков:

где – суммарная погрешность, – погрешность выполнения операций с плавающей точкой, – погрешность представления чисел с плавающей точкой.