МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет

«ЛЭТИ» им. В. И. Ульянова (Ленина)

Кафедра МО ЭВМ

отчет

по лабораторной работе №2

по дисциплине «Теория принятия решений»

Тема: Игры с природой

Студентка гр. 2383		Бараева Е. Н.
Преподаватель		Попова Е. В.

Санкт-Петербург

2025

Цель работы

Познакомиться с оптимизационными критериями, используемыми при игре с природой. Применить вероятностные характеристики для решения задач принятия решений с наличием неопределенности.

Задание

1. В платежной матрице по строкам реализуются стратегии игрока, а по столбцам – множество состояний противоположной стороны. Элементы столбцов не являются проигрышами природы при соответствующих её состояниях. Задача выбора игроком чистой или смешанной стратегии проще так как отсутствует противодействие, но сложнее так как существует наличие неопределенности, связанное с дефицитом осведомленности игрока о характере проявления состояний природы.

1. Написать программу, формирующую входную матрицу, размера 10 на 10 с рандомными значениями из заданного диапазона (от 1/(N+1) до N+1, где N – номер варианта). Для критерия Байеса, формируется ещё одна строка с 10 значениями вероятностей, рандомных, в сумме дающих 1. Для критерия Гурвица склонность к риску принять за 1/(N+2).

2. Применить оптимизационные критерии к платежной матрице и выбрать оптимальные стратегии (с помощью инструментальных средств).

2. Сформировать модель игры в дурака с количеством карт 36+N. Начиная с 21 номера можно вводить другой цвет карт.

1. Провести анализ локальных игр.

2. Сформировать количественную шкалу оценки карт.

3. Обозначить градации плохих, средних, хороших карт; плохой, средний и хороший расклад. Подсчитать вероятности и энтропию.

4. Подсчитать с помощью инструментальных средств вероятностную оценку игроком А карт игрока В при условии, что игрок А имеет определенные карты. Сформировать таблицу, построить график.

5. Произвести рефлексивное управление путем демонстрации игроком А 2-х хороших карт игроку В. Просчитать все согласно презентации.

Теоретическое положение

Существует неопределенность, не связанная с осознанным противодействием противника, а возникающая в связи с недостаточной информированностью ЛПР об объективных условиях, в которых будет приниматься решение. В математической модели присутствует «природа», и заранее неизвестно её состояние во время принятия решения, игра при этом называется игрой с природой. Осознанно действует только один игрок. Природа не противник, принимает какое-то состояние, не преследует цели, безразлична к результату игры.

В платежной матрице по строкам реализуются стратегии игрока, а по столбцам – множество состояний противоположной стороны. Элементы столбцов не являются проигрышами природы при соответствующих её состояниях. Задача выбора игроком чистой или смешанной стратегии проще так как отсутствует противодействие, но сложнее так как существует наличие неопределенности, связанное с дефицитом осведомленности игрока о характере проявления состояний природы.

Игра с природой – это математическая модель, в которой один игрок принимает решения в условиях неопределенности, когда "природа" (второй игрок или случайные факторы) действует без четкой цели. В контексте карточной игры роль "природы" играет случайное распределение карт и действия противника.

Критерии принятия решений в условиях неопределенности:

• Критерий Лапласа (принцип недостаточного основания):

• Предполагает равновероятность всех состояний природы

• Оптимальным считается решение с максимальной средней выигрышей

• Критерий Байеса:

• Использует априорные вероятности состояний природы

• Основан на максимизации математического ожидания выигрыша

• Критерий Вальда (максиминный критерий):

• Ориентирован на наихудший сценарий

• Выбирается решение с максимальным из минимальных выигрышей

• Критерий крайнего оптимизма (максимаксный):

• Предполагает наилучший исход

• Выбирается решение с максимальным возможным выигрышем

• Критерий Сэвиджа (минимаксного риска):

• Минимизирует максимальные потери

• Основан на матрице риска

• Критерий Гурвица:

• Компромисс между пессимизмом и оптимизмом

• Использует коэффициент оптимизма

Энтропия Шеннона количественно оценивает степень неопределенности в системе:

где – вероятности различных исходов.

Коэффициент информационного преимущества позволяет количественно оценить превосходство одного игрока над другим на основе доступной информации о картах противника.

Классификация игроков по поведенческим стратегиям:

• Объективисты

• Игроки, не поддающиеся психологическому давлению

• Принимают решения исключительно на основе объективной информации о картах

• Не учитывают потенциальный блеф противника

• Воспринимающие игроки

• Воспринимают всю предоставляемую противником информацию как достоверную

• Легко поддаются психологическому воздействию

• Склонны к переоценке информации от оппонента

• Критические игроки

• Учитывают информацию от противника с определенной степенью доверия

• Используют вероятностную оценку достоверности предоставляемых данных

• Наиболее рациональный подход в условиях неполной информации

Рефлексивное управление – это способ передачи противнику специальной информации с целью склонить его к принятию определенного решения, выгодного инициатору действий.

Выполнение работы

Вариант 4

1. Написать программу, формирующую входную матрицу, размера 10 на 10 с рандомными значениями из заданного диапазона (от 1/(N+1) до N+1, где N – номер варианта). Для критерия Байеса, формируется ещё одна строка с 10 значениями вероятностей, рандомных, в сумме дающих 1. Для критерия Гурвица склонность к риску принять за 1/(N+2).

Для начала необходимо написать код для генерации матрицы, вероятностей для критерия Байеса и параметр для критерия Гурвица согласно варианту. Результат построения представлен на Рисунке 1 и 2.

Рисунок 1. Платежная матрица

Рисунок 2. Вероятности для критерия Байеса и параметр для критерия Гурвица

2. Применить оптимизационные критерии к платежной матрице и выбрать оптимальные стратегии (с помощью инструментальных средств).

Для данного задания была написана функция apply_criteria, которая выбирает лучший вариант в соответствии с каждым критерием. Таблица риска представлена на Рисунке 3, а результат на Рисунке 4.

Рисунок 3. Таблица риска

Рисунок 4. Выбор оптимальной стратегии

Наиболее часто рекомендованная стратегия A2, значит выберем ее.

1. Сформировать модель игры в дурака с количеством карт 36+N. Начиная с 21 номера можно вводить другой цвет карт. Провести анализ локальных игр.

Общее количество использованных карт:

Использованные масти: Пики, Червы, Бубны, Крести.

Использованные значения: 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K, A.

Полученная энтропия и коэффициент информационного преимущества для различных ситуаций игры представлены на Рисунке 5.

Рисунок 5. Анализ локальных игр для разного количества карт

Примеры расчета:

Первая локальная игра

Игрок А сделал первый ход:

Игрок В берет карту.

Игрок В бьет карту.

Вторая локальная игра

Игрок А ходит двумя картами:

Игрок В берет две карты.

Игрок В бьет одну карту, а вторую покрыть не может и берет две карты.

Игрок В кроет обе карты.

2. Сформировать количественную шкалу оценки карт.

Оценка для карт простой масти.

Карта	5	6	7	8	9	10	J	Q	K	A
Цена	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

Оценка для карт козырной масти.

Карта	5	6	7	8	9	10	J	Q	K	A
Цена	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20

3. Обозначить градации плохих, средних, хороших карт; плохой, средний и хороший расклад. Подсчитать вероятности и энтропию.

Будем считать плохими карты 5, 6, 7, 8, 9, некозырных мастей – всего 15 карт. Остальные 25 – хорошие.

Для написания данного пункта были написаны функции для расчета комбинаций и вероятностей. Случайно сгенерированный случай представлен на Рисунке 6. После расчетов были получены следующие значения (границы рассчитывались отдельно):

Если плохих карт больше трех, то это плохой первоначальный расклад:

Если плохих карт ровно три, то это средний первоначальный расклад:

Если плохих карт меньше трех, то это хороший первоначальный расклад:

Пример расчета:

Количество комбинаций для плохого расклада:

Количество комбинаций для среднего расклада:

Количество комбинаций для хорошего расклада:

Энтропия системы:

Рисунок 6. Случайная рука из 6 карт

4. Подсчитать с помощью инструментальных средств вероятностную оценку игроком а карт игрока в при условии, что игрок а имеет определенные карты. Сформировать таблицу, построить график.

Таблица представлена на Рисунке 7.

Пример расчета:

Пусть у игрока А 6 плохих карт.

Если у игрока А 1 хорошая карта.

Если у игрока А 2 хорошие карты.

Рисунок 7. Таблица вероятностной оценки игроком А карт игрока В

График зависимости энтропии от количества плохих карт у игрока А представлена на Рисунке 8.

Рисунок 8. График энтропии

Можно видеть, что при усложнении расклада карт у игрока А степень неопределенности относительно карт игрока В возрастает.