3. Сравнительный анализ алгоритмов

3.1. Пример работы метода золотого сечения

Рассмотрим поиск минимума функции f(x)=(x−0.5) на интервале [0,1] с точностью ε=0.001.

Золотое сечение:  ,  .

Формулы для точек:

На каждой итерации сравниваем   и  :

• если  , то новый интервал  ;

• если  , то новый интервал  ;

• при равенстве можно выбрать любой.

Вычисления ведутся до тех пор, пока  .

В таблице 1 приведены первые несколько итераций метода золотого сечения (значения округлены до 6 знаков). Значения 4-15 заполняются рекурсивно.

Таблица 1. Метод золотого сечения (итерации)

Итерация	a	b	x1	x2	f(x1)	f(x2)	Сравнение	Новый интервал
1	0	1	0.381966	0.618034	0.013932	0.013932	f₁ = f₂	[0.381966, 1.000000]
2	0.381966	1	0.618034	0.763932	0.013932	0.069660	f₁ < f₂	[0.381966, 0.763932]
3	0.381966	0.763932	0.527864	0.618034	0.000776	0.013932	f₁ < f₂	[0.381966, 0.618034]
…	…	…	…	…	…	…	…	…
16	0.499999	0.500002	0.500000	0.500001	0	0		длина < ε

После 16 итераций интервал сокращается до длины менее 0.001, и приближённое значение минимума  .

3.2. Пример работы метода Фибоначчи

Для той же функции и точности   сначала определяем необходимое число Фибоначчи. .

Числа Фибоначчи:  .

Определение числа итераций  :

Наименьшее   такое, что  :  ,  . Следовательно,  . Количество итераций (вычислений функции, кроме первого шага) равно  . На первой итерации вычисляются две точки, затем на каждой последующей – одна новая.

Общие формулы для k-й итерации ( ):

В таблице 2 приведены первые итерации метода Фибоначчи (используются числа   и  ). Шаги 4-13 выполняются рекурсивно.

Таблица 2. Метод Фибоначчи.

Итерация	a	b	x1	x2	f(x1)	f(x2)	Сравнение	Новый интервал
1	0	1	0.381944	0.618056	0.013937	0.013937	f₁ = f₂	[0.381944, 1.000000]
2	0.381944	1	0.618056	0.763889	0.013937	0.069669	f₁ < f₂	[0.381944, 0.763889]
3	0.381944	0.763889	0.527778	0.618056	0.000772	0.013937	f₁ < f₂	[0.381944, 0.618056]
…	…	…	…	…	…	…	…	…
14	0.499999	0.500001	-	-	-	-		длина < ε