Добавил:
Adel_Mid
pod_dzenom@list.ru
Помогаю с обработкой лабораторных, домашками по электротехнике и матанализу. rnTg: @pod_dzenom
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Для экзамена (билеты, литература) / РЭЦ12026
.pdf
31
Задание 2
( ) cos( )
mu
u t U t
12
( ) ( ) cos( ) sin( ) ,
jt
m u m u m
u t U t U jU U t jU t U e
u
j
mm
U U e
1j
jt
e
()Ut
( ) sin( ) ,
jt
m i m
i t I t I e
i
j
mm
I I e
0
k
n
i
11
0 или 0 ,
nn
mk k
kk
II
/2
k mk
II
АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ В ГАРМОНИЧЕСКОМ РЕЖИМЕ
Задача 2.1 Определение токов и напряжений ветвей с использованием законов Кирхгофа в комплексной форме
Основным способом для анализа цепей в гармоническом режиме (при
синусоидальных или косинусоидальных токах и напряжениях) является расчет в комплексной форме [1-4]. Он состоит в том, что мгновенное значение
гармонической функции, например, напряжение
2.1
изображается на комплексной плоскости вращающимся вектором (рис.2.1) и
представляется комплексным числом в алгебраической, тригонометрической
и показательной форме:
где
2.2
где
- комплексная амплитуда,
полностью определяющая данное напряжение при определенной частоте =2 f; j –
мнимая единица, определяемая как
– начальная фаза напряжения;
u
– опе-
;
ратор вращения.
Равенство (2.2) называют прямым преобразованием и используют для превращения мгновенного значения в комплексное
изображение гармонической функции
.
Аналогично преобразуется любая синусоидальная функция, например, ток:
2.3
.
После расчета цепи в комплексной форме переходят к мгновенным
значениям. ЗТК для мгновенных значений имеет вид
ЗТК в комплексной форме:
2.4
где
– комплекс действующего значения тока.
.
32
Знаки слагаемых в (2.4) определяются так же, как и при анализе рези-
0
k
n
u
0 или 0,
mk k
nn
UU
/2
k mk
UU
1 2 3
( ) 100cos( 45 ), В; ( ) 75cos , В; ( ) 50cos( 90 ), В;u t t u t t u t t
1 2 3
( ) 5cos( 45 ),А; ( ) 4cos( 30 ),А; ( ) 5cos( 90 ),А;i t t i t t i t t
45 0 90
1 2 3
100 , В; 75 75 В; 50 50 В;
j j j
m m m
U e U e U e j
45 30 90
1 2 3
5 , А; 4 , А; 5 5 А.
j j j
m m m
I e I e I e j
+1
+j
1
U
2
U
3
U
2
I
1
I
Рис.2.2
3
I
стивных цепей, с учетом произвольно выбранных положительных направлений токов.
ЗНК для мгновенных значений имеет вид
.
ЗНК в комплексной форме:
2.5
где
– комплекс действующего значения напряжения.
Знаки слагаемых в (2.5) определяются так же, как и при анализе рези-
стивных цепей, с учетом положительных направлений напряжений и направления обхода n-го контура.
По уравнениям ЗТК строятся векторные диаграммы токов для узлов
схемы. По уравнениям ЗНК строятся векторные диаграммы напряжений для
контуров. Эти векторные диаграммы представляют собой замкнутые многоугольники и наглядно, графически, изображают уравнения по законам Кирхгофа.
Уравнения, составленные по (2.4) и (2.5) могут использоваться для оп-
ределения одного из токов в узле или одного из напряжений в контуре, если
остальные известны.
Пример 2.1. Даны выражения для мгновенных значений токов и напря-
жений:
Записать выражения для комплексных амплитуд и построить на ком-
плексной плоскости векторы напряжений и токов.
Решение:
На рис. 2.2 строим векторы напряжений и токов, за-
давшись масштабами напряжений Мu [В/мм] и токов М
[А/мм].
Задание
Для заданного варианта исходных данных из прил. 4
и схем из прил. 5 определить мгновенное, амплитудное и
действующее значения тока i3 (пример 2.2) и напряжения
u3 (пример 2.3), построить векторные диаграммы токов и напряжений.
i
33
Пример 2.2. Определить мгновенное, амплитудное и действующее зна-
12
52
mm
I I А
1
2
( ) 5 2 cos( 30 ),А;
( ) 5 2 cos( 30 ),А.
i t t
i t t
2i1i3
i
+1
+j
2I1I3I1
I
1i
2i
3i
30
1
30
2
5 5cos30 5sin 30 (4.33 2.5),А;
5 5cos( 30 ) 5sin( 30 ) (4.33 2.5),А.
j
j
I e j j
I e j j
1 2 3
0I I I
3
I
90
3 2 1
(4.33 2.5) (4.33 2.5) 5 5 , А.
j
I I I j j j e
3
( ) 5 2 cos( 90 ),А;i t t
3
5 2 А;
m
I
3
5А.I
12
40 2
mm
U U В
чение тока i3 (рис. 2.3,а), если заданы
Построить векторную диаграмму токов.
Решение. Записываем мгновенные значения токов:
а) б)
Рис. 2.3
Переходим к их комплексным изображениям:
, i1=30 , i2= –30 .
Записываем уравнения для ЗТК
:
На рис.2.3, б строим векторную диаграмму токов, задавшись масшта-
бом Мi [А/мм].
Мгновенное i3(t), амплитудное I
и действующее I3 значения тока i3:
m3
Пример 2.3. Определить мгновенное, амплитудное и действующее зна-
чение напряжения u3 (рис. 2.4,а), если заданы
=135 . Построить векторную диаграмму напряжений.
u2
Решение. Записываем мгновенные значения напряжений:
и выразим из него ток
, u1= –135 ,
34
1
2
( ) 40 2 cos( 135 ),В;
( ) 40 2 cos( 135 ),В.
u t t
u t t
2u1u3
u
+1
+j
3
U
1u
2u
2
U
2
U
1
U
1
U
135
1
135
2
40 40cos( 135 ) 40sin( 135 ) ( 20 2 20 2),В;
40 40cos135 40sin135 ( 20 2 20 2),В.
j
j
U e j j
U e j j
1 2 3
0U U U
3
U
3 1 2
( 20 2 20 2) ( 20 2 20 2) 40 2,В.U U U j j
3
( ) 40 2cos ,В;u t t
3
40 2 В;
m
U
3
40 В.U
а) б)
Переходим к их комплексным изображениям:
Записываем уравнения по ЗНК для напряжений в контуре:
и выразим из него
На рис.2.4, б строим векторную диаграмму напряжений, задавшись
масштабом Мu [В/мм].
Мгновенное u3(t), амплитудное U
жения u3:
Рис. 2.4
:
m3
и действующее U3 значения напря-
Задача 2.2 Расчет пассивных цепей в гармоническом режиме
Рассматриваемые цепи имеют один источник и ветви, включенные между собой последовательно или параллельно. В общем случае ветвь может
содержать сопротивление, индуктивность и емкость, включенные между собой последовательно (рис.2.5,а) или параллельно (рис.2.5,б).
Уравнения этих элементов при любом законе изменения токов в них
имеют вид:
35
L
C
R
U
RuLuC
u
i
L CRU
RiLiC
i
0
0
1
; ; ;
11
; ; .
t
L
R R L C C
t
C
R R L L C
di
u Ri u L u i dt
dt C
du
i u i u dt i C
R L dt
( ) cos( )
mu
u t U t
( ) cos( )
mi
i t I t
()
jt
m
u t U e
()
jt
m
i t I e
u
j
mm
U U e
i
j
mm
I I e
1
; ; ; ;
11
; ; ; .
R R L L C C C
R R L L L C C
j
U RI U j LI U I I U ZI
j C C
j
I U I U U I j CU I YU
R j L L
90j
je
901j
e
j
а) б)
Рис.2.5
Пусть напряжение и ток заданы в виде:
Представим их в комплексной форме:
и
(2.6)
.
и
,
где
и
- комплексные амплитуды напряжения и тока.
Подставив комплексные изображения напряжения и тока в уравнения
(2.6), получим уравнения элементов в комплексной форме:
(2.7)
Из сравнения уравнений элементов в виде (2.6) и (2.7) следует важное
правило: изображение производной находится умножением изображаемого
комплекса на j , а изображение интеграла – делением на j . Так как умно-
жению на
соответствует поворот вектора на угол 90 в положитель-
ном направлении (против часовой стрелки), то напряжение на индуктивности
опережает ток на угол 90 . Деление на j (
вектора на угол –90 (по направлению движения часовой стрелки). Поэтому
напряжение на емкости отстает от тока на угол 90 .
) соответствует повороту
36
Для цепи (рис.2.5,а), учитывая, что при последовательном соединении
R L C
I I I I
11
()
R L C
U U U U RI j LI I R j L I
j C C
+1
+j
I
R
U
u
i
LUC
U
U
+1
+j
I
R
I
u
i
U
CIL
I
,
1
()
U U U U
I
R jX Z ze
R j L
C
1
LC
X x x L
C
Z R jX
22
z R X
X
arctg
R
I
элементов ток
, запишем уравнение по ЗНК
и построим по нему векторную диаграмму напряжений (рис.2.6,а):
а) б)
Рис.2.6.
Из (2.8) и векторной диаграммы (рис. 2.6,а) находим:
(2.8)
(2.9)
где R – активное (резистивное) сопротивление цепи;
–
реактивное сопротивление цепи; xL и xС – соответственно индуктивное и емкостное реактивные сопротивления;
ние, модуль которого
– полное сопротивление;
– комплексное сопротивле-
–
аргумент, определяющий угол сдвига фаз между напряжением и током в цепи ( =u–i).
Углы u и I отсчитываются от вещественной оси +1 до векторов U и
, а угол – от вектора токаIдо вектора напряжения U. Если направление
отсчета совпадает с направлением вращения векторов (против часовой стрелки), то знак угла положительный ( >0). Это означает, что ток отстает по
фазе от напряжения и цепь носит индуктивный характер. Если ток опережает
напряжение, то угол <0 и цепь носит емкостной характер. Для случая на
рис.2.6,а:
=u– (–i)=u+i>0.
Запишем уравнения по ЗТК для цепи (рис.2.5,б):
37
1 1 1 1
()
( ) ,
R L C
CL
I I I I U j CU j U j C U
R L R L
G j b b U G jB U YU ye U
(2.10)
1
G
R
1
CL
B b b C
L
Y G jB
22
y G B
B
arctg
G
,
Ek
k
SS
*
2
k k k k k k k
S U I Z I P jQ
*
k
I
k
I
E
S
*
,
E E E E E
S U I P jQ
*
и
EE
UI
где
– активная (резистивная) проводимость;
– ре-
активная проводимость; bС и bL – емкостная и индуктивная реактивные проводимости;
– полная проводимость;
– комплексная проводимость, модуль которой
– аргумент, определяющий
угол сдвига фаз между напряжением и током в цепи ( =u–i).
На рис.2.6,б представлена векторная диаграмма токов для цепи
(рис.2.5,б) в случае, если она имеет емкостной характер.
Полученные выше соотношения позволяют рассчитать простейшую
разветвленную цепь. Для этого вначале записываются комплексы сопротивлений или проводимостей всех ветвей, а затем рассчитывают комплексы токов ветвей и напряжений на элементах цепи, используя законы Ома, Кирхгофа, правила делителя токов и делителя напряжений в комплексной форме.
Для проверки правильности расчета используется баланс мощности в
комплексной форме:
(2.11)
где
– комплекс полной мощности, выделяе-
мой в k-й ветви; P и Q – соответственно активная и реактивная составляющие
полной мощности;
Комплекс полной мощности
– сопряженный комплекс тока
источника напряжения определяется по
.
формуле:
где
– соответственно комплекс напряжения и сопряженный комплекс
тока источника.
Расчет цепи верен, если в выражении (2.11) отдельно равны вещественные и мнимые части, т.е. активная и реактивная мощность, выделяемая
источником равна сумме активных и реактивных мощностей, выделяемых на
всех сопротивлениях цепи.
Задание
Варианты задач приведены в прил. 6. Требуется определить:
- мгновенные и действующие значения токов и напряжений в цепи;
- построить совмещенную векторную диаграмму токов и напряжений;
38
- рассчитать мощность источника, а также активную, реактивную и полную
10 2 ,
m
UВ
L
C
R
1i2i3
i
u
1Z2Z3
Z
3I2I1
I
U
45
45
( ) 10 2 cos( 45 ) 10 2 , В;
10 , В.
j j t
j
u t t e e
Ue
90
1
6
1 1 1
10 10 , Ом;
2 2 3.14 100 160 10
j
C
Z jx j j j j e
C fC
3 90
2
2 2 3.14 100 16 10 10 10 , Ом;
j
L
Z jx j L j fL j j e
0
3
10 10 , Ом.
j
Z R e
45
23
1
23
10 10
10 5 5 5 2 , Ом.
10 10
j
вх
Z Z j
Z Z j j e
Z Z j
мощность, потребляемую элементами цепи. Проверить баланс мощности.
Пример 2.4. Определить мгновенные и действующие значения токов и
напряжений в цепи (рис.2.7,а). Построить векторную диаграмму токов и напряжений. Рассчитать мощность источника, а также активную, реактивную и
полную мощность, потребляемую элементами цепи. Проверить баланс мощности.
Параметры цепи:
=–45 , f=100 Гц, R=10 Ом, L=16 мГн,
U
C=160 мкФ.
а) б)
Рис. 2.7
Решение. Запишем выражение для мгновенного и действующего зна-
чения приложенного к цепи напряжения источника:
Запишем сопротивления ветвей (рис.2.7,б):
Найдем входное сопротивление цепи:
Токи ветвей:
39
45
1
45
45
3
21
45
23
90
45
2
31
45
23
10
2 А;
52
10 10
2 2 1 (0.707 0.707), А;
10 10
10 2
10 10
2 2 1 (0.707 0.707), А.
10 10
10 2
j
j
вх
j
j
j
j
j
Ue
I
Z
e
Z
I I e j
Z Z j
e
Z j e
I I e j
Z Z j
e
1 2 3
(0.707 0.707) (0.707 0.707) 1.41 2 А.I I I j j
90
1 1 1
90 45 45
2 2 2
45
3
10 2 14.14 В;
10 1 10 (7.07 7.07), В;
10 (7.07 7.07), В.
j
СC
j j j
LL
j
R
U Z I jx I e j
U Z I jx I e e e j
U RI e j
45
14.14 (7.07 7.07) (7.07 7.07) 10 , В.
j
СL
U U U j j j e
1 2 3
( ) 2cos , А; ( ) 2 cos( 45 ),А; ( ) 2 cos( 45 ),А;
( ) ( ) 10 2 cos( 45 ), В; ( ) 20cos( 90 ), В.
R L C
i t t i t t i t t
u t u t t u t t
1 2 3
2 А; 1 А; 1 А.
10 2 В; 10 В.
C R L
I I I
U U U
1 2 3
I I I
СL
U U U
1
I
*
1
1
2 А.II
+1
+j
3
I
L
U
C
U
U
2
I
1
I
Рис.2.8
Проверка по ЗТК:
Находим напряжения на элементах:
Проверка по ЗНК:
Мгновенные значения токов и напряжений
Их действующие значения:
На рис.2.8 представлена векторная диаграмма, по-
строенная по уравнениям ЗТК
.
Определим мощность, отдаваемую источником в
цепь. Поскольку для данной задачи в комплексной записи тока
отсутствует мнимая часть, то комплексно сопряженный ток
Тогда:
и ЗНК
источника
40
*
45 45
1
10 2 10 2 (10 10), В А.
jj
E
S U I e e j
2 2 2
1 1 1 1
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
3 3 3 3
10 ( 2) 20 В А;
10 1 10 В А;
10 1 10 В А.
CC
LL
R
S Q Z I jx I j j
S Q Z I jx I j j
S P Z I R I
3 2 1
45
( ) 10 (10 20) 10 10
10 2 , В А.
k R L C
k
j
S S S S P j Q Q j j
e
Ek
k
SS
45 45
10 2 10 2 .
jj
ee
Мощности, потребляемые элементами в ветвях:
Полная потребляемая мощность:
Проверяем баланс мощностей (
):
Следовательно, расчет выполнен верно.
В прил. 7 приведены результаты моделирования схемы в программе
Multisim, подтверждающие результаты выполненного расчета.
Соседние файлы в папке Для экзамена (билеты, литература)