Лаб_12

МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ,

СВЯЗИ И МАССОВЫХ КОММУНИКАЦИЙ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ ИМ. ПРОФ. М.А. БОНЧ-БРУЕВИЧА»

(СПбГУТ)

ФАКУЛЬТЕТ КИБЕРБЕЗОПАСНОСТИ (КБ)

КАФЕДРА ЗАЩИЩЕННЫХ СИСТЕМ СВЯЗИ (ЗСС)

______________________________________________________________________________

Отчет

по лабораторной работе №12

«Поля Галуа»

Выполнили: студенты группы ИБС-32

Проверил:

доцент кафедры ЗСС к.т.н Кушнир Д.В.

Теоретическая часть

Конечное поле или поле Галуа в общей алгебре — поле, состоящее из конечного числа элементов. Это число называется порядком поля.

Конечное поле обычно обозначается Fq или GF(q) (сокращение от англ. Galois field) и называется полем Галуа порядка q, где q — число элементов поля.

С точностью до изоморфизма конечное поле полностью определяется его порядком, который всегда является степенью какого-нибудь простого числа.

Понятие конечного поля используется в теории чисел, теории групп, алгебраической геометрии и криптографии.

Пример (из презентации):

Дано поле GF(2^3) и неприводимый многочлен f(x)=x³ + x + 1.

1. Входные данные в десятичном представлении: 2 и 5. Выполнить сложение.

Переводим в двоичный вид и представляем в виде полинома: 2=10₂ => 1∙x¹+0∙x⁰  =  x 5=101₂ => 1∙x²+0∙x¹+1∙x⁰=  x²+1

Складываем: (x²+1)+(x)=x²+x+1 => 111₂

При необходимости переводим в десятичное представление: 111₂=7

2. Входные данные в десятичном представлении: 5 и 7. Выполнить умножение.

Переводим в двоичный вид и представляем в виде полинома: 7=111₂=x²+x+1

Умножаем: (x²+1)∙(x²+x+1)= x⁴+x³+x²+x²+x+1=x⁴+x³+x+1  ,необходимо привести по модулю (см. лекцию):

(x⁴+x³+x¹+1)%(x³+x+1) = x²+x¹ => 110₂

При необходимости переводим в десятичное представление: 110₂=6

Практическая часть

Задание 1

Поле GF(2^4)

Вариант 3

Полином: x^4+x^3+x^2+x+1

Элементы для построения таблицы умножения: 8, 9, 10

Найти обратные для элементов: 8, 9, 10

Сложить элементы: 8 и 11

1.1 Таблица умножения:

Десятичное представление:

Пример вычислений:

8 = 1000 = x^3

9 = 1001 = x^3+1

10 = 1010 = x^3+x

Для x^2:

8 * 4 = 1000 * 0100 = x^3 * x^2 = (x^5)%(x^4+x^3+x^2+x+1) = 1

9 * 4 = 1001 * 0100 = (x^3+1) * (x^2) = (x^5+x^2)%( x^4+x^3+x^2+x+1) = x^2+1

1.2 Обратимся к таблице умножения, чтобы узнать обратный элемент для чисел 8, 9, 10

Обратный элемент a * а^-1 = 1 mod f(x)

Для 8 => 4

Для 9 => 7

Для 10 => 3

1.3

8 = 1000

11 = 1011

а⁸ + а¹¹ = а^3 + a^3+a+1 = a + 1 = 0010 + 0001 = 0011 = 3

Вариант 16

Полином: x^4+x^3+x^2+x+1

Элементы для построения таблицы умножения: 2, 4, 6

Найти обратные для элементов: 2, 4, 6

Сложить элементы: 7 и 11

1.1 Таблица умножения:

В десятичном формате:

1.2 Из таблицы получаем, что обратные элементы

Для 2 => 14

Для 4 => 8

Для 6 => 5

1.3 Сложить 7 и 11

7 + 11 = 0111 + 1011 = 1100 = 10

Задание 2

Вариант 3

Полином: x^4+x+1

Обратные элементы:

Для 8 => (a^3) * (a^12) = 8 * 15 = 1

Для 9 => (a^14) * (a^1) = 9 * 2 = 1

Для 10 => (a^9) * (a^6) = 10 * 12 = 1

Вариант 16

Полином: x^4+x^3+1

Обратные элементы

2 => a^1 * a^14 = 2 * 12 = 1

4 = > a^2 * a^13 = 4 * 6 = 1

6 => a^13 * a^2 = 6 * 4= 1

8