Добавил:
alisavak
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:эконометрика лекции / Lektsia_4_-_po_MNK
.pdf
2. Методе наименьших квадратов (МНК) -
y
y
min)(
2
^
i
ii
yy
классический подход к оцениванию
параметров линейный регрессии. МНК
позволяет получить такие оценки параметров
a и b, при которых сумма квадратов
отклонений фактических значений
результативного признака от расчетных
(теоретических) минимальна, т.е.
(2)
Иными словами, из всего множества линий
^
yyii
min
2
i
i
линия регрессии на графике выбирается так,
чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали
между точками и этой линией была бы
минимальной (рис. 2):
,
следовательно,
y
y
i
y
εi
0
x
Рис.2. Линия регрессии с минимальной дисперсией
Для того чтобы найти минимум функции (2),
2
i
S
2
2
^
)()( bxayyyS
ii
надо вычислить частные производные по
каждому из параметров (a) и (b) и прировнять их
к нулю.
Обозначим через ,тогда:
02
,012
xbxay
db
dS
bxay
da
dS
0222 xbnay
da
dS
0222
2
xbxayx
db
dS
(3)
Преобразуя формулу (3), получим следующую
xyxbxa
yxban
2
,
систему нормальных уравнений для оценки
параметров (a) и (b) :
(4)
Решая систему нормальных уравнений (4)
либо методом последовательного исключения
переменных, либо методом определителей,
найдем искомые оценки параметров (a) и (b).
Можно воспользоваться следующими
xbya
2
___
2
___
xx
xyyx
b
формулами для (a) и (b):
(5)
Формула (5) получена из первого уравнения
системы (4), если все его члены разделить на n.
(6)
Формула (6) получена из второго уравнения
системы (4), если все его члены разделить на n, а
вместо параметра (a) подставить выражение (5).
n
i
ii
yx
n
yx
1
___
1
yyxxyyxx
n
yxyx
n
xyyx
ii
n
i
ii
...
11
11
1
___
n
i
ii
yxyyxx
n
1
,cov
1
22
__
2
x
xx
2
,cov
x
yx
b
yx,cov
2
x
Поскольку , то
и поскольку , то
Где - ковариация признаков;
- дисперсия признака .
Параметр b называется коэффициентом
0b
0b
регрессии. Его величина показывает среднее
изменение результата с изменением фактора на
одну единицу.
Знак при коэффициенте регрессии
показывает направление связи: при - связь
прямая, а при - связь обратная.
Возможность четкой экономической
интерпретации коэффициента регрессии сделала
линейное уравнение регрессии достаточно
распространенным в эконометрических
исследованиях.
Формально a - значение y при x=0 . Если
yVarxVar
признак-фактор x не имеет и не может иметь
нулевого значения, то трактовка свободного
члена не имеет смысла. Параметр a может не
иметь экономического содержания. Попытки
экономически интерпретировать параметр a
могут привести к абсурду, особенно при a<0 .
Интерпретировать можно лишь знак при
параметре. Если a>0, то относительное
изменение результата происходит медленнее, чем
изменение фактора. Иными словами, вариация
результата меньше вариации фактора, т.е.
.
Соседние файлы в папке эконометрика лекции